强化第14讲 二重积分
强化第14讲 二重积分¶
簇S14A：和式、换序与保号——先改写问题再计算¶
双重和怎样凑成二重积分？¶
- ★P188｜判断入口：看到 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\)，先找 \(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\) 和面积元 \(\frac1{n^2}\)
- 分步方法：①把 \(i,j\) 分别除以 \(n\)；②从分母中提出足够的 \(n\) 次幂；③确认求和区域对应矩形；④写成 \(\iint_Df(x,y)\mathrm dx\mathrm dy\)
- ★例14.1：\(\sum\sum\frac{i}{(n+i)(n^2+j^2)}=\sum\sum\frac{\frac{i}{n}}{(1+\frac{i}{n})[1+(\frac{j}{n})^2]}\frac1{n^2}\)，区域为 \([0,1]^2\)，结果 \((1-\ln2)\frac\pi4\)
- ⚠️ 双重和的面积元是 \(1/n^2\)，少一个 \(1/n\) 就不是二重积分。🧠 \(i/n\) 读作 \(x\)，\(j/n\) 读作 \(y\)，\(1/n^2\) 读作面积
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b_188_0哪些累次积分一看到就该交换次序？¶
- ★P189｜判断入口：内层出现没有初等原函数的积分，或当前次序计算很困难，就先画区域换序
- 分步方法：①从上下限写出区域不等式；②画图；③按另一方向重新读上下限；④先积能直接求原函数的变量
- ★例14.2：\(\int_0^{\pi/6}\mathrm dy\int_y^{\pi/6}\frac{\cos x}{x}\mathrm dx\) 换序为 \(\int_0^{\pi/6}\mathrm dx\int_0^x\frac{\cos x}{x}\mathrm dy=\frac12\)；例14.3 同理把难积分换成先对 \(y\) 积，结果 \(\frac23\)
- ⚠️ 常见“不可求积”清单包括 \(\frac{\sin x}{x}\)、\(\frac{\cos x}{x}\)、\(\frac1{\ln x}\)、\(e^{ax^2+bx+c}\) 等。🧠 先画域，后换序；上下限永远下小上大
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b_189_0怎样选积分区域，才能让二重积分达到最大？¶
- ★P190｜判断入口：积分区域可自由选，而被积函数有正有负时，最大值应“收下全部正贡献、拒绝全部负贡献”
- 分步方法：①解 \(f(x,y)\geqslant0\)；②把所有正值点纳入 \(D\)；③把负值点排除；④零点是否纳入不影响积分值
- ★例14.4：\(f(x,y)=1-x^2-\frac{y^2}{2}\)，最大积分对应 \(D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{2}\leqslant1\}\)
- ⚠️ 不是让被积函数“处处最大”，而是利用区域可加性控制正负贡献。🧠 最大区域=正值区，最小区域=负值区
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b_190_0簇S14B：对称性与常用结论——先省计算，再动积分¶
普通对称、平移对称和 \(y=x\) 对称怎样统一使用？¶
- ★P190–192｜判断入口：先看区域关于哪条轴、哪条直线或原点对称，再比较对称点处的函数值
- 分步方法：关于 \(y\) 轴看 \(f(-x,y)\)；关于 \(x\) 轴看 \(f(x,-y)\)；关于原点看 \(f(-x,-y)\)；关于 \(y=a\) 看 \(f(x,2a-y)\)；关于 \(y=x\) 看 \(f(y,x)\)
- 若对称后相等，积分等于半区的 2 倍；若互为相反数，积分为 0。轮换对称则利用 \(\iint_Df(x,y)=\iint_Df(y,x)\)，常把两式相加消去未知积分
- ⚠️ 关于 \(y=x\) 的普通奇偶性与轮换对称本质相连，但使用目标不同。🧠 先对区域做变换，再对被积函数做代换
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b_191_0例14.5 的“未知积分自洽”怎样用轮换对称解？¶
- ★P192｜判断入口：被积函数中含一个未知常数 \(a\)，而 \(a\) 本身又被定义为某个二重积分；区域 \(x^2+y^2\leqslant1\) 关于 \(y=x\) 对称
- 分步方法：先指出区域 \(D\) 关于 \(y=x\) 对称，且 \(f(x,y)=e^{x^2+y^2}-a\) 也满足 \(f(y,x)=f(x,y)\)。①记 \(a=\iint_D\frac{(2x^2+1)f(x,y)}{x^2+y^2+1}\mathrm dx\mathrm dy\)；②交换 \(x,y\) 得另一式；③两式相加，分子恰变成 \(2(x^2+y^2+1)\)；④得到 \(a=\iint_Df\)，再代回定义解自洽方程
- ★极坐标计算给 \(a=(e-a-1)\pi\)，故 \(a=\frac{(e-1)\pi}{\pi+1}\)，也即 \(\iint_Df=\frac{(e-1)\pi}{\pi+1}\)
- ⚠️ 轮换不是为了把 \(x,y\) 换着好看，而是为了让两式相加后分母被消掉。🧠 定义一个数，轮换一次，相加闭环
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b_192_0直角坐标和极坐标怎样按“区域+被积函数”选？¶
- ★P192–194｜判断入口：先看被积函数是否含 \(x^2+y^2\)、\(y/x\) 等，再看区域是否为圆或圆的一部分；两者任一明显适合极坐标，就优先考虑极坐标
- 分步方法：直角坐标先判 \(X\) 型或 \(Y\) 型；极坐标按原点在区域外、边界上、内部三种情形确定 \(r\) 下限；始终补上面积元 \(r\mathrm dr\mathrm d\theta\)
- ★常用结论（单位圆盘）：\(\iint_D(x^2+y^2)\mathrm d\sigma=\frac\pi2\)，\(\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\mathrm d\sigma=\frac{2\pi}{3}\)，\(\iint_D\sqrt{1-x^2-y^2}\mathrm d\sigma=\frac{2\pi}{3}\)，\(\iint_D(1-\sqrt{x^2+y^2})\mathrm d\sigma=\frac\pi3\)；另有 \(\iint_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})\mathrm d\sigma=\frac\pi4(\frac1{a^2}+\frac1{b^2})\)
- ⚠️ 极坐标最大漏项就是 Jacobian 的 \(r\)。🧠 圆域或径向函数想极坐标；上下限必须下小上大
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b_193_0例14.6：区域用极坐标给出，为什么反而改用直角坐标？¶
- 判断入口｜★P193–194｜\(D=\{(r,\theta)\mid0\leq\theta\leq\frac\pi4,\ 0\leq r\leq\sec\theta\}\)，求 \(\displaystyle\iint_D\sqrt{1-(x-y)^2}\,\mathrm d\sigma\)；坐标选择要同时看区域与被积函数
- 区域翻译｜\(r\leq\sec\theta\iff x=r\cos\theta\leq1\)，而 \(0\leq\theta\leq\pi/4\iff0\leq y\leq x\)，故 \(D=\{(x,y)\mid0\leq y\leq x\leq1\}\)
- 直角坐标积分｜\(\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^x\sqrt{1-(x-y)^2}\,\mathrm dy\)；内层令 \(t=x-y\)，得 \(\frac12\arcsin x+\frac x2\sqrt{1-x^2}\)
- 结论｜\(\displaystyle\boxed{\iint_D\sqrt{1-(x-y)^2}\,\mathrm d\sigma=\frac\pi4-\frac13}\)
- 易错｜区域用极坐标描述，不等于积分必须用极坐标。🧠 区域与函数谁更难，就优先用能同时简化二者的坐标系
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b_193_6例14.7 为什么极坐标比直角坐标明显更短？¶
- ★P194｜判断入口：题设还限定 \(D\) 位于第一象限；区域由两条 \(x^2+y^2-xy=1,2\) 的同心型曲线、直线 \(y=\sqrt3x\) 和 \(y=0\) 围成，被积函数为 \(\frac1{3x^2+y^2}\)，都能按角度与半径分离
- 分步方法：①写 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)；②由 \(y=0,y=\sqrt3x\) 得 \(0\leqslant\theta\leqslant\pi/3\)；③两条边界给出 \(r\) 的上下限；④先积 \(r\) 得 \(\ln2/2\)，再积角度
- ★最终 \(\iint_D\frac1{3x^2+y^2}\mathrm dx\mathrm dy=\frac{\sqrt3\ln2}{24}\pi\)
- ⚠️ 先把二次曲线写成 \(r^2(1-\sin\theta\cos\theta)=常数\)，上下界比值会直接化成常数。🧠 同形两条曲线夹层，先看径向比值是否恒定
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b_194_0二重积分换元怎样同时处理“区域难”和“函数难”？¶
- ★P195–196｜判断入口：区域发生平移、旋转或线性变换后会变成圆/矩形，或被积函数在新变量中显著简化时，用一般换元。按本书/考研口径，变换应在所取区域上一一对应、存在一阶连续偏导，且 Jacobian 不为 0；更一般的定理版本才会放宽为分片一一对应，并允许边界/零测集上出现退化
- 分步方法：①设 \(x=x(u,v),y=y(u,v)\) 并核对上述条件；②把区域改写为 \(D_{uv}\)；③计算 \(\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\)；④同时替换被积函数与面积元
- ★例14.8：\(D:(x-1)^2+(y-1)^2\leqslant2, y\geqslant x\)。令 \(u=x-1,v=y-1\)，则区域化为 \(u^2+v^2\leqslant2,v\geqslant u\)，Jacobian 为 1；再用极坐标，\(\iint_D(x-y)\mathrm dx\mathrm dy=-\frac83\)
- ⚠️ 变量换元三件套缺一不可：函数、区域、面积元同时换。🧠 平移先把圆心搬回原点，再谈极坐标
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