强化第6讲中值定理·微分等式·微分不等式（18讲的证明总部）

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强化第6讲中值定理·微分等式·微分不等式（18讲的证明总部）¶

簇S6A：寻找辅助函数——先把结论还原成“谁的导数”¶

一阶乘积逆用的九条公式怎样分组记？¶

判断入口｜待证式把 \(f'\) 与 \(f\)、\(f^n\)、\(\varphi'f\) 等项加在一起，目标通常是构造 \(F'(\xi)=0\) 或判 \(F\) 单调。
第一组：配已知因子｜ \([fx^n]'=x^{n-1}(xf'+nf)\)； \([f\mathrm e^{nx}]'=\mathrm e^{nx}(f'+nf)\)； \([f\mathrm e^{x^n}]'=\mathrm e^{x^n}(f'+nx^{n-1}f)\)； \([f\mathrm e^{\varphi}]'=\mathrm e^{\varphi}(f'+f\varphi')\)。
第二组：积分因子｜\(\left[f\mathrm e^{\int f^{n-1}\mathrm dx}\right]'=\mathrm e^{\int f^{n-1}\mathrm dx}(f'+f^n)\)。
第三组：常见搭档｜ \([ff']'=(f')^2+ff''\)，\([fg]'=f'g+fg'\)， \([f\arctan x]'=f'\arctan x+\frac{f}{1+x^2}\)， \([f\sin x]'=(f'\tan x+f)\cos x\)（这一改写式只在 \(\cos x\neq0\) 的局部区间使用；原始乘积求导式本身不需此限制）。
例6.1｜见 \(f'+f^2\)，令 \(F=f\mathrm e^{\int_0^x f}\)；题设让 \(F(0)=F(1)\)，罗尔定理立即给 \(f'(\xi)+f^2(\xi)=0\)。
易错｜先把目标移到等号一边，再匹配整体导数；不要只盯着某一项猜原函数。

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商公式与“祖孙三代传承法”分别在什么时候用？¶

商公式入口｜见 \(xf'-f\) 想 \(\left(\frac f x\right)'\)；见 \(f''f-(f')^2\) 想 \(\left(\frac{f'}f\right)'\)，若 \(f>0\) 还可想 \((\ln f)''\)。
重要等价｜\(x>0\) 时，\(f'(x)>\frac{f(x)}x\) 等价于 \(\left(\frac f x\right)'>0\)。
祖孙三代入口｜待证量跨了两个“辈分”，如 \(f''(\xi)=f(\xi)\)；先加减中间项： \((f''-f')+(f'-f)=f''-f\)。
构造示范｜证 \(f''(\xi)=f(\xi)\) 时取 \(F=(f'-f)\mathrm e^x\)；证 \(f'(\xi)=\int_0^\xi f(t)\mathrm dt\) 时取 \(F=\left(f-\int_0^x f(t)\mathrm dt\right)\mathrm e^x\)。
记忆｜**差辈分就补中间辈：\(a-c=(a-b)+(b-c)\)。

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结论被“揉乱”时，怎样用五种障眼法还原辅助函数？¶

判断入口｜待证式陌生，但整理后应当成为 \(F'(\xi)=0\)。
五步检查｜①简单化：\(2\xi-1\leftrightarrow(x^2-x)'\)，\(f'f\leftrightarrow(\frac12f^2)'\)，\(f'/f\leftrightarrow(\ln f)'\)；②升辈或降辈；③平移成 \(f(x)(x+1)^2\)、\(f(x)\mathrm e^{(x-1)^2}\) 一类；④恒等变形，包括移项、乘除；⑤遇积分条件时，用积分中值定理或变限积分先造出可用的函数值。
例6.2｜在书上所给 \(g'(x)\neq0\) 的条件下，欲证 \(\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)，交叉相乘后取 \(F(x)=[f(x)-f(a)][g(b)-g(x)]\)。
为什么成功｜\(F(a)=F(b)=0\)，罗尔定理给 \(F'(\xi)=0\)，展开恰好得到目标式。
口诀｜**先抄结论并移项，再倒问“它是谁的导数”。

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含定积分条件时，怎样用积分中值定理直接造相等端点？¶

判断入口｜题设含 \(\int_a^b f=c\)，而结论要出现某点的 \(f(\xi)\) 或 \(f'(\xi)\)。
例6.3 题设｜\(f\in C[0,1]\)、在 \((0,1)\) 可导，且常数 \(k>1\)。由 \(f(1)=k\int_0^{1/k}x\mathrm e^{1-x}f(x)\mathrm dx\) 和积分中值定理，得某 \(\xi_1\in(0,1/k)\) 满足 \(f(1)=\xi_1\mathrm e^{1-\xi_1}f(\xi_1)\)。
第二步｜令 \(F(x)=x\mathrm e^{1-x}f(x)\)，则 \(F(\xi_1)=F(1)\)；在 \([\xi_1,1]\) 用罗尔定理。
结论｜某 \(\xi\in(0,1)\) 满足 \(f'(\xi)=(1-\xi^{-1})f(\xi)\)。
反向理解｜也可把待证式当一阶齐次方程求积分因子，反推出 \(F=x\mathrm e^{1-x}f\)；这正是书上的“反向思路”。

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两个变限积分相乘，为什么常能直接用罗尔定理？¶

判断入口｜结论同时含 \(\int_a^\xi f\) 与 \(\int_\xi^b g\)，并出现 \(f(\xi),g(\xi)\)。例6.4中 \(f,g\) 在 \([a,b]\) 上正且连续，保证变限积分可导，并避免最后比式的分母为 0。
标准构造｜\(F(x)=\left(\int_a^x f(t)\mathrm dt\right)\left(\int_x^b g(t)\mathrm dt\right)\)。
关键观察｜\(F(a)=F(b)=0\)；求导时一个上限给 \(+f(x)\)，一个下限给 \(-g(x)\)。
例6.4 结论｜罗尔定理给 \(\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{\int_a^\xi f(x)\mathrm dx}{\int_\xi^b g(x)\mathrm dx}\)。
易错｜下限为 \(x\) 的积分求导带负号。

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加权积分为零，怎样从“一个零点”升级成“两个零点”？¶

第一层｜若 \(f,w\) 连续且权函数 \(w\) 在开区间恒正，推广积分中值定理可把 \(\int f(x)w(x)\mathrm dx=0\) 化成 \(f(\xi)\int w=0\)，从而得到一个 \(f(\xi)=0\)。
第二层（例6.6）｜设 \(f\in C[0,\pi]\)，若 \(\int_0^\pi f=0\) 且 \(\int_0^\pi f\cos x=0\)，令 \(F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm dt\)，则 \(F(0)=F(\pi)=0\)。
分部积分｜\(\int_0^\pi f(x)\cos x\mathrm dx=\int_0^\pi F(x)\sin x\mathrm dx=0\)；因 \(\sin x>0\)，得某 \(\xi\) 使 \(F(\xi)=0\)。
两次罗尔｜\(F\) 在 \(0,\xi,\pi\) 有三个零点，分别在两段用罗尔定理，得到两个不同点满足 \(F'=f=0\)。
易错｜目标是两个 \(f\) 的零点，先造三个 \(F\) 的零点。

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簇S6B：证明中值点存在——先决定用费马、罗尔还是导数介值¶

证明 \(f'(\xi)=0\) 有哪三条正路？¶

路线一｜证明 \(f\) 在区间内部取得极值，再用费马定理。
路线二｜证明两个端点函数值相等，再用罗尔定理。
路线三｜证明端点单侧导数异号，再用导数介值定理取中间值 0。
选择顺序｜先找题设是否直接给极值；没有就尝试造相等端点；仍不行再研究端点导数符号。
易错｜费马定理要求极值点在区间内部；端点最值不能直接推出导数为 0。

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例6.7 为什么要连续使用拉格朗日、费马和泰勒？¶

题设结构｜\(f\) 在 \([0,1]\) 上二阶可导，\(f(0)=0\)，并在 \((0,1)\) 内取得最大值 2 和最小值 \(m\)。
第一问｜设最大值点为 \(x_1\)。在 \([0,x_1]\) 用拉格朗日： \(f'(\xi)=2/x_1>2\)。
第二问第一步｜最大值点在内部，所以费马定理给 \(f'(x_1)=0\)。
第二问第二步｜在 \(x_1\) 处作一阶泰勒展开，并代入最小值点 \(x_2\)： \(m=2+\frac12f''(\eta)(x_2-x_1)^2\)。
收尾｜连续性与 \(f(0)=0\) 给 \(m\leq0\)，又 \(0<(x_2-x_1)^2<1\)，故 \(f''(\eta)<-4\)。
方法串联｜**割线斜率找一阶导，内部极值消掉一阶项，泰勒余项逼出二阶导。

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导函数介值定理在例6.8中怎样“前问铺路、后问使用”？¶

第一问｜设 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续、在 \((a,b)\) 可导，且端点单侧导数存在并满足 \(f'_+(a)\neq f'_-(b)\)。对夹在二者之间的任意 \(\mu\)，令 \(F(x)=f(x)-\mu x\)。
核心｜\(F'_+(a)\) 与 \(F'_-(b)\) 异号，端点都不可能是相应的最值点；最值只能落在内部，再由费马定理得 \(F'(\xi)=0\)，即 \(f'(\xi)=\mu\)。
第二问｜再按题设补充 \(f\) 在 \([0,2]\) 上二阶可导，分别在 1 左右使用二阶泰勒： \(f(0)+f(2)-2f(1)=\frac12[f''(x_1)+f''(x_2)]\)。
收尾｜右边是两个二阶导数值的平均数；由第一问所证的导数介值性，存在 \(\xi\in(0,2)\) 使它等于 \(f''(\xi)\)。
读题技巧｜综合证明题的第(1)问往往就是第(2)问允许调用的新工具。

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簇S6C：含 \(f^{(n)}\) 的命题——中值定理与泰勒分工¶

“导数极限存在”在什么条件下才能推出端点导数？¶

定理｜\(f\) 在 \([x_0,x_0+\delta)\) 连续、在 \((x_0,x_0+\delta)\) 可导，且 \(\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=A\)，则右导数 \(f'_+(x_0)=A\)。
证明一步｜对 \(x>x_0\) 用拉格朗日： \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi_x)\)；当 \(x\to x_0^+\) 时，\(\xi_x\to x_0^+\)。
边界｜必须先有端点连续，且函数在端点有定义；缺任一条件都不能直接套。
反向不成立｜\(f'(x_0)\) 存在不能推出 \(\lim_{x\to x_0}f'(x)\) 存在，例如扩充定义后的 \(x^2\sin(1/x)\)。
记忆｜**函数值连续负责接上端点，拉格朗日负责把差商搬到内部。

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拉格朗日中值定理的六种写法分别提示什么？¶

①原形｜\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)：看到“函数增量”。
②恒等判据｜\(f\equiv C\Longleftrightarrow f'\equiv0\)：证明恒为常数。
③动区间｜\(f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)\)：出现 \(f-f(a)\) 或 \(f-0\)。
④割线斜率｜\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\)：出现曲线两点斜率。
⑤比例位置｜\(f(x)-f(0)=f'(\theta x)x, 0<\theta<1\)：求中值点位置的极限。
⑥积分增量｜ \(\int_a^x f(t)\mathrm dt-\int_a^a f(t)\mathrm dt=f(\xi)(x-a)\)：即推广的积分中值定理。
例6.13｜\(\int_0^x f(t)\mathrm dt=xf(\theta x)\) 且 \(f=\mathrm e^x\)，化为 \(\theta=\frac1x\ln\frac{\mathrm e^x-1}{x}\)，故 \(\theta\to\frac12\)。

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为什么 \(\alpha>1\) 的 Hölder 条件会把函数“压成常数”？¶

判断入口｜\(f\) 定义在一个区间 \(I\) 上，对任意 \(x,y\in I\) 有 \(|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha\)，且 \(\alpha>1\)。
分步方法｜固定 \(x_0\)，除以 \(|x-x_0|\)：\(\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|\leq M|x-x_0|^{\alpha-1}\to0\)。
结论｜每个内点的导数都为 0，因此由拉格朗日中值定理 \(f\) 在整个区间恒为常数。
易错｜临界条件是 \(\alpha>1\)；若 \(\alpha=1\)，普通非恒定 Lipschitz 函数也能满足。

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导数在无穷远的极限怎样控制函数的去向？¶

例6.11｜若 \(f\) 在 \((-\infty,0)\) 可导，且 \(\lim_{x\to-\infty}f'(x)=A>0\)。
第一步｜取足够小的 \(X_0<0\)，使 \(x<X_0\) 时 \(f'(x)>A/2\)。
第二步｜在 \([x,X_0]\) 用拉格朗日： \(f(x)-f(X_0)=f'(\xi)(x-X_0)<\frac A2(x-X_0)\)。
结论｜右端随 \(x\to-\infty\) 趋于 \(-\infty\)，故 \(f(x)\to-\infty\)。
易错｜因为 \(x-X_0<0\)，乘不等式时方向会改变。

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\(M=\max|f|\) 与 \(|f'|\leq M\) 同时出现，怎样做“自洽压缩”？¶

例6.12 第一问｜\(f\) 在 \([0,2]\) 上具有连续导数，且 \(f(0)=f(2)=0\)。设 \(|f(x_0)|=M\)，按 \(x_0<1\)、\(=1\)、\(>1\) 分段与较近端点用拉格朗日，可得某 \(\xi\) 满足 \(|f'(\xi)|\geq M\)。
第二问入口｜若题目反过来给全区间 \(|f'|\leq M\)，第一问迫使取等，并把最大值点压到 \(x_0=1\)。
收尾｜不妨 \(f(1)=M\)，令 \(F(x)=f(x)-Mx\)。在 \([0,1]\) 上 \(F'\leq0\)，而 \(F(0)=F(1)=0\)，故 \(F\equiv0\)；于是 \(f'(1)=M\)。
矛盾闭环｜\(x=1\) 又是内部最大值点，费马定理给 \(f'(1)=0\)，故 \(M=0\)。
方法名｜**让题设中的上界反过来约束它自己的大小。

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柯西中值定理题，怎样把目标写成“两组增量之比”？¶

判断入口｜待证式同时含两个函数，形似 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。
三项准备｜①把具体量认成某函数的导数，如 \(2\xi=(x^2)'|_\xi\)；②把函数值补成增量，如 \(f(b)=f(b)-f(a)\)；③把 \(f(\xi)\) 看成 \(\left(\int_a^x f\right)'|_\xi\)。
例6.14｜取 \(h=x^2\)、\(g(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt\)，一步得到 \(\frac{b^2-a^2}{\int_a^b f}=\frac{2\xi}{f(\xi)}\)。
例6.15｜先交换积分次序算出 \(g(1)=\frac12(\cos1-1)\)；再令 \(h=x^2\) 与 \(g(x)=\int_0^x f(t)\mathrm dt\) 用柯西，得到 \(\int_1^\xi\sin(t^2)\mathrm dt=\xi(\cos1-1)\)。
易错｜先明确哪两个函数使用柯西，再检查分母对应函数的导数不为 0。

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泰勒“字典”该怎样使用，而不是怎样死背？¶

用途｜快速求极限、判断无穷小阶数、求高阶导数，以及在证明中估计函数值或积分值。
四组亲戚｜根式与几何级数；指数；三角与反三角；对数。
高频式｜ \(\frac1{1-x}=\sum_{n\ge0}x^n\ (|x|<1)\)， \(\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n\ge0}(n+1)x^n\ (|x|<1)\)， \(\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots\ (|x|<\frac\pi2)\)， \(\ln\frac{1+x}{1-x}=2(x+\frac{x^3}{3}+\cdots)\ (|x|<1)\)。
书上口径｜有些只是常用“形式展开式”；考研使用时掌握系数和精度即可，不必纠缠其在本章中的定义名目。
记忆｜**不求全背，但要常看；把它当查询字典。

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泰勒证明题中，展开点与代入点怎样选？¶

展开点 \(x_0\)｜选导数值简单或为 0 的点，以及区间端点、中点；目的通常是消项。
代入点 \(x\)｜选泛指点、另一个端点，或关于 \(x_0\) 对称的 \(x_0\pm h\)；目的通常是相加减消项。
例6.16｜\(f(0)=f(1)\)、\(|f''(x)|\leq2\)。在泛指点 \(x\) 展开，再分别代 0、1，相减消去 \(f(0)-f(1)\)。
结果｜ \(f'(x)=\frac12[f''(\xi_1)x^2-f''(\xi_2)(1-x)^2]\)，因而 \(|f'(x)|\leq x^2+(1-x)^2\leq1\)。
易错｜这题不是固定在端点展开，而是在待估计的泛指点 \(x\) 展开。

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簇S6D：根、不等式与含参问题——先画清函数性态¶

讨论根的个数时，六件工具怎样排成决策树？¶

先证存在｜零点定理或其无穷区间推广；也可反设无根，利用连续性和符号推出矛盾。
再证至多｜用单调性，或用罗尔推论：若 \(f\) 在所论区间上具有足够阶导数，且 \(f^{(n)}=0\) 至多有 \(k\) 个不同实根，则 \(f=0\) 至多有 \(k+n\) 个不同实根。
代数保底｜实系数奇次方程至少有一个实根。
端点定号｜计算 \(x\to a^+\)、\(x\to b^-\) 或无穷远处的渐近性态。
总流程｜**分区间 → 证每段至少一个 → 再证每段至多一个 → 相加。

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例6.17 的“两根条件”为什么等价于最小值小于 0？¶

题目｜\(f(x)=ax-b\ln x\)，\(a>0\)，问恰有两个零点的参数范围。
排除｜若 \(b\leq0\)，则 \(f'(x)=a-b/x>0\)，不可能有两个零点；故先取 \(b>0\)。
性态｜唯一驻点 \(x=b/a\) 是最小值点，且 \(x\to0^+\)、\(x\to+\infty\) 时 \(f(x)\to+\infty\)。
判定｜恰有两根当且仅当 \(f(b/a)=b[1-\ln(b/a)]<0\)，即 \(b/a>\mathrm e\)。
易错｜等号 \(b/a=\mathrm e\) 只产生一个相切重根，不是两个不同零点。

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例6.18 为什么必须把正半轴、负半轴分开数根？¶

第一问｜ \(f(3\pi/2)=\int_0^{3\pi/2}\frac{\sin t}{t}\mathrm dt\)；把第三段换元后与第一段配对，可化出正被积函数，故该值 \(>0\)。
设辅助函数｜ \(F(x)=\int_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm dt-2\ln|x|\)，\(x\neq0\)。
正半轴｜\(F'(x)=\frac{\sin x-2}{x}<0\)，且 \(F(1)=0\)，所以恰有一根。
负半轴｜\(F'(x)>0\)；再用 \(x\to0^-\) 时 \(F\to+\infty\) 与 \(F(-3\pi/2)<0\)，由零点定理和单调性知恰有一根。
结论｜原方程共有 2 个实根。
易错｜\(\ln x^2=2\ln|x|\) 的定义域是 \(x\neq0\)，不能只分析 \(x>0\)。

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证明微分不等式时，六条路线怎样选择？¶

①单调性｜先找端点或端点极限，再证 \(F'\) 定号；可用于无穷区间。
②最值｜直接求 \(F\) 的最大/最小值。
③凹凸性｜按本书记号，\(F''>0\) 时图像向上弯，可用中点、加权与“图像在切线上方”三类不等式。
④拉格朗日｜若 \(F\in C[a,b]\)、在 \((a,b)\) 可导且 \(F'\geq A\)，则 \(F(b)-F(a)\geq A(b-a)\)。
⑤柯西｜若 \(F,G\in C[a,b]\)、在 \((a,b)\) 可导、\(G'\neq0\)，且 \(F'/G'\geq A\)，则相应增量比也 \(\geq A\)。
⑥带拉格朗日余项的泰勒｜在所需阶导数存在的区间内，由 \(F''\) 定号控制余项，得到 \(F(x)\geq F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)\) 或反向不等式。
选择口诀｜**一阶导定单调，二阶导想凹凸或泰勒，两个函数之比想柯西。

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例6.19 的充分性为什么要多切两段？¶

命题｜设 \(f\) 在区间内可导。\(f'\) 严格单调增，当且仅当对任意 \(x_1<x_2<x_3\)，相邻割线斜率满足 \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\)。
必要性｜分别在 \([x_1,x_2]\)、\([x_2,x_3]\) 用拉格朗日；所得中值点 \(\xi_1<\xi_2\)，由 \(f'\) 严格递增即得严格不等式。
充分性难点｜固定 \(x<y\)，再取 \(x<c<y\) 及足够小的 \(h>0\)，由题设得到 \(\frac{f(x)-f(x-h)}h<\frac{f(c)-f(x)}{c-x}<\frac{f(y)-f(c)}{y-c}<\frac{f(y+h)-f(y)}h\)。
取极限｜令 \(h\to0^+\)，两端差商分别趋于 \(f'(x),f'(y)\)；中间保留一个严格不等号，所以 \(f'(x)<f'(y)\)。
方法本质｜**一两个区间不够，就继续细分；这是黎曼式“多划区间”思想。

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含参等式或不等式，先看“导数里有没有参数”有什么用？¶

导数不含参｜函数性态固定；先把曲线研究完，最后讨论不同参数对应的水平线或平移位置。
导数含参｜函数性态本身随参数改变；要先按参数分情况，再研究各情况下与 \(x\) 轴的交点。
参数方程｜若以 \(t\) 给出 \(x(t,k),y(t,k)\)，先求 \(\mathrm dy/\mathrm dx\) 与极值，再把参数 \(k\) 解释为图像变换。
总流程｜**构造辅助函数 → 求导并看参数位置 → 画性态表 → 用零点/同号/交点数收尾。

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例6.20 的“双层单调”怎样证明乘积恒非负？¶

题目结构｜对 \(x>0\)，要证 \((x-1)[x-\ln^2x+2k\ln x-1]\geq0\)，其中 \(k\geq\ln2-1\)。
第一层｜令 \(f(x)=x-\ln^2x+2k\ln x-1\)，则 \(f'(x)=\frac1x g(x)\)， \(g(x)=x-2\ln x+2k\)。
第二层｜\(g\) 的唯一最小点为 \(x=2\)，且 \(g(2)=2-2\ln2+2k\geq0\)，所以 \(f'\geq0\)。
收尾｜\(f\) 单调增且 \(f(1)=0\)，故 \(x<1\) 时 \(f(x)\leq0\)，\(x>1\) 时 \(f(x)\geq0\)；\(f(x)\) 与 \(x-1\) 同号，乘积非负。
记忆｜**外层要同号，内层先用最值保证导数同号。

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参数曲线平移后“恰有一根”，怎样转成极值高度条件？¶

例6.21 第一步｜由参数方程 \(x=\frac13t^3+t+\frac13\)， \(y=\frac13t^3-t+\frac13\)，得 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{t^2-1}{t^2+1}\)。
极值｜\(t=-1\) 给极大值 1，\(t=1\) 给极小值 \(-\frac13\)。
图像翻译｜\(v=y+k\) 是原曲线竖直平移 \(k\)；要与横轴恰有一个交点，须平移后的极小值在轴上方，或极大值在轴下方。
不等式｜\(-\frac13+k>0\) 或 \(1+k<0\)。
结论｜\(k>\frac13\) 或 \(k<-1\)。
易错｜取等时会在极值处相切并在另一侧仍有交点，不能算“恰有一个”。

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例6.22 怎样把积分条件变成“三个零点、两次罗尔”？¶

第一问｜\(f\) 可导且严格增，换元得 \(\int_{-1}^0f(x)\mathrm dx=\int_0^1f(x-1)\mathrm dx<\int_0^1f(x)\mathrm dx=a\)。又 \(\int_{-1}^1f=0\)，故 \(a>0\)。
第二问构造｜ \(F(x)=a(1-x^2)+\int_1^x f(t)\mathrm dt\)。
三个零点｜由题设可算出 \(F(-1)=F(0)=F(1)=0\)。
两次罗尔｜先在 \((-1,0)\)、\((0,1)\) 各得一个 \(F'\) 零点，再在二者之间对 \(F'\) 用罗尔，得到某 \(\xi\in(-1,1)\) 满足 \(F''(\xi)=0\)。
识别信号｜待证二阶导在某点为 0，优先尝试造三个函数零点。

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强化第6讲 中值定理·微分等式·微分不等式（18讲的证明总部）