强化第8讲 一元函数积分学的概念与性质
强化第8讲 一元函数积分学的概念与性质¶
簇S8A：连和与连积极限——把离散式化成定积分¶
连和、连积怎样一眼识别成黎曼和？¶
- ★P91–92｜判断入口：连和中若能同时留下“步长 \(\frac1n\)”和“采样点 \(\frac{i}{n}\)”，就按黎曼和；三种典型分母可直接拆：\(n+i=n(1+\frac{i}{n})\)、\(n^2+i^2=n^2[1+(\frac{i}{n})^2]\)、\(n^2+ni=n^2(1+\frac{i}{n})\)
- 分步方法：①提出合适的 \(n\) 次幂；②整理成 \(\sum f(\frac{i}{n})\frac1n\)；③用 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac1n=\int_0^1f(x)\mathrm{d}x\)。连积则先取对数，把乘法化成连和，算完再取指数
- ★P92（例8.1）｜提取根号内每个因子的 \(n\) 后，原式化为 \(\left[\prod_{k=0}^{n-1}(1+\frac{k}{n})\right]^{1/n}\)；取对数得 \(\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\ln(1+\frac{k}{n})\to\int_0^1\ln(1+x)\mathrm{d}x=2\ln2-1\)，故极限为 \(\frac4{\mathrm e}\)
- 🧠 口诀：连和看 \(\frac1n\) 与 \(\frac{i}{n}\)；连积先取对数、最后还原指数
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b_92_0通项凑不成 i/n 时，先放缩还是硬变形？¶
- ★P93｜判断入口：分母含 \(n^2+i\)、\(ni+a\) 等低阶扰动，无法精确凑出 \(\frac{i}{n}\)；不要硬套定积分，先把每一项夹到可识别的黎曼和之间
- 分步方法：若只需常数极限，可直接夹逼，如 \(\frac{n^2}{n^2+n}<\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i}<\frac{n^2}{n^2+1}\)，两端都趋于 1；若通项还含 \(f(\frac{i}{n})\)，就把系数放缩成“常数倍 \(\frac1n\)”
- ★P93（例8.2）｜因 \(0<a<1\) 且 \(\sin\frac{i}{n}>0\)，有 \(\frac1{n+a}=\frac{i}{ni+ai}\leqslant\frac{i}{ni+a}<\frac1n\)；上下界分别是 \(\frac{n}{n+a}\) 倍与 1 倍的同一黎曼和，均趋于 \(\int_0^1\sin x\mathrm{d}x=1-\cos1\)，故选(C)
- ⚠️ 易错：放缩后必须确认乘上的函数不改变不等号方向；本题依赖 \(\sin\frac{i}{n}>0\)
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b_93_0通项出现 xi/n 时，积分区间为什么变成 [0,x]？¶
- ★P94｜判断入口：采样点不是 \(\frac{i}{n}\)，而是 \(\frac{xi}{n}\)；此时小区间长度实际是 \(\frac{x}{n}\)，积分区间自然从 \([0,1]\) 变为 \([0,x]\)
- 分步方法：先乘真实步长造出 \(\sum f(\frac{xi}{n})\frac{x}{n}\)，再除回多乘的 \(x\)，所以 \(x>0\) 时 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum f(\frac{xi}{n})=\frac1x\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\)
- ★P94（例8.3）｜\(x>0\) 时，\(\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\cos\frac{xi}{n}\to\frac1x\int_0^x\cos t\mathrm{d}t=\frac{\sin x}{x}\)；\(x<0\) 时题设用 \(f(-x)\)，仍得到 \(\frac{\sin x}{x}\)；为使 \(x=0\) 连续，必须取 \(a=1\)
- 🧠 口诀：上限是谁，步长就是谁除以 \(n\)；先乘步长，再把系数除回去
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b_94_0不取端点也能用定积分定义吗？六种“取高”要认得¶
- ★P94–95｜判断入口：采样点是中点、凸组合、几何均值、均方根或调和均值，不是熟悉的端点；只要它落在第 \(k\) 个小区间内，且最大区间长度趋于 0，就仍是定积分定义
- 分步方法：①找出分割区间与 \(\Delta x\)；②把陌生取高记为 \(\xi_k\)；③验证 \(\xi_k\in[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]\)；④把通项剩余因子全部改写成 \(\xi_k\) 的函数
- ★例8.4、8.5｜\(\sum_{k=1}^n\frac{\pi}{4n}\cos^2\frac{k\pi}{4n}\to\int_0^{\pi/4}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=\frac14+\frac\pi8\)；例8.5 取中点 \(\xi_k=\frac{2k-1}{2n}\)，原和式化为 \(\sum_{k=1}^n(\xi_k+1)f(\xi_k)\frac1n\to\int_0^1(x+1)f(x)\mathrm{d}x\)，选(C)
- ⚠️ 易错：取高形式可以变，分割宽度不能丢；先认 \(\Delta x\)，再认 \(f(\xi_k)\)
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b_95_0簇S8B：具体型反常积分——先找瑕点，再向基准积分靠近¶
判断反常积分敛散性的六步工具链是什么？¶
- ★P96–98｜判断入口：积分区间无穷，或被积函数在有限端点、内部点无界；先列出全部瑕点，并按可拆性逐段判断。任何一段发散，原积分就发散
- 分步方法：①拆积分；②把分母改写成倒数幂；③用 \(1-x=t\)、\(\ln x=t\) 换元；④分部积分；⑤用 \(\ln(1+x)\sim x\)、\(\arctan x\sim x\) 等价代换；⑥加绝对值后与 \(p\) 型积分比较
- ★P96 的分部积分示范｜先在有限区间 \([1,R]\) 分部：\(\displaystyle \int_1^R\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\cos1-\frac{\cos R}{R}-\int_1^R\frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x\)；再令 \(R\to+\infty\)。边界项 \(\cos R/R\to0\)，而 \(|\cos x|/x^2\leqslant1/x^2\) 使后一积分绝对收敛，故原积分收敛
- ⚠️ 易错：\(\int|f|\) 收敛能推出 \(\int f\) 收敛，反向不成立；判断时最终要把局部主因子靠到 \(\int x^{-p}\mathrm{d}x\) 或 \(\int x^{-p}\ln x\mathrm{d}x\) 上
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b_96_00 附近的 p 型积分，怎样区分“积分有限”与“反常积分收敛”？¶
- ★P97–98｜判断入口：瑕点在 \(0^+\)。先问数值是否有限，再问被积函数是否真的无界；后一个问题决定它在本书口径下算普通定积分还是反常积分
- 分步方法：\(\displaystyle \int_0^1x^{-p}\mathrm{d}x\) 数值有限当且仅当 \(p<1\)；其中只有 \(p>0\) 时 \(x^{-p}\) 在 0 无界，所以“收敛的反常积分”范围是 \(0<p<1\)
- 典型结论：\(\displaystyle \int_0^1x^{-p}\ln x\mathrm{d}x\) 数值有限也当且仅当 \(p<1\)；但 \(p=0\) 时已有 \(\ln x\) 无界，因此“收敛的反常积分”范围是 \(0\leqslant p<1\)。若 \(p<0\)，\(x^{-p}\ln x\to0\)，可连续补值，属于普通定积分
- ⚠️ 易错：不要把“有限条件 \(p<1\)”和“确为反常积分的条件”混成一句；近 0 时 \(p\geqslant1\) 表示分母消失太快，才导致发散
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b_97_0
无穷远的 p 型积分，为什么临界点固定是 p=1？¶
- ★P97–98｜判断入口：上限是 \(+\infty\)，所以积分天然是反常积分；这里只需比较被积函数的衰减速度，不再区分普通积分与反常积分
- 分步方法：\(\displaystyle \int_1^{+\infty}x^{-p}\mathrm{d}x\) 与 \(\displaystyle \int_1^{+\infty}x^{-p}\ln x\mathrm{d}x\) 都在 \(p>1\) 时收敛、\(p\leqslant1\) 时发散；分子多一个 \(\ln x\) 不能挽救临界的 \(p=1\)
- 典型结论：\(\sin x\sim x\) 可把 \(\int_0^1\sin^{-p}x\mathrm{d}x\) 化到近 0 的 \(p\) 型；\(ax+b\sim ax\)（\(a>0\)）可把 \(\int_1^{+\infty}(ax+b)^{-p}\mathrm{d}x\) 化到无穷远的 \(p\) 型
- 🧠 速度记忆：近 0 怕分母消失太快，无穷远怕分母长得不够快；分界都是 1，收敛方向相反
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b_98_0瑕点在 x=1 时，ln 的幂次阈值怎样判断？¶
- ★P97、P99｜判断入口：积分下限为 1，分母含 \(|\ln x|^q\)；因 \(x\to1^+\) 时 \(\ln x\sim x-1\)，先把局部主因子化成 \(\int_0^1t^{-q}\mathrm{d}t\)
- 分步方法：\(\displaystyle \int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x^p|\ln x|^q}\) 的数值有限当且仅当 \(q<1\)，而 \(x^{-p}\to1\)，所以 \(p\) 与敛散性无关；若题目强调“反常积分”，还需 \(q>0\)，故范围写成 \(0<q<1\)
- 典型结论：\(q=0\) 或 \(q<0\) 时被积函数在 1 附近有界，是普通定积分；\(q\geqslant1\) 时发散。书中同类结论都先抹去趋于非零常数的 \(x^{-p}\)
- ⚠️ 易错：此处决定阈值的是 \(q\)，不是 \(p\)；先定位瑕点，再判断哪些因子在瑕点附近可以视为常数
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b_99_12；PDF 第 99 页 ·b_99_13；PDF 第 99 页 ·b_99_14
无穷远同时含 x^p 与 ln^q x 时，参数优先级是什么？¶
- ★P99–100｜判断入口：\(\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p(\ln x)^q}\)；先看幂 \(x^p\)，只有在临界 \(p=1\) 时才轮到对数幂 \(q\)
- 分步方法：\(p>1\) 时任意 \(q\) 都收敛；\(p<1\) 时任意 \(q\) 都发散；\(p=1\) 时令 \(t=\ln x\)，化为 \(\int t^{-q}\mathrm{d}t\)，故 \(q>1\) 收敛、\(q\leqslant1\) 发散
- 典型结论：\(\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^p}\) 对任何 \(p\) 都发散——靠近 1 要 \(p<1\)，无穷远却要 \(p>1\)，两段收敛域没有交集
- 🧠 参数优先级：指数压倒幂，幂压倒对数；在书中 \(p,q>0\) 的同类式里，含 \(\mathrm e^{-\alpha x}\) 时 \(\alpha>0\) 收敛，\(\alpha\leqslant0\) 发散
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b_99_15；PDF 第 99 页 · b_99_16；PDF 第 100 页 · b_100_1分母只有 |ln x|^p 时，为什么 0、1、+∞ 要分开看？¶
- ★P100｜判断入口：\(|\ln x|\) 在 \(x\to0^+\) 时趋于无穷，在 \(x\to1\) 时趋于 0，在 \(x\to+\infty\) 时又只缓慢增大；三个位置的主导机制不同
- 分步方法：\(\displaystyle \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{|\ln x|^p}\) 数值有限当且仅当 \(p<1\)；其中 \(p=0\) 是普通定积分，按本书“反常积分”口径应写 \(p<1\) 且 \(p\neq0\)。\(\displaystyle \int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{|\ln x|^p}\) 若强调反常，则为 \(0<p<1\)
- 典型结论：\(\displaystyle \int_0^2\frac{\mathrm{d}x}{|\ln x|^p}\) 作为收敛反常积分的范围仍是 \(p<1, p\neq0\)；而 \(\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{|\ln x|^p}\) 对任何 \(p\) 都发散，令 \(x=\mathrm e^t\) 后出现 \(\mathrm e^t/t^p\)
- ⚠️ 易错：不能把“对数趋于无穷”误当作分母足够大；在无穷远，纯对数增长比任何正幂都慢，衰减远远不够
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b_100_2；PDF 第 100 页 ·b_100_3；PDF 第 100 页 ·b_100_4；PDF 第 100 页 ·b_100_5；PDF 第 100 页 ·b_100_6；PDF 第 100 页 ·b_100_7；PDF 第 100 页 ·b_100_8；PDF 第 100 页 ·b_100_9
例8.6 有两个端点瑕点时，参数范围怎样取交集？¶
- ★P100–101｜判断入口：\(p,q>0\)，\(\displaystyle \int_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x)^q}\mathrm{d}x\) 在 0、1 两端分别含不同主因子；必须从中点拆开，逐端判断后取交集
- 分步方法：在 \(0^+\) 附近抹去 \((1-x)^{-q}\to1\)，只看 \(x^{-p}\ln x\)，由 \(p>0\) 得 \(0<p<1\)；在 \(1^-\) 附近令 \(t=1-x\)，\(\ln(1-t)\sim-t\)，主因子为 \(-t^{1-q}\)，故要求 \(q<2\)
- ★例8.6 结论｜结合题设 \(q>0\)，收敛域为 \(0<p<1, 0<q<2\)，选(A)。其中 \(0<q\leqslant1\) 时右半段其实是普通定积分，\(1<q<2\) 时右半段才是收敛反常积分；但整体仍因 \(x=0\) 端无界而属于反常积分
- 🧠 口诀：每个瑕点各写一行条件，最后只做交集；某一段普通，不影响整体因另一段无界而成为反常积分
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b_100_10；PDF 第 100 页 · b_100_11；PDF 第 100 页 · b_100_12；PDF 第 100 页 · b_100_13；PDF 第 101 页 · b_101_1；PDF 第 101 页 · b_101_2；PDF 第 101 页 · b_101_3例8.7 为什么书上选 \(-1<p\leqslant0\)，而“积分有限”其实是 \(p>-1\)？¶
- ★P101｜判断入口：题目问“若反常积分 \(\displaystyle \int_0^1x^p(1-x)^{p-1}\ln x\mathrm{d}x\) 收敛”，不仅要求数值有限，还要求原式至少在一个端点确实无界；这正是本题的选项口径
- 分步方法：近 0 时主因子为 \(x^p\ln x\)，积分有限需 \(p>-1\)，但只有 \(p\leqslant0\) 时它在 0 无界；近 1 时令 \(t=1-x\)，有 \((1-x)^{p-1}\ln x\sim-t^p\)，积分有限同样需 \(p>-1\)
- ★例8.7 结论｜纯数学的“积分有限”范围是 \(p>-1\)；其中 \(p>0\) 时两端均可连续补值，成为普通定积分。题目明确称“反常积分”，故保留确有瑕点的 \(-1<p\leqslant0\)，选(B)
- ⚠️ 书上“当 \(p=0\) 时，该积分为定积分”只紧承右半段 \(\int_{1/2}^1\)：此时 \(x=1\) 处极限为 \(-1\)；整体积分在 \(x=0\) 仍因 \(\ln x\) 无界而是收敛反常积分
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b_101_0例8.8 同时有 0 端点和无穷端点时，比较方向怎样选？¶
- ★P101–102｜判断入口：积分跨越 \((0,+\infty)\)，先拆成 \((0,1]\) 与 \([1,+\infty)\)；想证收敛找可积上界，想证发散找发散下界
- 分步方法：对 \(\displaystyle I_1=\int_0^{+\infty}\frac{|\sin x|}{x^{3/2}}\mathrm{d}x\)，近 0 用 \(|\sin x|\leqslant x\) 得被积函数不超过 \(x^{-1/2}\)；无穷远用 \(|\sin x|\leqslant1\) 得不超过 \(x^{-3/2}\)，两段都收敛
- 对 \(\displaystyle I_2=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}|\sin x|}\)，由 \(|\sin x|\leqslant1\) 得 \(\frac1{1+\sqrt{x}|\sin x|}\geqslant\frac1{1+\sqrt{x}}>0\)，而右侧在无穷远发散，故 \(I_2\) 发散；例8.8 选(B)
- ⚠️ 易错：同一个 \(|\sin x|\leqslant1\)，放在分子时给上界，放在分母时会反向给下界；先明确要证收敛还是发散
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