强化第4讲一元函数微分学的计算（高阶导数八法）

数学二范围 · 强化卡片 · 专题阅读 · 保留代码与校订注 · 与版本锁一致

强化第4讲一元函数微分学的计算（高阶导数八法）¶

★P47–48｜目标：求 \(f^{(n)}(x_0)\)。若 \(f\) 是 \(\mathrm{e}^x\)、\(\ln(1+x)\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\frac{1}{1+x}\) 的"亲戚"，恒等变形后套已知展开式，用唯一性对系数
预处理①通分逆运算（瓦解敌人各个击破）：\(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)；例4.2：\(\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\) ⟹ \(y^{(n)}=\bigl[(-1)^n\frac{1}{x^{n+1}}+\frac{1}{(1-x)^{n+1}}\bigr]n!\)
②对数拆：\(\ln(2+x)=\ln 2+\ln(1+\frac{x}{2})\)（\(\ln(1+x+1)\) 是无法展成 \(x\) 的式子——先提出常数）；③三角降幂 \(\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\)；④广义化：把基本展开式中的 \(x\) 替换为整体 \(u(x)\)
⑤"偏导数化"：例4.2(2) \(z=\frac{y^2}{x(1-x)}\) 对 \(x\) 求 \(n\) 阶偏导=把 \(y^2\) 当常数提出——一元结论直接乘系数
★P48（例4.1 ★微分方程+泰勒联动）｜\(x^2f'=f^2\)，\(f(1)=\frac{1}{3}\)：分离变量解得 \(f=\frac{x}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2x+1}\) ⟹ 展开对系数 \(f^{(n)}(0)=(-2)^{n-1}n!\ (n\geqslant1)\)，选(D)
💡 基础见：30讲·泰勒展开式求 f⁽ⁿ⁾(0) 的对系数套路是什么？

回源 · PDF 第 47 页 · b_47_0；PDF 第 48 页 · b_48_0

★P49–50（例4.4 ★）｜\(y=\frac{x}{1+x^2}\) 求 \(y^{(2n+1)}(0)\)：先变形 \((1+x^2)y=x\)。对等式求 \(n\) 阶导；当 \(n\geq2\) 时，莱布尼茨公式给 \((1+x^2)y^{(n)}+2nxy^{(n-1)}+n(n-1)y^{(n-2)}=0\)。令 \(x=0\) 得 \(y^{(n)}(0)=-n(n-1)y^{(n-2)}(0)\)，由 \(y'(0)=1\) 递推出 \(y^{(2n+1)}(0)=(-1)^n(2n+1)!\)（偶数阶为 0，因为 \(y\) 是奇函数）
同源：\(y=\arctan x\) ⟹ \(y'(1+x^2)=1\) 再莱布尼茨——"若非亲戚，先求一两阶导再恒等变形"
★P49（例4.3）｜\(f=(x^3-1)^n\) 求 \(f^{(n)}(1)\)：因式分解 \((x-1)^n(x^2+x+1)^n\) ⟹ 莱布尼茨只有 \(k=n\) 项存活（\((x-1)^n\) 求 \(n\) 阶得 \(n!\)，其余项在 \(x=1\) 含因子 \((x-1)\)）⟹ \(n!\cdot 3^n\)
🧠 莱布尼茨的"存活项分析"：代值点让大多数项含零因子——先想哪些项活着，再动笔；这是强化和基础的速度差

回源 · PDF 第 49 页 · b_49_0；PDF 第 50 页 · b_50_0

★P50–51（例4.5 参数+绝对值）｜\(x=2t+\lvert t\rvert\)，\(y=\lvert t\rvert\tan t\) ⟹ 消参得 \(y=\frac{x}{3}\tan\frac{x}{3}\)（\(x\geqslant 0\)）/ \(-x\tan x\)（\(x<0\)）：\(f'(0)=0\) 存在且 \(f'\) 连续；\(f''_+(0)=\frac{2}{9}\neq-2=f''_-(0)\) ⟹ \(f''(0)\) 不存在，选(C)——一阶平滑不保证二阶平滑
★P52（例4.7 隐函数二阶+极值联动）｜\(a\mathrm{e}^x+y^2+y-\ln(1+x)\cos y+b=0\)，\(y(0)=y'(0)=0\)：代点定 \(a=1\)、\(b=-1\)；再导一次代点得 \(y''(0)=-2<0\) ⟹ \(x=0\) 是极大值点——隐函数求导与极值判别的标准联动（30讲例5.3 强化版）
★P53（例4.9 反函数二阶）｜\(f=\mathrm{e}^x+2x+1\)，\(g\) 为反函数，求 \(g''(2)\)：\(f(0)=2\) ⟹ 代 \(x=0\)；\(g''(y)=-\frac{f''}{(f')^3}\big|_{x=0}=-\frac{1}{27}\)，选(C)——⚠️ 代的是 \(x\) 值不是 \(y\) 值
★P51（例4.6/奇偶周期）｜\(f=\frac{1}{2^x+1}\)：\(g=f-\frac{1}{2}\) 奇 ⟹ \(f^{(4)}(0)=g^{(4)}(0)=0\)——对称性两用："发现对称"与"创造对称"（平移）
💡 基础见：30讲·反函数一阶、二阶导数公式各是什么？／隐函数的极值怎么求？（例13.19 五步）

回源 · PDF 第 50 页 · b_50_0；PDF 第 51 页 · b_51_0；PDF 第 52 页 · b_52_0；PDF 第 53 页 · b_53_0

判断入口｜★P52–53｜参数方程 \(x=\ln t\)、\(y=e^{t^2}\)（\(t>0\)），求 \(\left.\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\right|_{t=1}\)
一阶导｜\(\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy/\mathrm dt}{\mathrm dx/\mathrm dt}=\frac{2te^{t^2}}{1/t}=2t^2e^{t^2}\)
二阶导｜\(\displaystyle \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)=\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(2t^2e^{t^2})}{\mathrm dx/\mathrm dt}=4t^2(1+t^2)e^{t^2}\)
结论｜代 \(t=1\) 得 \(\boxed{8e}\)。🧠 参数二阶导＝先把一阶导对 \(t\) 求导，再除一次 \(x'(t)\)

回源 · PDF 第 52 页 · b_52_16