强化第15讲微分方程

数学二范围 · 强化卡片 · 专题阅读 · 保留代码与校订注 · 与版本锁一致

强化第15讲微分方程¶

簇S15A：求解与研究性质——先识别方程的“马甲”¶

一阶方程经过换元后，怎样归到可分离或齐次型？¶

★P197–199｜判断入口：出现 \(ax+by+c\) 就令它为 \(u\)；在 \(x\neq0\)（或 \(y\neq0\)）的区间内只含 \(y/x\)（或 \(x/y\)）就令比值为 \(u\)；分式线性型先平移交点，再化齐次
分步方法：①找整体或比值；②连同导数一起换元；③化为可分离方程；④积分后回代；⑤检查换元时除掉的常值解
★例15.1：\(x+yy'=y-xy'\) 整理为齐次型，在 \(x\neq0\) 的区间内令 \(u=y/x\)，得通解 \(\arctan\frac yx+\frac12\ln(x^2+y^2)=C\)；例15.2 将两条直线 \(2x-5y+3=0\)、\(2x+4y-6=0\) 的交点平移为新原点，特解为 \((y+2x-3)^2(4y-x-3)=5\)
⚠️ 分式线性型先看两条一次式是否成比例；不成比例先平移，不要硬凑 \(y/x\)。🧠 见整体就整体换，见比值就齐次换，见两直线先搬原点

回源 · PDF 第 198 页 · b_198_0

一阶齐次线性方程的周期解，怎样只看一个定积分？¶

★P200｜判断入口：\(y'+p(x)y=0\)，其中连续函数 \(p(x)\) 以 \(T>0\) 为周期；非零解为 \(y=C e^{-\int_{x_0}^xp(t)\mathrm dt}\)
分步方法：比较 \(y(x+T)\) 与 \(y(x)\)；利用 \(p\) 的周期性，指数多出的量正是 \(-\int_0^Tp(t)\mathrm dt\)；要所有非零解以 \(T\) 为周期，就令该指数因子为 1
★例15.3：条件 \(\int_0^Tp(x)\mathrm dx=0\) 是“非零解以 \(T\) 为周期”的充分必要条件，选(C)
⚠️ 不能只凭系数周期就断言解周期。🧠 系数周期只给重复环境，一周期净积分为 0 才能回到原值

回源 · PDF 第 200 页 · b_200_0

解出一阶线性方程后，怎样继续算弧长而不被根式卡住？¶

★P200–201（数一、数二）｜判断入口：先由方程与初值求 \(y(x)\)，再代弧长 \(s=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\mathrm dx\)
分步方法：①将 \(2xy'-4y=2\ln x-1\) 化为 \(y'-\frac2xy=\frac{2\ln x-1}{2x}\)；②解得 \(y=-\frac12\ln x+Cx^2\)；③由 \(y(1)=\frac14\) 定 \(C=\frac14\)；④化简根式
★此时 \(y'=-\frac1{2x}+\frac x2\)，故 \(\sqrt{1+(y')^2}=\frac12(x+\frac1x)\)（\(x\in[1,e]\)），最终弧长 \(s=\frac14e^2+\frac14\)
⚠️ 根式能化成完全平方依赖区间内 \(x>0\)。🧠 先化 \(1+(y')^2\)，再决定绝对值符号

回源 · PDF 第 200 页 · b_200_11；PDF 第 200 页 · b_200_12；PDF 第 200 页 · b_200_13；PDF 第 200 页 · b_200_14；PDF 第 200 页 · b_200_15

二阶可降阶方程最容易丢掉哪一个解？¶

★P201–203（数一、数二）｜判断入口：缺 \(y\) 时令 \(p=y'\)；缺 \(x\) 时令 \(p(y)=y'\)，并写 \(y''=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}\)
分步方法：①先降成一阶；②分离变量前检查被除因子为 0 时是否给出常值解；③边解边代初值；④再积分一次恢复 \(y\)
★例15.5：\(y''+2x(y')^2=0\)，令 \(u=y'\) 得 \(u'+2xu^2=0\)。若直接除以 \(u^2\) 会漏掉 \(u=0\)；初值 \(y'(0)=0\) 正好选中这支，故定解为 \(y\equiv1\)
⚠️ “除以未知函数”前必须单独检查其为 0 的情形。🧠 每次除 \(p\)，先问 \(p=0\) 是不是解

回源 · PDF 第 201 页 · b_201_3；PDF 第 201 页 · b_201_4；PDF 第 201 页 · b_201_5；PDF 第 201 页 · b_201_6；PDF 第 201 页 · b_201_7；PDF 第 201 页 · b_201_8；PDF 第 201 页 · b_201_9；PDF 第 201 页 · b_201_10；PDF 第 201 页 · b_201_11；PDF 第 201 页 · b_201_12；PDF 第 201 页 · b_201_13；PDF 第 201 页 · b_201_14；PDF 第 201 页 · b_201_15

缺 \(x\) 的二阶方程，为什么要把 \(y''\) 写成 \(p\,\mathrm dp/\mathrm dy\)？¶

★P202–203｜判断入口：方程只含 \(y,y',y''\)，不显含 \(x\)，目标是把自变量从 \(x\) 换成 \(y\)
分步方法：令 \(p(y)=y'\)，则 \(y''=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}\)；解出 \(p(y)\) 后，再由 \(\mathrm dy/\mathrm dx=p(y)\) 分离
★例15.6：\(2y^2y''=[1+(y')^2]^2\) 配初值 \(y(3)=2,y'(3)=1\)，先得 \(p^2=y-1\)，再积分得 \(2\sqrt{y-1}=x-1\)，故 \(y=\frac14(x-1)^2+1\)（\(x\geqslant1\)）
⚠️ 若仍写成 \(p'(x)\)，就没有真正消去 \(x\)。🧠 缺谁就赶走谁：缺 \(x\)，导数链要改成对 \(y\)

回源 · PDF 第 202 页 · b_202_0

高阶方程怎样用“全微分/乘积导数”直接降阶？¶

★P203｜判断入口：方程中若出现 \(f'g+fg'\) 或 \(f'g-fg'\) 的结构，先凑成一个整体导数
分步方法：①识别乘积或商的导数；②整体积分一次降阶；③再按可分离或线性方程处理
★例15.7：在不穿过 \(x=0\) 的区间上，\(xyy''+x(y')^2-yy'=0\) 两端除以 \(x^2\) 后，恰有 \(\left(\frac{yy'}x\right)'=0\)；于是 \(\frac{yy'}x=C_1\)，再积分得 \(\frac12y^2=\frac12C_1x^2+C_2\)
⚠️ 先观察结构往往比机械令 \(p=y'\) 更短。🧠 见 \(yy''+(y')^2\) 就想 \((yy')'\)

回源 · PDF 第 203 页 · b_203_0

“任意解的反常积分都收敛”怎样反推参数范围？¶

★P203–204｜判断入口：二阶常系数齐次方程要求对任意常数 \(C_1,C_2\)，\(\int_0^{\infty}y(x)\mathrm dx\) 都收敛，等价于每个特征模态都必须衰减且可积
分步方法：①写特征方程；②按两实根、重根、共轭复根分类；③实根要求都 \(<0\)，复根要求实部 \(<0\)；④把各分支条件取并集
★例15.8：\(y''-2ay'+(a+2)y=0\)，特征方程 \(\lambda^2-2a\lambda+a+2=0\)。分类讨论后得到 \(-2<a<0\)，选(C)
⚠️ 重根解含 \(xe^{ax}\)，仍需 \(a<0\)；“某个解收敛”不等于“任意解收敛”。🧠 任意常数不许靠抵消，所有根的实部都得向左

回源 · PDF 第 204 页 · b_204_0

已知若干特解，怎样反向写出高阶齐次方程？¶

★P205–206｜判断入口：从解的形状读特征根及重数，再按方程阶数补齐根的总数
分步方法：\(te^t\) 表示 \(\lambda=1\) 至少二重；\(\sin2t\) 表示 \(\lambda=\pm2i\) 至少各单根；将根写成特征多项式，再按系数还原微分方程
★例15.10：四阶方程有解 \(y_1=te^t\)、\(y_2=\sin2t\)，根恰为 \(1,1,2i,-2i\)，故特征多项式 \((\lambda-1)^2(\lambda^2+4)=\lambda^4-2\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4\)，方程为 \(y^{(4)}-2y'''+5y''-8y'+4y=0\)，选(A)
⚠️ \(te^t\) 不是“根 \(t\)”，而是重根信号。🧠 指数读实根，三角读共轭根，前乘 \(x\) 就加重数

回源 · PDF 第 206 页 · b_206_0

非标准微分方程怎样靠“整体换元”暴露线性结构？¶

★P206–207｜判断入口：出现 \(e^y\)、\(y+x^2\)、\(x\pm y\)、\(xy\)、\(y/x\) 等反复组合，先把组合整体设为新未知量
分步方法：①观察哪一组合的导数也在方程中；②整体换元；③解新变量的一阶方程；④回代并用初值定常数
★例15.11：\(y'+1=e^{-y}\sin x\) 乘 \(e^y\) 后成为 \((e^y)'+e^y=\sin x\)，令 \(u=e^y\) 直接化一阶线性；例15.12：\(y'-\sqrt{y+x^2}=-2x\)，令 \(u=y+x^2\)，得 \(u'=\sqrt u\)，最终 \(y=-\frac34x^2+x+1\)（\(x\geqslant-2\)）
⚠️ 换元不是看到复杂就乱设，必须让“组合和它的导数”同时出现。🧠 观察决定化归方向，换元负责露出经典型

回源 · PDF 第 207 页 · b_207_0

簇S15B：建立方程——把文字中的等量关系翻译成导数¶

函数恒等式怎样通过特殊点和导数定义变成微分方程？¶

★P208｜判断入口：题给恒等式对任意正实数 \(x,y\) 成立，且含 \(f(xy)\) 与 \(f(x),f(y)\)；先代 \(x=1\) 或 \(y=1\) 定点值，再用差商构造 \(f'(x)\)
分步方法：①特殊点求 \(f(1)\)；②把 \(x+\Delta x\) 写成 \(x(1+\Delta x/x)\)；③用原恒等式改写 \(f(x+\Delta x)\)；④取极限得到关于 \(f,f'\) 的一阶方程
★例15.13：对任意 \(x,y>0\)，\(f(xy)=yf(x)+xf(y)\)，且 \(f'(1)=e\)。先得 \(f(1)=0\)，再得 \(f'(x)-\frac1x f(x)=e\)，解出 \(f(x)=ex\ln x\)（\(x>0\)）；令 \(u=xy>0\)，其极小值为 \(f(e^{-1})=-1\)
⚠️ 目标是 \(f(xy)\) 的极值时，先把 \(xy\) 看成一个正变量 \(u\)。🧠 恒等式先定特殊点，再用定义造导数

回源 · PDF 第 208 页 · b_208_0

建微分方程时，几何量翻译表怎样分组记？¶

★P209–210（数一、数二）｜判断入口：题目不给导数方程，而给斜率、截距、面积、弧长、曲率或形心时，先把几何量翻译成函数与导数
分步方法：①局部量：斜率 \(k=y'\)，公切线斜率满足 \(f'=g'\)，两轴截距由切线方程读出；②累积量：面积用定积分，旋转体积用截面法，平均值用 \(\frac1{b-a}\int_a^bf\)；③形状量：弧长 \(\int\sqrt{1+(y')^2}\mathrm dx\)，旋转曲面面积 \(\int2\pi|y|\sqrt{1+(y')^2}\mathrm dx\)，曲率 \(\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}}\)
★区域形心是二重积分平均：\(\bar x=\frac{\iint_Dx\,\mathrm d\sigma}{\iint_D\mathrm d\sigma}\)、\(\bar y=\frac{\iint_Dy\,\mathrm d\sigma}{\iint_D\mathrm d\sigma}\)；翻译完成后，题设“两个量相等/成比例”才变成方程
⚠️ 公式不是最终目标，必须连同区间、正负和初始条件一起写。🧠 先判量属于局部、累积、形状还是区域平均，再取对应公式

回源 · PDF 第 209 页 · b_209_0

切线截距条件怎样翻译成一阶线性方程？¶

★P209–210｜判断入口：曲线在 \((x,y)\) 的切线为 \(Y-y=y'(X-x)\)；令 \(X=0\) 得 \(y\) 轴截距 \(y-xy'\)；当 \(y'\neq0\) 时，令 \(Y=0\) 得 \(x\) 轴截距 \(x-y/y'\)
分步方法：①写切线方程；②把题目中的距离或截距写成代数式；③令两信息量相等；④整理为标准一阶方程；⑤解后再做最值
★例15.14：曲线取 \(x>e\)；点 \(P(x,y)\) 到 \(y\) 轴距离为 \(x\)，等于切线的 \(y\) 轴截距，故 \(y-xy'=x\)；配 \(y(e^2)=0\) 得 \(y=2x-x\ln x\)。切线与坐标轴围成面积 \(S(x)=\frac{x^2}{2(\ln x-1)}\)，在 \(x=e^{3/2}\) 处最小，最小面积 \(e^3\)
⚠️ 截距可能带符号，题目说“距离”时要结合所在区域判断正负。🧠 先写切线，再令坐标为 0 读截距

回源 · PDF 第 210 页 · b_210_0

曲率条件怎样化成缺 \(x\) 的二阶可降阶方程？¶

★P210–211（数一、数二）｜判断入口：曲率 \(k=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}}\)，题目又给切线倾角 \(\alpha\) 时，用 \(\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+(y')^2}}\)
分步方法：①由凹凸性定 \(y''\) 的符号，去绝对值；②把 \(\cos\alpha\) 全部改写成 \(y'\)；③得到只含 \(y,y',y''\) 的方程；④按缺 \(x\) 型令 \(p(y)=y'\)
★例15.15：\(k=\frac1{2y^2\cos\alpha}\) 且 \(y''>0\)，化为 \(2y^2y''=[1+(y')^2]^2\)；切线过 \((3,2)\) 且倾角 \(45^\circ\) 给 \(y(3)=2,y'(3)=1\)，复用例15.6 得 \(y=\frac14(x-1)^2+1\)（\(x\geqslant1\)）
⚠️ 曲率公式自带绝对值，必须用题设凹凸性确定符号。🧠 倾角消成 \(y'\)，曲率就落回可降阶方程

回源 · PDF 第 211 页 · b_211_0

阻力与速度成正比时，怎样直接建立“位移—速度”关系？¶

★P211–212（数一、数二）｜判断入口：题目问某段位移对应的速度，不必先求 \(v(t)\)；用 \(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=v\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\) 消去时间
分步方法：牛顿第二定律给 \(m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=-kv\)；在仍在滑行、\(v>0\) 的阶段代入链式关系并约去 \(v\)，得 \(m\mathrm dv=-k\mathrm dx\)；积分得 \(x=\frac mk[v(0)-v]\)，停车位置再由 \(v\to0^+\) 取极限
★例15.17：总位移在 \(v\to0\) 时为 \(\frac mkv(0)\)；滑行到总位移一半时，\(\frac mk[v(0)-v]=\frac12\frac mkv(0)\)，故 \(v=\frac{v(0)}2\)，选(B)
⚠️ 问位移与速度关系时，先把加速度改写成 \(v\,\mathrm dv/\mathrm dx\)。🧠 不问时间，就尽量把时间消掉

回源 · PDF 第 212 页 · b_212_0

“追踪者始终指向目标”怎样变成轨迹微分方程？¶

★P212–213｜判断入口：追踪点 \(Q\) 的运动方向就是轨迹在 \(Q\) 处的切线方向；连线 \(QP\) 给出同一方向斜率
分步方法：①设 \(Q=(x,y)\)、目标 \(P=(0,Y)\)；②用距离 \(|PQ|=1\) 得 \(x^2+(y-Y)^2=1\) 并按图形选符号；③令切线斜率 \(y'=\frac{y-Y}{x}\)；④分离积分并代初始点
★例15.18：取 \(y-Y=-\sqrt{1-x^2}\)，得 \(y'=-\frac{\sqrt{1-x^2}}x\)；令 \(x=\cos t\) 积分，过 \((1,0)\) 后轨迹为 \(y=\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}x-\sqrt{1-x^2}\)，定义域为 \(0<x\leq1\)
⚠️ 正负号由图形方向决定，不能只凭平方关系。🧠 追踪方向=切线方向，定长连线=几何约束

回源 · PDF 第 213 页 · b_213_0

强化第15讲 微分方程