强化第7讲 物理应用（数学二部分）
强化第7讲 物理应用（数学二部分）¶
簇S7A：相关变化率与正比模型¶
相关变化率题怎样从几何关系直接得到速度？¶
- 判断入口｜若多个长度都随时间变化，先写它们之间始终成立的几何等式，再整体对 \(t\) 求导。
- 常用转换｜\(v=\mathrm dx/\mathrm dt\)， \(a=\mathrm dv/\mathrm dt=v\,\mathrm dv/\mathrm dx\)； 参数关系可写成 \(\mathrm dy/\mathrm dt=(\mathrm dy/\mathrm dx)(\mathrm dx/\mathrm dt)\)。
- 例7.1｜质点沿 \(y=x^{3/2}\) 运动，距原点 \(L\) 满足 \(L^2=x^2+x^3\)。
- 求导代值｜\(2L\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=(2x+3x^2)\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\)； 当 \(x=3\) 时 \(L=6\)、\(\mathrm dL/\mathrm dt=11\)，故 \(\mathrm dx/\mathrm dt=4\ \mathrm{cm/s}\)。
- 易错｜先对恒等关系求导，最后再代瞬时数值；不要过早把变量写死。
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b_85_4；PDF 第 86 页 · b_86_1“变化率与某量成正比”怎样翻成微分方程？¶
- 翻译规则｜“\(A\) 对 \(t\) 的变化率与 \(B\) 成正比”写成 \(\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=kB\)；正负号由实际过程决定。
- 例7.2｜冷却时温差 \(T-20\) 越大，降温越快： \(\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-k(T-20)\)，\(k>0\)。
- 解方程｜由 \(T(0)=120\) 得 \(T=100\mathrm e^{-kt}+20\)；由 \(T(30)=30\) 得 \(k=\frac{\ln10}{30}\)。
- 回答问题｜令 \(T=21\) 得总时间 \(t=60\) min；题问“还需多久”，所以答案是 \(60-30=30\) min。
- 易错｜模型中的 \(t\) 从初始时刻计时，题目最后可能问新增时间而非总时间。
- 范围｜P87 中部开始的经济应用只属数学三，数学二跳过。
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b_86_15；PDF 第 87 页 · b_87_2；PDF 第 87 页 · b_87_12