强化第5讲微分学几何应用

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强化第5讲微分学几何应用¶

判断入口｜题目问“切线/法线与坐标轴交点”，且已知曲线上点 \(P(x_0,y_0)\) 与 \(y'(x_0)\)。
公式｜切线的 \(x\) 截距为 \(x_0-\frac{y_0}{y'(x_0)}\)，\(y\) 截距为 \(y_0-x_0y'(x_0)\)；法线的 \(x\) 截距为 \(x_0+y_0y'(x_0)\)，\(y\) 截距为 \(y_0+\frac{x_0}{y'(x_0)}\)。
怎么来｜先写切线 \(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\)、法线 \(y-y_0=-\frac{1}{y'(x_0)}(x-x_0)\)，再分别令 \(y=0\) 或 \(x=0\)；不建议把四式孤立死背。
易错｜截距是交点的坐标，不是到原点的距离；含 \(1/y'(x_0)\) 的公式还要检查 \(y'(x_0)\neq0\)。

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判断入口｜★P55｜\(f\in C^1\)，\(f(0)=0\)、\(f'(0)=1\)；设 \(u\) 为曲线在 \((x,f(x))\) 处切线的 \(x\) 轴截距，求 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x f(u)}{u f(x)}\)
先求截距｜切线为 \(Y-f(x)=f'(x)(X-x)\)；令 \(Y=0\)，得 \(\displaystyle u=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\)，并由已知条件得到 \(u\to0\)
拆成定义｜\(\displaystyle \frac{x f(u)}{u f(x)}=\frac{x}{f(x)}\cdot\frac{f(u)}u\longrightarrow\frac1{f'(0)}\cdot f'(0)=1\)
结论｜\(\boxed{1}\)。⚠️ \(u\) 是横截距，不是切线长度；先写切线方程，再把极限拆成两个导数定义

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判断入口｜题目不给具体极值点，而用“没有极值点”“有拐点”等整体描述限制参数。
翻译规则｜可导函数在内部极值点必有 \(f'=0\)，但反向不成立；判断极值要看候选点两侧 \(f'\) 是否变号，判断拐点要看凹凸性是否改变。对例5.2这类“\(f'\) 等于恒正因子乘二次多项式”的特殊结构，无极值可转化为该二次式不跨过 0；不要把“无极值 ⇔ \(f'\) 全程不变号”无条件推广到任意函数。
例5.2｜\(f(x)=(x^2+a)\mathrm e^x\)：\(f'=(x^2+2x+a)\mathrm e^x\) 不变号，需 \(4-4a\leq0\)，即 \(a\geq1\)；\(f''=(x^2+4x+a+2)\mathrm e^x\) 要变号，需 \(16-4(a+2)>0\)，即 \(a<2\)。故 \(a\in[1,2)\)，选(C)。
易错｜“\(f'(x_0)=0\)”只给候选点，不自动给极值；“\(f''(x_0)=0\)”也只给拐点候选。

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判断入口｜已知 \(y=f(x)\) 在 \(P_0(x_0,y_0)\) 的曲率圆，要求 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近的二阶近似。
核心翻译｜原曲线与曲率圆在切点具有相同的 \(y_0\)、\(y'(x_0)\)、\(y''(x_0)\)；对圆方程隐式求导两次即可取出这三个量。
例5.3｜曲率圆 \((x-1)^2+y^2=2\) 过 \((0,1)\)。一次隐导得 \(f'(0)=1\)，二次隐导得 \(f''(0)=-2\)，故 \(f(x)=1+x-x^2+o(x^2)\)。
结论｜若 \(f(x)-(a+bx+cx^2)=o(x^2)\)，则 \(a=1,b=1,c=-1\)。
易错｜二次项系数是 \(\frac{f''(0)}{2}=-1\)，不是 \(f''(0)\)。

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判断入口｜选项把 \(f'(x_0)\)、\(f''(x_0)\) 与“在某邻域单调/凹凸”互相推导。
正向可用｜若 \(f''(x_0)\) 存在，则 \(f'\) 在 \(x_0\) 连续；因此 \(f'(x_0)>0\) 可推出充分小邻域内 \(f'>0\)，从而函数单调增加。
反向要保守｜邻域单调增只能推出 \(f'(x_0)\geq0\)，不能推出严格大于 0，例如 \(x^3\)；邻域向上弯也只能给 \(f''(x_0)\geq0\)，例如 \(x^4\) 在 0 处二阶导为 0。
另一陷阱｜只有 \(f''(x_0)>0\)，若未给 \(f''\) 在邻域连续，不能直接推出整个邻域同号。
口诀｜**点推邻域要连续，邻域推点只送等号。

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判断入口｜给原函数，问其反函数的渐近线。
优先路线｜能显式解出反函数就直接解；否则利用图像关于 \(y=x\) 对称，把原函数的铅直渐近线与反函数的水平渐近线互换。
例5.7｜\(f(x)=\frac12\ln\frac{3+x}{3-x}\) 的反函数为 \(g(x)=3-\frac{6}{\mathrm e^{2x}+1}\)。
结论｜\(x\to+\infty\) 时 \(g\to3\)，\(x\to-\infty\) 时 \(g\to-3\)，故水平渐近线为 \(y=\pm3\)。
易错｜反函数里的自变量已经互换，代极限时不要仍把原函数的 \(x\) 当成反函数的函数值。

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判断入口｜★P59–60｜\(\displaystyle f(x)=\int_0^x\frac{t}{t^2+2t+2}\,\mathrm dt\)，\(x\in[0,1]\)，求最大值
先判位置｜\(\displaystyle f'(x)=\frac{x}{(x+1)^2+1}>0\ (0<x\leq1)\)，故 \(f\) 在 \([0,1]\) 上递增，最大值一定在 \(x=1\)
再算端点｜\(\displaystyle \frac{t}{t^2+2t+2}=\frac{t+1}{(t+1)^2+1}-\frac1{(t+1)^2+1}\)
结论｜\(\displaystyle \boxed{f_{\max}=f(1)=\frac12\ln\frac52-\arctan2+\frac\pi4}\)。🧠 变限积分最值：先用导数定位，再只算必要端点

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判断入口｜题图给的是 \(y=f'(x)\)，另给 \(f(x_0)\) 和各区域面积。
分步方法｜①从 \(f'\) 正负读出 \(f\) 的增减；②把端点、\(f'=0\) 的点以及 \(f'\) 不存在但 \(f\) 有定义的点都列为候选；③用 \(f(b)-f(a)=\int_a^b f'(x)\mathrm dx\) 按带符号面积逐段累计函数值；④比较候选值。
例5.9｜若 \(f(0)=1\)，三块带符号面积依次为 \(-3,+4,-2\)，则 \(f(1)=-2, f(3)=2, f(4)=0\)；最大值为 2，最小值为 \(-2\)。
记忆｜把 \(f'\) 图像的面积当作“存取款”：轴上方存钱，轴下方取钱，端点与驻点是对账日。

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