强化第1讲 函数极限与连续
强化第1讲 函数极限与连续¶
簇S1A：未定式判定与局部极限表¶
复合幂指 u 的 v 次方极限什么时候能"分头代入"？¶
- ★P16｜若 \(\lim f(x)=a>0\)，\(\lim g(x)=b\)（\(a,b\) 均为实数）⟹ \(\lim f(x)^{g(x)}=a^b\)——底数正、两头都收敛才能分头代
- 五个必背“局部极限”（判未定式类型用）：\(\lim\limits_{n\to\infty}\lvert x\rvert^n\)：\(\lvert x\rvert<1\) 为 0、\(=1\) 为 1、\(>1\) 为 \(+\infty\)；\(\lim\limits_{n\to\infty}nx^{2n}\)：\(\lvert x\rvert<1\) 为 0、其余 \(+\infty\)；\(\lim\limits_{x\to0^+}x^a\)：\(a>0\) 时为 0，\(a=0\) 时为 1，\(a<0\) 时为 \(+\infty\)；\(\mathrm{e}^{nx}\)、\(n^x\) 按 \(x\) 的正负零分段
- 用途：\(\lim\limits_{n\to\infty}\) 定义的分段函数（30讲例1.26 同源）先用局部极限表把"\(n\) 部分"清干净
- 💡 基础见：30讲·抓大头适用什么场景？三种结果怎么记？
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b_16_0变上限积分怎么比阶？（★★★强化新增主力）¶
- ★P18–19｜当 \(x\to0\)、\(f(t)\sim at^m\)（\(a\neq0\)，并保证相应积分存在）时，\(\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\sim\frac{a}{m+1}x^{m+1}\)（积分升一阶）。若用正实数幂，应按书中情形取 \(x\to0^+\)
- ★★★若 \(\lim\limits_{t\to0}f(t)=A\neq0\)，且 \(h(x)\to0\)、在去心邻域内 \(h(x)\neq0\)，则 \(\int_0^{h(x)}f(t)\mathrm{d}t\sim A\,h(x)\)——上限是谁就等价于 \(A\) 倍的谁
- 复合+变限：若 \(f(t)\sim at^m\)、\(g(x)\sim bx^n\)，其中 \(ab\neq0\)、\(m,n\in\mathbb N_+\)，且 \(g(x)\to0\)，则 \(\int_0^{g(x)}f(t)\mathrm{d}t\sim\frac{a}{m+1}[g(x)]^{m+1}\sim\frac{ab^{m+1}}{m+1}x^{n(m+1)}\)；涉及非整数正实数幂时限制 \(x\to0^+\)
- 🧠 记忆一句话："积分补一阶，上限管尺度"；30讲只讲了"求导降一阶"，这里是反方向
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b_18_0；PDF 第 19 页 · b_19_0"带头大哥"三条结论怎么用？（★★★）¶
- ★P19｜\(\alpha=o(\beta)\)（\(\beta\) 是带头大哥）时：①\(\alpha+\beta\sim\beta\)（和与大哥等价）②\(\alpha+\beta\) 与 \(\beta\) 同号（充分靠近时）③\(\alpha\beta=o(\beta^2)\)
- ★P19（例1.5）｜典型应用：\(x\to 0^+\) 时 \(\sqrt{x}+x^2\sim\sqrt{x}\)、\(x^3+x\ln(1+x)\) 中 \(x\ln(1+x)\sim x^2\) 是大哥……多项相加先排阶再留最低阶（\(x\to 0\)）或最高阶（\(x\to\infty\)）
- ⚠️ 加减里能"直接扔掉"的只有确认为 \(o(\beta)\) 的小弟——这和"加减不能乱替换"不矛盾：扔小弟=带头大哥定理，替换大哥=危险动作
- 💡 基础见：30讲·必背的等价无穷小有哪几组？怎么"广义化"？
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b_19_0例1.6：开区间有界，为什么必须分别检查 0 与无穷远？¶
- 判断入口｜函数要求在 \((0,+\infty)\) 上有界，而区间两端都不包含；必须分别检查 \(x\to0^+\) 和 \(x\to+\infty\)，最后取条件交集
- 题设｜★P19–20｜\(\displaystyle f(x)=\frac{\int_0^x\ln(1+t^2)\,\mathrm dt}{x^\alpha}\) 在 \((0,+\infty)\) 上有界，求 \(\alpha\)
- 无穷远｜分子随 \(x\) 增长；\(\alpha\leq0\) 显然不可能有界。对 \(\alpha>0\) 用洛必达比较可知，有界要求 \(\alpha>1\)
- 零点附近｜\(\ln(1+t^2)\sim t^2\)，故 \(\displaystyle f(x)\sim\frac{x^3/3}{x^\alpha}=\frac13x^{3-\alpha}\)，有界要求 \(\alpha\leq3\)
- 结论｜\(\boxed{1<\alpha\leq3}\)。🧠 无穷远给下界，零点给上界，两端条件取交集
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b_19_14差函数的等价无穷小怎么"创造"出来？¶
- ★P17｜已背的差函数组之外，恒等变形创造差函数：\(x-\ln(1+\tan x)=\underbrace{(x-\tan x)}_{\sim-\frac{x^3}{3}}+\underbrace{[\tan x-\ln(1+\tan x)]}_{\sim\frac{\tan^2x}{2}\sim\frac{x^2}{2}}\sim\frac{x^2}{2}\)（低阶项是带头大哥）
- 复合函数型：若 \(f(u)\sim au^m\)（\(u\to0\)）、\(g(x)\sim bx^n\) 且 \(g(x)\to0\)，其中 \(ab\neq0\)、\(m,n\in\mathbb N_+\)，则 \(f[g(x)]\sim a[g(x)]^m\sim ab^mx^{mn}\)；若指数推广到非整数正实数，则取 \(x\to0^+\) 并保证幂有定义——等价代换可以“套娃”
- 🧠 套路名"加一项减一项"：目标 \(A-C\) 拆成 \((A-B)+(B-C)\)，两段各自是已背差函数；桥 \(B\) 的选法=让两段都落在差函数表里
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b_17_0簇S1B：涉及无穷的极限与连续¶
无穷减无穷的四板斧是什么？（强化版）¶
- ★P20–21｜①\(x\to\infty\) 型先分左右（\(+\infty\) 与 \(-\infty\) 是两道题）②见 \(f(u)-f(v)\) 同一函数之差 ⟹ 拉格朗日中值定理：例1.7 对 \(2^x\) 在 \([\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]\) 上用拉氏，\(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2}=2^\xi\ln2\bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\bigr)\)，故 \(n^2(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2})\to\ln2\)（把 \(a^{\frac{1}{n}}\) 看成 \(f(\frac{1}{n})\)）
- ③幂指相减提公因式：\([f]^{g_1}-[f]^{g_2}=[f]^{g_2}\bigl([f]^{g_1-g_2}-1\bigr)\)；★★★经典 \(\mathrm{e}-(1+\frac{1}{x})^x=\mathrm{e}[1-\mathrm{e}^{x\ln(1+\frac{1}{x})-1}]\sim-\mathrm{e}[x\ln(1+\frac{1}{x})-1]\sim\frac{\mathrm{e}}{2x}\)；例1.8 \(x^2(3^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x+1}})\to\ln 3\)
- ④\(\lim[f(x)-ax]\)（斜渐近线的 \(b\)）：合在一起恒等变形——例1.9 \(x\ln(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1})-x=x[\ln(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1})-1]\to\frac{1}{\mathrm{e}}\)；例1.10 同型答 \(\frac{1}{2\mathrm{e}}\)
- 💡 基础见：30讲·无穷减无穷型的两条路各是什么？（通分/倒代换是基础版，这里是强化四式）
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b_20_0；PDF 第 21 页 · b_21_0；PDF 第 22 页 · b_22_0间断点"备选点"有哪份必背清单？¶
- ★P22｜找间断点=先列无定义点清单（强化版 8 例）：\(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\) 挑 \(x=0\)；\(\frac{1}{\sin x}\) 挑 \(x=k\pi\)；\(\frac{1}{\arctan x}\) 挑 \(x=0\)；\(\frac{1}{\tan(x-\frac{\pi}{4})}\) 在 \((0,2\pi)\) 挑 \(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)（\(\tan\) 的零点和无定义点都算）；\(\frac{1}{\lvert x\rvert(x^2-1)}\) 挑 \(0,\pm 1\)；\([x]\) 挑全体整数；幂指 \(\lvert x\rvert^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}\) 挑 \(0,1,2\)
- ★特别的：\(\frac{1}{\int_1^xt\lvert\sin t\rvert\mathrm{d}t}\) 的无定义点是 \(x=\pm 1\)——奇函数在对称区间积分为零 \(\int_1^{-1}\) 也是 0！
- ★P23（例1.11）｜\(f(x)=\lvert x\rvert^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}\)：先列无定义点 \(0,1,2\)，逐个算极限；\(x=0,2\) 为无穷间断点，\(x=1\) 的极限为 \(\mathrm e\)，故只有 \(x=1\) 是第一类（可去）间断点
- 🧠 清单思维：找间断点错的从来不是"分类"，是"漏点"；分母零点、对数真数、\(\tan\) 断点、取整分段点、积分为零的点，五查
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b_22_0；PDF 第 23 页 · b_23_0簇S1C：微观性态——定义法的强化用法¶
极限定义里藏着的不等式怎么"取用"？¶
- ★P23–24｜\(\lim\limits_{x\to a}g(x)=A\) 的隐藏福利：对任意你需要的 \(\varepsilon>0\)（只要有利于解题），存在邻域使 \(\lvert g(x)-A\rvert<\varepsilon\)——\(\varepsilon\) 是你选的，不是题给的
- ★（例1.12=30讲附录6注例）｜设 \(f\) 连续可导，且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}[x-f(x)]=0\)、\(f(1)<1\)：(1) 取 \(\varepsilon=1-f(1)>0\)，存在 \(\xi>1\) 使 \(\lvert\xi-f(\xi)\rvert<1-f(1)\)；(2) 由此 \(f(\xi)-f(1)>\xi-1\)，再在 \([1,\xi]\) 上用拉格朗日，得某 \(\eta\) 满足 \(f'(\eta)>1\)
- ★P24（例1.13）｜\(f\) 单调减且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f=0\) ⟹ 证 \(f\geqslant 0\)：反证——若 \(f(x_0)<0\)，取 \(\varepsilon=-\frac{f(x_0)}{2}\) 导出矛盾；单调性把"尾巴非负"传导到全轴
- ★P25（例1.14 周期距离函数）｜\(f(x)=x\) 到最近偶数 \(2k\) 的距离 ⟹ 周期 2 的三角波（\(0\leqslant f\leqslant 1\)）⟹ \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\int_0^xf(t)\mathrm{d}t}{x}=\frac{1}{2}\)（每周期面积为 \(1\)、周期平均值为 \(\frac12\)，再夹逼；30讲例11.5 同款）
- ★P26（例1.15 ★）｜\(f(0)=1\)，\(f'=\frac{1}{f^2+x^2}>0\) ⟹ \(f\) 增 ⟹ \(f\geqslant 1\) ⟹ \(f'\leqslant\frac{1}{1+x^2}\) ⟹ 牛顿-莱布尼茨 \(f(x)=1+\int_0^xf'\mathrm{d}t\leqslant 1+\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=1+\frac{\pi}{2}\) ⟹ 单调有上界，\(\lim\limits_{x\to+\infty}f\) 存在且 \(\leqslant 1+\frac{\pi}{2}\)
- 🧠 "单调+有界"的函数版+"用 \(f'\) 的上界控制 \(f\) 的增长"是证明 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f\) 存在的标准强化套路
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b_23_0；PDF 第 24 页 · b_24_0；PDF 第 25 页 · b_25_0；PDF 第 26 页 · b_26_0