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强化第13讲 多元函数微分学

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强化第13讲 多元函数微分学

簇S13A：二重极限与累次极限——先判存在，再谈计算

特殊路径怎样选，才能有效否定二重极限？

  • ★P158–159｜判断入口：分子、分母含同次的 \(x,y\) 时先试同阶路径 \(y=kx\)；若分母含 \(x^m+y^n\) 这类不同阶结构，就令 \(y=kx^{m/n}\) 配平次数，再用带更高阶扰动的路径补刀
  • 分步方法：①让分子、分母在路径上同阶；②算出关于 \(k\) 的极限；③不同 \(k\) 得不同值，或某条路径无极限，即可判二重极限不存在
  • ★例13.1：\(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) 沿 \(y=kx\) 得 \(\frac{1-k^2}{1+k^2}\)，随 \(k\) 改变，故极限不存在；例13.2 提醒：一条变阶路径算出一个值还不够，要再换路径验证唯一性
  • ⚠️ 特殊路径法只能用来否定极限；所有试过的路径同值，也不能据此证明二重极限存在。🧠 口诀：分母怎么齐次，路径就怎么配阶
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二重极限存在时，四条计算路线怎样选择？

  • ★P159–160｜判断入口：能把 \(x,y\) 合成一个整体就换元；不能整体化时，依次考虑夹逼、无穷小量乘有界量、化成一元极限
  • 分步方法：①整体换元，如令 \(u=x^2+y^2\)；②找 \(0\leqslant |f(x,y)|\leqslant g(x,y)\to0\)；③拆成“趋零因子×有界因子”；④只剩某个组合量后按一元极限处理
  • ★例13.3：\(x,y\to\infty\) 时不能写 \(x^2-xy+y^2\geqslant\frac34(x^2+y^2)\)（取 \(x=y\) 即错）。应分别配方：\(x^2-xy+y^2=\frac34x^2+(y-\frac x2)^2\geqslant\frac34x^2\)，也有 \(x^2-xy+y^2\geqslant\frac34y^2\)；于是 \(\left|\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\right|\leqslant\frac43(\frac1{|x|}+\frac1{|y|})\to0\)。例13.4 在 \(x\to+\infty,y\to1\) 时，将 \((x^2+y^2)e^{-(x+y)}\) 拆成 \(\frac{x^2}{e^x}\frac1{e^y}+\frac{y^2}{e^y}\frac1{e^x}\)，得极限 0
  • ⚠️ 二元极限没有可直接套用的洛必达法。🧠 口诀：能合则合，不能合就压；见振荡先找有界因子
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累次极限怎样计算，它和二重极限是什么关系？

  • ★P160–161｜判断入口：\(\lim\limits_{x\to x_0}\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\) 必须先固定 \(x\)，完成内层 \(y\) 极限，再把所得一元函数对 \(x\) 取极限；反序同理
  • 分步方法：①先查内层对每个邻近外变量是否存在；②写出内层极限函数；③再算外层；④若两种累次极限不等，则二重极限必不存在
  • ★例13.5：\(f=\frac{xy}{x^2+y^2}\) 的二重极限沿 \(y=kx\) 随 \(k\) 变化而不存在，但指定次序的累次极限可以存在；例13.6 中两种累次极限分别为 \(1,-1\)，因此二重极限不存在
  • ⚠️ 关系只记三句：二重存在推不出累次存在；累次存在推不出二重存在；两者都存在时才必相等。🧠 先后顺序是题的一部分，不能交换着算
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簇S13B：连续、偏导与可微——用反例把箭头记牢

“分别连续”为什么推不出二元连续？

  • ★P161–164｜判断入口：分别连续只检查 \(f(x,y_0)\) 与 \(f(x_0,y)\) 两条坐标方向；二元连续要求沿平面内任意路径都有同一极限
  • 分步方法：①先把 \(y=y_0\)、\(x=x_0\) 代入检查单变量连续；②再挑一条离开坐标轴的路径；③路径极限不同即否定二元连续
  • ★例13.7：\(f(x,y)=1\)（\(xy=0\)），其余为 0。在原点沿两条坐标轴函数恒为 1，所以关于两个变量分别连续；但一般点趋近时可恒为 0，故原点不连续，选(B)
  • ⚠️ “沿 \(x\)、\(y\) 两轴都对”只验了两条路。🧠 口诀：分别连续看十字，二元连续看整张平面
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偏导数都存在，为什么仍可能不连续、不可微？

  • ★P164｜判断入口：偏导只看坐标轴方向的差商；若函数在其他路径行为异常，偏导存在也救不了连续性
  • 分步方法：①用定义沿 \(x\) 轴、\(y\) 轴算两个偏导；②另选 \(y=kx\) 判二重极限；③若不连续，立即推出不可微
  • ★例13.8：\(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)（非原点），\(f(0,0)=0\)。两轴上函数恒为 0，故 \(f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0\)；沿 \(y=kx\) 极限为 \(\frac{k}{1+k^2}\)，故不连续，也不可微
  • ⚠️ “偏导存在”只是两条方向导数存在。🧠 关系链只按箭头走：可微⇒连续且偏导存在；反向均不成立
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连续为什么仍推不出偏导数存在？

  • ★P165｜判断入口：连续控制的是函数值靠近，偏导控制的是坐标方向差商；遇到根号、绝对值尖点，要回到偏导定义
  • 分步方法：①先算二重极限确认连续；②固定另一个变量；③检查左右差商是否一致
  • ★例13.9：\(g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) 在原点连续，但 \(g_x'(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}\) 不存在，\(g_y'(0,0)\) 同理，故选“连续、偏导数不存在”
  • ⚠️ 图像是圆锥尖点：函数没有跳跃，却没有确定的坐标切线斜率。🧠 连续管贴近，偏导管方向斜率
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连续且偏导数存在，怎样用定义判“仍不可微”？

  • ★P165｜判断入口：题目在特殊点给分段式，且只能算出偏导存在时，必须用可微定义检验余项是否为 \(o(\rho)\)
  • 分步方法：①算全增量 \(\Delta z\)；②算线性增量 \(\mathrm dz=A\Delta x+B\Delta y\)；③令 \(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)；④检查 \(\frac{\Delta z-\mathrm dz}{\rho}\to0\) 是否成立
  • ★例13.10：\(f=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)（非原点），\(f(0,0)=0\)。函数连续且两个偏导均为 0；沿 \(\Delta y=\Delta x\)，\(\frac{\Delta f}{\rho}=\pm\frac1{2\sqrt2}\neq0\)，故连续但不可微，选(B)
  • ⚠️ 不能把“偏导存在”偷换成“偏导连续”。🧠 口诀：先写 \(\Delta z\)，再减线性项，最后除以距离
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偏导数不连续，函数仍可能可微吗？

  • ★P166–167｜判断入口：偏导连续只是可微的充分条件，不是必要条件；若原函数带“高阶小量×振荡”，应直接查可微定义
  • 分步方法：①特殊点偏导用定义算；②非特殊点再用公式；③偏导连续性单独判；④原函数可微性仍以 \(\frac{\Delta z-\mathrm dz}{\rho}\) 为准
  • ★例13.12：\(f=(x^2+y^2)\sin\frac1{x^2+y^2}\)（非原点），\(f(0,0)=0\)。两个偏导在原点附近振荡而不连续；但 \(|\Delta f|\leqslant\rho^2\)，故 \(|\Delta f|/\rho\leqslant\rho\to0\)，函数在原点可微，选(B)
  • ⚠️ 例13.11 则展示“偏导不连续且函数也不可微”，所以见偏导不连续不能直接下结论。🧠 偏导连续可保送，可微定义才终审
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两个二阶混合偏导为什么可能不相等？

  • ★P167｜判断入口：只有在混合偏导于邻域内连续等条件下，才能直接写 \(f_{xy}''=f_{yx}''\)；特殊分段点必须按定义逐层求
  • 分步方法：①先求 \(f_x'(0,y)\) 再对 \(y\) 求导，得到 \(f_{xy}''(0,0)\)；②另一路先求 \(f_y'(x,0)\)，再对 \(x\) 求导；③不要把非零点公式直接代入原点
  • ★例13.13：\(f=xy\)（\(|x|\geqslant|y|\)），\(f=-xy\)（\(|x|<|y|\)）。按定义得到 \(f_{xy}''(0,0)=-1\)、\(f_{yx}''(0,0)=1\)，选(C)
  • ⚠️ 分段边界会随“先固定谁”而变化。🧠 口诀：混合偏导按字母顺序一层层算，特殊点绝不硬代
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怎样由“某式是全微分”反求参数？

  • ★P168｜判断入口：若 \(P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=\mathrm du\)，且偏导连续，则必要条件为 \(P_y'=Q_x'\)
  • 分步方法：①认出 \(P=u_x'\)、\(Q=u_y'\)；②分别求 \(P_y'\)、\(Q_x'\)；③恒等比较各项系数，解参数
  • ★例13.14：\(\frac{(x+ay)\mathrm dx+y\mathrm dy}{(x+y)^2}\) 是某二元函数全微分。令 \(P=\frac{x+ay}{(x+y)^2}\)、\(Q=\frac{y}{(x+y)^2}\)，由 \(P_y'=Q_x'\) 得 \(a=2\)
  • ⚠️ 等式要对定义域内所有 \(x,y\) 成立，不是挑一个点代值。🧠 全微分先验混合偏导，参数靠恒等比较
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簇S13C：偏导、隐函数与齐次函数——选最短求导路线

多元复合求导和隐函数求导，怎样先画对结构？

  • ★P169–170｜判断入口：显式复合先画“输出—中间变量—自变量”结构图；隐式 \(F(x,y,z)=0\) 先确认能解出哪个因变量
  • 分步方法：复合函数沿每条路径相乘、不同路径相加；若 \(F_z'\neq0\)，则 \(z_x'=-F_x'/F_z'\)、\(z_y'=-F_y'/F_z'\)；两个方程确定 \(y(x),z(x)\) 时可用雅可比行列式比值
  • ★书上强调：方程组隐函数公式不强求死记，但“先列 \(F,G\)，再找关于因变量的雅可比不为 0”必须会判断；链式法则的路径数就是最后的项数
  • ⚠️ 公式法里求 \(F_x',F_y',F_z'\) 时先把 \(x,y,z\) 当独立变量。🧠 口诀：有几条路就有几项，哪条路分几段就乘几段
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全微分形式不变性什么时候比逐个求偏导更快？

  • ★P170–171｜判断入口：题目直接给隐式关系并要求 \(\mathrm dz\)，或微分式本身能看出熟悉结构时，优先对等式两端直接取全微分
  • 分步方法：①把中间变量也按变量处理；②写 \(\mathrm dz=z_u'\mathrm du+z_v'\mathrm dv\)；③对隐式等式整体微分；④整理出目标微分
  • 常用识别：\(x\mathrm dx+y\mathrm dy=\mathrm d\frac{x^2+y^2}{2}\)，\(y\mathrm dx+x\mathrm dy=\mathrm d(xy)\)，\(\frac{y\mathrm dx-x\mathrm dy}{x^2+y^2}=\mathrm d\arctan\frac{x}{y}\)（在 \(y\neq0\) 且所选反正切分支不跳变的局部区域）；遇陌生式仍可回到 \(P_y'=Q_x'\)
  • ⚠️ 公式不是为了孤立背 16 条，而是训练“谁的微分”识别。🧠 隐式求 \(\mathrm dz\)：整体微分通常一次拿全
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例13.15 的隐函数全微分怎样一步整理出来？

  • ★P171–172｜判断入口：\(z=z(x,y)\) 由 \(\frac{x}{z}=\ln\frac{z}{y}\) 确定；在 \(z/y>0\) 且 \(x+z\neq0\) 的局部分支上，目标是全微分，不必先分别求 \(z_x',z_y'\)
  • 分步方法：①两端取全微分；②写成 \(\frac1z\mathrm dx-\frac{x}{z^2}\mathrm dz=\frac1z\mathrm dz-\frac1y\mathrm dy\)；③把所有 \(\mathrm dz\) 移到一边；④解得 \(\mathrm dz=\frac{z}{y(x+z)}(y\mathrm dx+z\mathrm dy)\)
  • ★同页用隐函数公式复核：令 \(F=\frac{x}{z}-\ln\frac zy\)，由 \(z_x'=-F_x'/F_z'\)、\(z_y'=-F_y'/F_z'\) 得完全相同结果
  • ⚠️ 对 \(\ln(z/y)\) 微分时，\(z\) 也是变量。🧠 先整体微分，再收集目标微分项
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抽象复合函数求二阶偏导，什么时候可以大量消项？

  • ★P172｜判断入口：复合结构中的某一层 \(f(u,v)\) 在已知点取极值时，先写出该层在该点的 \(f_1'=f_2'=0\)，再展开二阶偏导
  • 分步方法：①画结构图；②一阶求导完整保留外函数的一、二阶偏导；③代入极值点条件消去含 \(f_1',f_2'\) 的项；④最后代具体点
  • ★例13.16：\(f(1,1)=2\) 是 \(f(u,v)\) 的极值，\(z=f[x+y,f(x,y)]\)。在 \((1,1)\) 处，内层 \(f(x,y)\) 的两个一阶偏导为 0，因此展开 \(z_{xy}''\) 后能消去相应项，而外层函数此时的自变量是 \((2,2)\)
  • ⚠️ 极值条件只消 \(f_1'(1,1),f_2'(1,1)\)，不能把 \(f_i'(2,2)\) 或二阶偏导也置零。🧠 先展开，后辨认每个偏导在哪个点取值
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两个隐式方程确定两个函数时，怎样用行列式求导？

  • ★P172–173｜判断入口：\(F(x,y,z)=0\)、\(G(x,y,z)=0\) 同时确定 \(y(x),z(x)\)，且关于 \((y,z)\) 的雅可比不为 0
  • 分步方法：①写 \(F,G\)；②求所需偏导；③用克拉默法则或雅可比比值求 \(\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}\)；④先由原方程定出代值点的 \(y,z\)，再代公式
  • ★例13.17：\(e^z-xyz=0\)、\(xz^2=\ln y\)，在 \(x=\frac12\) 时先观察得 \(y=e^2,z=2\)，再代行列式公式，最终 \(\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=-4\)
  • ⚠️ 不要一上来同时展开 \(y',z'\) 的长方程；行列式的价值就是机械消元。🧠 先定点，再列式，最后代值
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\(k\) 次齐次函数怎样用欧拉公式一秒降维？

  • ★P173–174｜判断入口：若对 \(t>0\) 的缩放 \((x,y)\mapsto(tx,ty)\) 有 \(f(tx,ty)=t^k f(x,y)\)，则 \(f\) 是 \(k\) 次齐次函数
  • 分步方法：①先做缩放判次数；②直接用 \(xf_x'+yf_y'=kf\)；③若函数写成 \(x^m\varphi(y/x)\)，通常整体是 \(m\) 次齐次；④把剩余关系化成关于 \(u=y/x\) 的一元式
  • ★例13.19：在 \(xy>0\) 的定义域内，\(z=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{xy}}\) 是 0 次齐次，故 \(xz_x'+yz_y'=0\)；例13.20 在 \(x,y>0\) 上，\(z=xyf(y/x)\) 是 2 次齐次，由题设可得 \(2f(u)=u\ln u\)，进而 \(f(1)=0,f'(1)=\frac12\)，选(D)
  • ⚠️ 次数看的是整体缩放，不是“最高幂次数”。🧠 见 \(y/x\) 想 0 次，外乘 \(x^m\) 就抬成 \(m\) 次
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簇S13D：偏微分方程化归——把多元问题降成常微分方程

变量代换后，怎样把偏微分方程化成可解的一阶线性方程？

  • ★P175–176｜判断入口：题目给 \(z=z(u,v)\) 且 \(u,v\) 是 \(x,y\) 的线性组合，先把所有 \(x,y\) 偏导改写成 \(u,v\) 偏导
  • 分步方法：①立即写出 \(u=u(x,y),v=v(x,y)\)；②按链式法则展开一、二阶偏导；③代回原方程得到简化式；④视其中一个变量为常量积分，再用边界条件确定“积分常数函数”
  • ★例13.21：\(u=x-2y,v=x+3y\)，原式化为 \(z_{uv}''=\frac15z_u'\)；先对 \(u\) 积分得 \(z_v'=\frac15z+\varphi(v)\)，再由 \(\frac{\mathrm d z(0,v)}{\mathrm dv}=\frac15z(0,v)+e^v\) 确定 \(\varphi(v)=e^v\)，最终 \(z(u,v)=\frac54e^v+(u^2-\frac54)e^{v/5}\)
  • ⚠️ 对 \(u\) 积分时“常数”应写成 \(\varphi(v)\)，不是普通常数。🧠 对谁积分，常数就保留成另一个变量的函数
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怎样选参数，让变换后的偏微分方程不含混合项？

  • ★P177–178｜判断入口：题目要求经 \(u=u(x,y),v=v(x,y)\) 后化成 \(z_{uv}''=0\) 或“不含某项”，目标就是令该偏导项系数为 0
  • 分步方法：①展开 \(z_{xx}'',z_{xy}'',z_{yy}''\)；②代入原方程；③合并 \(z_{uu}'',z_{uv}'',z_{vv}''\) 的系数；④让不需要保留的项系数为 0，并检查目标项系数不为 0
  • ★例13.22：\(u=x-2y,v=x+ay\) 将 \(6z_{xx}''+z_{xy}''-z_{yy}''=0\) 化简后，需 \(a^2-a-6=0\) 且 \(10+5a\neq0\)，故 \(a=3\)，得到 \(z_{uv}''=0\)
  • ⚠️ 只令一个系数为 0 可能得到退化变换或把目标项也消掉。🧠 先收集系数，再“消杂项、保主项”
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\(u=f[g(x,y)]\) 型偏微分方程怎样降成关于 \(f\) 的常微分方程？

  • ★P178–179｜判断入口：未知二元函数只通过一个组合量 \(t=g(x,y)\) 出现时，立即令 \(u=f(t)\)
  • 分步方法：①算 \(u_x',u_y',u_{xx}'',u_{yy}''\)；②代回偏微分方程；③把 \(x,y\) 全部改写成 \(t\)；④解关于 \(f(t)\) 的常微分方程，再用极限条件定初值
  • ★例13.23：\(u=f(\ln\sqrt{x^2+y^2})\) 且 \(u_{xx}''+u_{yy}''=(x^2+y^2)^{3/2}\)。令 \(t=\ln\sqrt{x^2+y^2}\) 后得 \(f''(t)=e^{5t}\)，故 \(f(x)=\frac1{25}e^{5x}+C_1x+C_2\)；极限条件给 \(f(0)=0,f'(0)=-2\)，最终 \(f(x)=\frac1{25}e^{5x}-\frac{11}{5}x-\frac1{25}\)
  • ⚠️ 极限条件常不是直接初值，要先用洛必达或积分中值关系翻译。🧠 多元外壳只有一个 \(t\)，就把它彻底降成一元
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已知一个偏导方程，怎样还原二元函数并用边界条件定“常数函数”？

  • ★P179｜判断入口：如 \(f_x'=-f\)，把 \(y\) 暂时视为参数，先解关于 \(x\) 的一阶方程
  • 分步方法：①把 \(f_x'+f=0\) 写成 \((e^xf)_x'=0\)（本例已知 \(f>0\) 时也可除以 \(f\)）；②对 \(x\) 积分得 \(f(x,y)=C(y)e^{-x}\)；③把给定的 \(f_y'(0,y)\) 转成 \(C'(y)\)；④再对 \(y\) 积分并用点值定常数
  • ★例13.24：\(f_x'+f=0\)、\(f_y'(0,y)=\tan y\)、\(f(0,0)=1\)。由 \(C'(y)=\tan y\) 得 \(C(y)=1-\ln|\cos y|\)，故 \(f(x,y)=e^{-x}(1-\ln|\cos y|)\)
  • ⚠️ 对 \(x\) 积分后的常数必须是 \(C(y)\)；整体导数法还不会因除以 \(f\) 而漏掉零解。🧠 偏导方程先当常微分方程解，剩余变量藏进常数函数
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簇S13E：二元极值与最值——驻点、边界、比较三层走

\(AC-B^2\) 判别失效时，怎样继续判二元极值？

  • ★P180–182｜判断入口：先求驻点，再记 \(A=f_{xx}'',B=f_{xy}'',C=f_{yy}''\)、\(\Delta=AC-B^2\)；当 \(\Delta=0\) 时必须换路
  • 分步方法：\(\Delta>0,A>0\) 为极小；\(\Delta>0,A<0\) 为极大；\(\Delta<0\) 非极值；\(\Delta=0\) 时沿坐标轴、直线 \(y=kx\) 或不同区域找函数值正负
  • ★例13.25：\(f=3(x^2+y^2)-x^3\) 的驻点为 \((0,0),(2,0)\)；前者 \(\Delta>0,A>0\) 是极小值 0，后者 \(\Delta<0\) 不是极值。例13.26 展示：沿每条直线 \(y=kx\) 都在 \(x=0\) 取极小，也仍可能不是二元极小
  • ⚠️ “所有直线方向都极小”仍未覆盖弯曲路径。🧠 判别式口诀：正看 \(A\)，负否定，零就另谋他法
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二阶结构怎样直接判断最值一定在边界，或构造极值充分条件？

  • ★P182–183｜判断入口：若闭区域内 Hessian 判别始终给 \(AC-B^2<0\)，内部不可能有极值；连续函数的最大最小值就只能落在边界
  • 分步方法：①检查内部是否可能有极值；②用闭区域连续性保证最值存在；③排除内部后锁定边界；若函数为乘积结构，再直接计算驻点处 \(A,B,C\)
  • ★例13.27：给定 \(u_{xy}''\neq0\) 且 \(u_{xx}''+u_{yy}''=0\)，有 \(AC-B^2=-A^2-B^2<0\)，故最大值、最小值都在边界，选(B)；例13.28 还给出“\(x=0\) 是 \(f\) 的驻点”，即 \(f'(0)=0\)。在此前提下，\(f(0)<0,f''(0)>0\) 是 \(z=f(x)f(y)\) 在 \((0,0)\) 取极大值的一组充分条件，选(A)
  • ⚠️ “在边界”不是说每个边界点都是最值，只是候选范围被压到边界。🧠 先用结构排内部，再去边界做一元比较
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拉格朗日乘数法中，怎样减少难解方程组的计算量？

  • ★P183–185｜判断入口：目标 \(f\) 在约束 \(\varphi=0\) 下求最值，构造 \(F=f+\lambda\varphi\)；若目标或约束是齐次函数，可用欧拉公式消元
  • 分步方法：①列 \(F_x'=F_y'=F_\lambda'=0\)；②观察对称性、齐次性；③用“方程×变量后相加”把 \(xf_x'+yf_y'\) 变成次数×函数；④先求目标值，再求点
  • ★例13.29：约束极值点满足 \(\nabla f=-\lambda\nabla g\)；若 \(g_y'\neq0\)，可推出 \(f_x'g_y'=f_y'g_x'\)，但反向不能保证某一个偏导非零，正确选(D)。例13.30：在 \(5x^2+4xy+2y^2=1\) 下求 \(\sqrt{x^2+y^2}\)，齐次消元后得最大值 1、最小值 \(\frac{\sqrt6}{6}\)
  • ⚠️ 拉格朗日方程是必要条件，解出的是候选点；有端点或非光滑点还要另查。🧠 齐次约束先乘变量相加，常能直接读出目标值
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闭区域上的最值，为什么必须“内部+边界+比较”？

  • ★P186｜判断入口：连续函数在有界闭区域上必有最大最小值，但驻点只负责内部候选
  • 分步方法：①内部解 \(f_x'=f_y'=0\) 并保留区域内点；②边界代入化一元，或用拉格朗日；③列出全部函数值；④统一比较
  • ★例13.31：\(f=3(x^2+y^2)-x^3\) 在圆盘 \(x^2+y^2\leqslant16\)。边界上 \(f=48-x^3\)（\(-4\leqslant x\leqslant4\)），给出 \(112,-16\)；再与内部驻点值比较，最终最大值 112、最小值 \(-16\)
  • ⚠️ 书上特别注明：闭区域最值题中，内部候选无需先判“是不是局部极值”，直接把函数值加入总比较即可。🧠 不判型也能比大小
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全微分条件怎样转成关于一元函数的微分方程？

  • ★P186–187（例13.32 综合）｜判断入口：若 \(\mathrm d[F(x,y)]\) 的两个系数都写成 \(f(xy),f'(xy),f''(xy)\)，令 \(u=xy\)，再利用全微分必要条件 \(P_y'=Q_x'\)
  • 分步方法：①认出 \(P=\frac{f(xy)}{x^2y}\)、\(Q=\frac{f''(xy)}{xy^2}\)；②令 \(P_y'=Q_x'\)；③整理为 \(\left[\frac{f''(u)}u\right]'=\left[\frac{f(u)}u\right]'\)；④积分得 \(\frac{f''(u)}u-\frac{f(u)}u=C\)，再用初值定 \(C\)
  • ★题给 \(f(1)=1,f'(1)=-1,f''(1)=0\)，得 \(C=-1\)，故 \(f''-f=-u\)；解得 \(f(u)=e^{-u+1}-e^{u-1}+u\)（\(u>0\)）
  • ⚠️ 这题不是先猜 \(F\)，而是先用“混合偏导相等”把二维条件压成一维方程。🧠 全微分验相容，组合变量做降维
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