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强化第11讲 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式

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强化第11讲 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式

簇S11A：基本性质与“祖孙三代”——先补齐本讲入口

例11.1 的尖峰核极限，为什么只留下 \(f(0)\)？

  • 判断入口/条件｜★P134｜\(f\) 在 \([-1,1]\) 连续，核函数 \(\frac{h}{h^2+x^2}\) 在 \(h\to0^+\) 时越来越集中到 \(x=0\)；目标是证明积分只“读取”连续函数在 0 点的值
  • 分步方法｜按 \(-\sqrt h\)、\(\sqrt h\) 把区间拆成三段：两侧远离 0 的核积分质量趋于 0；中段用积分中值定理写成 \(f(\xi_h)\int_{-\sqrt h}^{\sqrt h}\frac{h}{h^2+x^2}\mathrm{d}x\)，其中 \(|\xi_h|<\sqrt h\)，故 \(f(\xi_h)\to f(0)\)
  • 典型结论｜中段核质量为 \(2\arctan\frac1{\sqrt h}\to\pi\)，因此 \(\displaystyle\lim_{h\to0^+}\int_{-1}^{1}\frac{h}{h^2+x^2}f(x)\mathrm{d}x=\pi f(0)\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 不能在整个 \([-1,1]\) 上直接用一次积分中值定理后就声称中值点趋于 0；先缩出尖峰所在的小区间，才能逼出 \(\xi_h\to0\)
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\(f'\)、\(f\)、\(\int_0^x f\) 的奇偶性怎样逐代传递？

  • 判断入口/条件｜★P135｜题目同时出现导数、原函数或变限积分，并要求判断奇偶性；下限固定为 0 是积分奇偶性能够直接传递的关键
  • 分步方法｜可导奇函数的导数为偶函数，可导偶函数的导数为奇函数；可积奇函数的 \(\int_0^x f(t)\mathrm dt\) 为偶函数，可积偶函数的该变限积分为奇函数
  • 例11.2/11.3｜例11.2 中 \(f(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}\) 为偶函数且以 \(2\pi\) 为周期，故 \(f'''\) 为奇函数，\(f'''(2\pi)=f'''(0)=0\)；例11.3 中 \(\int_0^x e^{\cos^2 t}\mathrm{d}t\) 为奇函数，\(\int_0^{\sin x}e^{t^2}\mathrm{d}t\) 是“内奇同外”，也为奇函数，选(C)
  • 易错/口诀｜🧠 求一次导，奇偶互换；从 0 积，奇变偶、偶变奇；复合时内偶则偶、内奇同外。落到对称定积分就是“偶倍奇零”：若 \(f\) 为偶函数，则 \(\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2\int_0^af(x)\mathrm{d}x\)；若 \(f\) 为奇函数，则 \(\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0\)
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簇S11B：隐藏对称与周期性——先把“看不出的结构”显出来

关于原点对称，但被积函数没有奇偶性时怎么处理？

  • ★P136｜判断入口：积分区间是 \([-a,a]\)，但 \(f(x)\) 本身不好判奇偶；立刻把 \(x\) 与 \(-x\) 配对：\(\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=\frac12\int_{-a}^{a}[f(x)+f(-x)]\mathrm{d}x=\int_0^a[f(x)+f(-x)]\mathrm{d}x\)
  • 分步方法：①写出 \(f(-x)\)；②只化简 \(f(x)+f(-x)\)；③再把区间缩到 \([0,a]\)。这比硬求原函数稳定，尤其适合指数分式和“偶函数因子 × 互补分式”
  • ★例11.4｜对 \(x\neq0\)，\(f(x)=\frac{1}{1+\mathrm e^{1/x}}\) 满足 \(f(x)+f(-x)=1\)。原式在 \(x=0\) 无定义，但单点任意补值不影响定积分，故 \(\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{1+\mathrm e^{1/x}}=\int_0^1 1\,\mathrm{d}x=1\)
  • ★例11.5｜\(\sin^4x\) 是偶函数，且 \(\frac{1}{1+\mathrm e^{-x}}+\frac{1}{1+\mathrm e^x}=1\)，所以 \(\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin^4x}{1+\mathrm e^{-x}}\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\sin^4x\mathrm{d}x=\frac{3\pi}{16}\)
  • 🧠 口诀：区间对称先配对，不要求 \(f\) 有奇偶；缩半区间后没有 \(\frac12\)
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“祖孙三代”的周期性各继承什么？

  • ★P136–137｜判断入口：题中同时出现 \(f'(x)\)、\(f(x)\)、\(\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\)，或积分上下限相差若干个周期，就按“导数—原函数—定积分”三层分别判断
  • 条件与方法：若 \(f\) 可导且以 \(T\) 为周期，则 \(f'\) 也以 \(T\) 为周期；若 \(f\) 可积且以 \(T\) 为周期，则 \(F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\) 以 \(T\) 为周期，当且仅当 \(\int_0^T f(x)\mathrm{d}x=0\)
  • 周期积分不看起点：\(\displaystyle \int_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_0^T f(x)\mathrm{d}x\)；更一般地，\(\displaystyle \int_a^{a+nT}f(x)\mathrm{d}x=n\int_0^T f(x)\mathrm{d}x\)
  • ★例11.6(1)｜\(|\sin nx|\) 的周期为 \(\frac{\pi}{n}\)，区间 \([a,a+\pi]\) 恰含 \(n\) 个周期，故 \(\displaystyle \int_a^{a+\pi}|\sin nx|\mathrm{d}x=2\)，与 \(a,n\) 均无关，选(D)
  • ★例11.6(2)｜\(\sqrt{1-\sin^2x}=|\cos x|\) 的周期为 \(\pi\)。区间长为 \(\frac{k\pi}{2}\)：\(k\) 为偶数时只与 \(k\) 有关；\(k\) 为奇数时还与起点 \(a\) 有关。题目对任意正整数 \(k\) 讨论，故选“与 \(a,k\) 均有关”(C)
  • ⚠️ 易错：原函数不会无条件继承周期；必须检查“一周期积分是否为零”。也不要把 \(\sqrt{1-\sin^2x}\) 写成 \(\cos x\)，应是 \(|\cos x|\)
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簇S11C：区间再现与中值——把一个积分变成它自己的伙伴

区间再现的七条公式，怎样从一个换元统一推出？

  • ★P137–138｜判断入口：区间端点固定，被积函数含 \(a+b-x\)、\(\sin x/\cos x\) 对换，或积分中多出一个 \(x\)；核心换元只有“关于区间中点镜像” \(t=a+b-x\)
  • 第一步得到母公式：\(\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x)\mathrm{d}x\)；两式相加可得 \(\displaystyle \int_a^b f=\frac12\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]\mathrm{d}x\)
  • 再把对称两半合并：\(\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{(a+b)/2}[f(x)+f(a+b-x)]\mathrm{d}x\)。因此，看到“对称点两项相加为常数”时，积分会立刻降维
  • 三角区间只是在选镜像：在 \([0,\pi]\) 用 \(\pi-x\)，在 \([0,\frac\pi2]\) 用 \(\frac\pi2-x\)，于是 \(\displaystyle \int_0^\pi f(\sin x)\mathrm{d}x=2\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\mathrm{d}x\)，且 \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}f(\cos x,\sin x)\mathrm{d}x\)
  • 🧠 口诀：先找区间中点，再写“端点和减 \(x\)”；所有区间再现式都是这一步的变体
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例11.7 为什么要“先三角换元，再区间再现”？

  • ★P138｜判断入口：\(\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\) 与 \(\arctan x\) 同形，但原积分 \(\displaystyle I=\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x\) 在 \([0,1]\) 上看不出互补关系
  • 第一步令 \(x=\tan t\)，把它化为 \(\displaystyle I=\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan t)\mathrm{d}t\)；第二步在 \([0,\frac\pi4]\) 上作镜像 \(t=\frac\pi4-u\)
  • 利用 \(\displaystyle 1+\tan\left(\frac\pi4-u\right)=\frac{2}{1+\tan u}\)，镜像后的积分为 \(\frac\pi4\ln2-I\)；因此 \(2I=\frac\pi4\ln2\)，即 \(\displaystyle I=\frac\pi8\ln2\)
  • ⚠️ 易错：区间再现并非只能直接套在原式上；若权函数 \(\frac{1}{1+x^2}\) 暗示三角换元，应先把积分送到有明显中点对称的新区间
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积分里多出一个 x，怎样用区间再现把它消掉？

  • ★P137–138｜判断入口：出现 \(\int_0^\pi x f(\sin x)\mathrm{d}x\)。令 \(x\mapsto\pi-x\) 后，\(\sin x\) 不变而 \(x\) 变成 \(\pi-x\)；原式与镜像式相加即可消去 \(x\)
  • 结论：\(\displaystyle \int_0^\pi x f(\sin x)\mathrm{d}x=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm{d}x\)。它不是分部积分公式，而是“同一区间上的两式相加”
  • ★例11.8｜先化简 \(\sqrt{\cos^2x-\cos^4x}=|\sin x\cos x|\)，再用上式：\(\displaystyle \int_0^\pi x|\sin x\cos x|\mathrm{d}x=\frac\pi2\int_0^\pi|\sin x\cos x|\mathrm{d}x=\frac\pi2\)
  • 分步收尾：\(|\sin x\cos x|\) 关于 \(\frac\pi2\) 对称，故其在 \([0,\pi]\) 上的积分是 \(2\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\mathrm{d}x=1\)
  • ⚠️ 易错：\(\sqrt{u^2}=|u|\)，不能把根号直接化成 \(\sin x\cos x\)；否则后半区间符号会错
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华里士公式怎样把幂次积分变成参数极限？

  • ★P139｜判断入口：\(\int_0^{\pi/2}\sin^n x\mathrm{d}x\)、\(\int_0^{\pi/2}\cos^n x\mathrm{d}x\) 或换元后出现它们；先用递推 \(I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\)，再按奇偶数落到 \(I_0=\frac\pi2\) 或 \(I_1=1\)
  • 记忆形式：偶次积分带 \(\frac\pi2\)，奇次积分最后落到 1；\([0,\pi]\)、\([0,2\pi]\) 上还要先利用对称性或奇偶性缩区间，不能原样套 \([0,\frac\pi2]\) 的公式
  • ★例11.9｜\(\displaystyle a_n=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^n}\)，令 \(x=\tan t\)，得 \(a_n=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n-2}t\mathrm{d}t\)，故 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}\)
  • 再处理幂指极限：\(\ln(1+\mathrm e^{2n})\sim2n\)，所以 \(\displaystyle \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^{\ln(1+\mathrm e^{2n})}=\left(1-\frac1{2n}\right)^{\ln(1+\mathrm e^{2n})}\to\mathrm e^{-1}\)
  • 🧠 方法串联：反常积分三角换元 → 华里士递推 → \(1^\infty\) 取对数
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什么时候应把一个积分“压缩”为某点的函数值？

  • ★P139–140｜判断入口：结论需要出现 \(f(\xi)\)，而题设给的是 \(\int_a^b f\)；用积分中值定理。若 \(f\) 连续，则 \(\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)\)；若 \(g\) 可积且不变号，则 \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^b g(x)\mathrm{d}x\)
  • 分步方法：①把整个被积函数中希望保留的部分记作 \(F(x)\)；②由积分为零推出某个内部点 \(F(\eta)=0\)；③再寻找另一个零点，用罗尔定理把“函数值等式”升级为“导数等式”
  • ★例11.10｜令 \(F(x)=f(x)\cos x\)。由 \(\int_0^{\pi/2}f(x)\cos x\mathrm{d}x=0\)，积分中值定理给出 \(\eta\in(0,\frac\pi2)\) 使 \(F(\eta)=0\)；又 \(F(\frac\pi2)=0\)
  • 在 \([\eta,\frac\pi2]\) 上用罗尔，得某个 \(\xi\) 满足 \(F'(\xi)=f'(\xi)\cos\xi-f(\xi)\sin\xi=0\)，且 \(\cos\xi\neq0\)，故 \(f'(\xi)=f(\xi)\tan\xi\)
  • 🧠 口诀：积分为零送一个零点，端点再送一个零点，罗尔送导数零点
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簇S11D：换元与分部——目标是建立积分之间的关系

定积分换元和分部积分，怎样按“变化信号”选？

  • ★P140–142｜判断入口：若变形前后积分区间发生变化，基本可以确定用了换元；若区间不变而 \(f,f',\int f\) 的阶数在变，通常用分部积分。两者的主要目的都是把陌生积分联系到另一个积分，而不只是求原函数
  • 换元的五个高频信号：诱导公式；复合函数整体换元；三角有理式在 \([0,\frac\pi4]\)、\([0,\frac\pi2]\)、\([0,\pi]\) 上作对称换元；在等式两边寻找同一积分；平移换元把非标准对称移回 \(x=0\)
  • ★P141–142 的正负证明｜欲证 \(\displaystyle \int_0^{2\pi}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x>0\)，先按 \(\pi\) 拆段；第二段令 \(x=t+\pi\)，与第一段合并为 \(\displaystyle \int_0^\pi\sin t\left(\frac1t-\frac1{t+\pi}\right)\mathrm{d}t>0\)
  • 分步要点：大区间上三角函数会变号时，先拆成符号可控的小区间，再换到同一区间比较；不要在 \([0,2\pi]\) 上直接声称“\(\sin x\) 正”
  • 🧠 选择口诀：区间变了看换元，阶数变了看分部；符号乱了先拆区间
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非标准对称怎样用平移换元还原成奇偶性？

  • ★P142–144｜判断入口：区间是 \([0,2]\)、\([0,4]\) 等，函数关于中点而不是原点对称；先写“\(x-\) 中点”，令 \(t=x-c\)，把区间平移成 \([-a,a]\)
  • ★例11.11｜\(\int_0^2(x-1)\mathrm{d}x\) 令 \(t=x-1\) 后成为 \(\int_{-1}^1t\mathrm{d}t=0\)；\(\int_0^2x(x-1)(x-2)\mathrm{d}x\) 变成 \(\int_{-1}^1(t+1)t(t-1)\mathrm{d}t=0\)，两者都靠奇函数消项
  • ★例11.12(1)｜\(\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2)^2}\) 已提示中心是 2。令 \(t=x-2\)，奇项 \(t\sqrt{4-t^2}\) 消失，剩下两倍半圆面积，故 \(\displaystyle \int_0^4x\sqrt{4x-x^2}\mathrm{d}x=4\pi\)
  • ★例11.12(2)｜令 \(t=x-1\)，\(\displaystyle \int_0^2(2x+1)\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=\int_{-1}^1(2t+3)\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=\frac{3\pi}{2}\)
  • ⚠️ 易错：平移后要同时改被积函数和上下限；“奇项为零”只在对称区间成立
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含可去奇点的定积分，怎样不用求值就判正负？

  • ★P144｜判断入口：积分看似在端点有 \(0/0\)，题目只问正负；先确认是可去奇点，再通过换元、拆区间把正负部分搬到同一区间比较
  • ★例11.13｜\(\displaystyle I=\int_0^{3\pi/2}\frac{\cos x}{2x-3\pi}\mathrm{d}x\)。令 \(t=\frac{3\pi}{2}-x\)，得 \(\displaystyle I=\frac12\int_0^{3\pi/2}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\)
  • 把区间拆成 \([0,\frac\pi2]\)、\([\frac\pi2,\pi]\)、\([\pi,\frac{3\pi}{2}]\)；第三段令 \(t=u+\pi\)，与第一段合并为 \(\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin u\left(\frac1u-\frac1{u+\pi}\right)\mathrm{d}u>0\)，中间一段也为正，故 \(I>0\)，选(A)
  • ⚠️ 易错：不能仅凭 \(\cos x\) 变号就判断；分母也变号，而且 \(x=\frac{3\pi}{2}\) 处是可去奇点，不是发散点
  • 🧠 判号四步：化简奇点 → 拆分符号区间 → 换到同一区间 → 用保号性比较
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分部积分怎样实现 f、f′、∫f 的“升阶与降阶”？

  • ★P144–145｜判断入口：等式两边同一函数的阶数不一致。想把 \(g'\) 变成 \(g\)、再变成 \(\int g\)，叫“降阶”；想把 \(\int f\) 变成 \(f\)、再变成 \(f'\)，叫“升阶”。执行工具都是分部积分
  • ★例11.14（降阶）｜\(f(x)=xg'(2x)\)，且 \(g\) 的一个原函数为 \(\ln(x+1)\)，故 \(g(x)=\frac1{x+1}\)。令 \(t=2x\)，再分部：\(\displaystyle \int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\frac14\int_0^2t g'(t)\mathrm{d}t=\frac14\left([tg(t)]_0^2-\int_0^2g(t)\mathrm{d}t\right)=\frac16-\frac14\ln3\)
  • ★例11.15（升阶）｜\(f(x)=\int_0^x\mathrm e^{-t^2+2t}\mathrm{d}t\)，故 \(f(0)=0\)、\(f'(x)=\mathrm e^{-x^2+2x}\)。对 \(\int_0^1(x-1)^2f(x)\mathrm{d}x\) 分部，把 \(f\) 升为 \(f'\)，再令 \(u=(x-1)^2\)，结果为 \(\frac16(\mathrm e-2)\)
  • ⚠️ 易错：升降阶前先选好谁求导、谁积分，并检查边界项；例11.15 的边界项恰因 \((x-1)^3|_{x=1}=0\) 与 \(f(0)=0\) 同时消失
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牛顿—莱布尼茨公式怎样把“函数差”变成可比较的积分？

  • ★P145–146｜判断入口：目标含 \(f(x)-f(x_0)\)、对数差或离散和式比较；主动写成 \(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\int_{x_0}^x f'(t)\mathrm{d}t\)，再对被积函数作放缩
  • 典型结论：对 \(x>0\)，\(\displaystyle \ln\left(1+\frac1x\right)=\int_x^{x+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}>\frac1{x+1}\)；对整数 \(n\geq2\)，分段比较还给出 \(\ln(1+n)<1+\frac12+\cdots+\frac1n\) 与 \(\ln n>\frac12+\cdots+\frac1n\)
  • ★例11.16｜题设还给出 \(f(0)=0\)。因此 \(f(1)=f(1)-f(0)=\int_0^1f'(t)\mathrm{d}t\)；令 \(t=\ln x\)，则 \(x\in[1,\mathrm e]\)，应选题设中 \(f'(\ln x)=x\) 的第二支：\(\displaystyle f(1)=\int_1^{\mathrm e}f'(\ln x)\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int_1^{\mathrm e}1\,\mathrm{d}x=\mathrm e-1\)
  • ⚠️ 易错：复合自变量的分段范围要在换元后重新判断；这里 \(t\in(0,1)\) 不等于原题分支中的 \(x\in(0,1)\)
  • 🧠 口诀：看见差值造积分，看见积分再保号；复合分段先还原自变量
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簇S11E：定积分不等式——从点态信息走向整体估计

定积分不等式的四个入口怎样选？积分为零又能推出什么？

  • ★P147–148｜判断入口：有点态大小关系用比较定理；知道最小值、最大值用估值定理；外面有绝对值用 \(\left|\int f\right|\leqslant\int|f|\)；一个大区间直接处理不了就拆成小区间，用黎曼思想逐段控制
  • 三条基本式：\(f\leqslant g\Rightarrow\int_a^bf\leqslant\int_a^bg\)；\(m\leqslant f\leqslant M\Rightarrow m(b-a)\leqslant\int_a^bf\leqslant M(b-a)\)；\(\left|\int_a^bf\right|\leqslant\int_a^b|f|\)
  • ★例11.17｜把题设移项并补上 \(\int_0^1x^4\mathrm{d}x=\frac15\)，得 \(\displaystyle \int_0^1[f(x)-x^2]^2\mathrm{d}x=0\)；连续非负函数积分为零，只能处处为零，因此 \(f(x)=x^2\)
  • 延伸结论：若连续函数满足严格不等式 \(\left|\int_a^bf\right|<\int_a^b|f|\)，则 \(f\) 必有正有负，由零点定理知区间内部至少有一个零点
  • ⚠️ 易错：一般的“积分为零”不能推出被积函数处处为零；必须同时抓住连续且非负。反例是普通正负抵消
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两端点泰勒展开，怎样得到梯形近似的 1/12 误差？

  • ★P148–149（例11.18）｜判断入口：已知 \(f'(0)=f'(1)\)、\(|f''(x)|\leqslant1\)，目标同时含 \(f(x)\) 与端点值 \(f(0),f(1)\)；应分别在 0、1 展开，再用权重消去一阶导项
  • 第一步：\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac12f''(\xi_1)x^2\)，以及 \(f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac12f''(\xi_2)(x-1)^2\)
  • 第二步：第一式乘 \(1-x\)，第二式乘 \(x\) 后相加；因 \(f'(0)=f'(1)\)，一阶项正好抵消，得到 \(\displaystyle |f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|\leqslant\frac{x(1-x)}2\)
  • 第三步对 \(x\in[0,1]\) 积分，并用绝对值不等式：\(\displaystyle \left|\int_0^1f(x)\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}2\right|\leqslant\int_0^1\frac{x(1-x)}2\mathrm{d}x=\frac1{12}\)
  • 🧠 方法串联：两端展开 → 加权消项 → 点态余项估计 → 积分得到整体误差
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大区间直接估不动时，例11.19 怎样靠“在最大点处分段”得到常数 4？

  • ★P149–150｜判断入口：\(f\in C^2[0,1]\)，\(f(0)=f(1)=0\)、\(f''<0\)。目标积分 \(\int_0^1\left|\frac{f''}{f}\right|\) 因端点分母为 0，应按反常积分理解；严格凹性先给出 \(f(x)>0\)（\(0<x<1\)），再取最大点 \(x_0\in(0,1)\)，以它为界分成左右两段
  • 因 \(f(x)\leqslant f(x_0)\)，有 \(\displaystyle \int_0^1\frac{|f''(x)|}{f(x)}\mathrm{d}x\geqslant\frac1{f(x_0)}\int_0^1|f''(x)|\mathrm{d}x\)
  • 在 \([0,x_0]\)、\([x_0,1]\) 分别用拉格朗日，存在 \(\xi_1,\xi_2\) 使 \(f'(\xi_1)=\frac{f(x_0)}{x_0}\)、\(f'(\xi_2)=-\frac{f(x_0)}{1-x_0}\)；又因 \(f''<0\)，\(f'\) 递减
  • 因而 \(\displaystyle \int_{\xi_1}^{\xi_2}|f''(x)|\mathrm{d}x=f'(\xi_1)-f'(\xi_2)=\frac{f(x_0)}{x_0(1-x_0)}\geqslant4f(x_0)\)，最终 \(\displaystyle \int_0^1\left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right|\mathrm{d}x\geqslant4\)
  • 🧠 常数 4 来自 \(x_0(1-x_0)\leqslant\frac14\)；黎曼思想的实质是：一个大区间缺信息，就在关键点处分段制造信息
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