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强化第9讲 一元函数积分学的计算

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强化第9讲 一元函数积分学的计算

簇S9A：换元法——先识别结构，再降低复杂度

一道积分题该按什么顺序选择方法？

  • 判断入口/条件｜先看能否恒等拆分或凑出“内层函数的导数”；这是成本最低的两步
  • 分步方法｜💡 ①恒等变形到基本积分式；②试第一类换元；③仍有复杂根式再用第二类换元；④最后考虑分部、有理分式或三角有理式
  • 典型例题/结论｜★P104（例9.1）把 \(x=\frac12(2x+2)-1\)，得到 \(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+2x+2}\mathrm{d}x=\frac12\ln(x^2+2x+2)-\arctan(x+1)+C\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 不要看到分式就部分分式；先问两句：能拆吗？能凑分母的导数吗？
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三类含平方根式分别用什么三角代换？

  • 判断入口/条件｜根式已经或经配方后成为 \(\sqrt{a^2-x^2}\)、\(\sqrt{a^2+x^2}\)、\(\sqrt{x^2-a^2}\)，约定 \(a>0\)
  • 分步方法｜依次令 \(x=a\sin t\)、\(x=a\tan t\)、\(x=a\sec t\)；同步替换根式与 \(\mathrm{d}x\)，积分后再用三角关系回代
  • 典型例题/结论｜★P104–105（例9.2）｜\(\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C\)
  • 易错/口诀｜🧠 减平方用正弦，加平方用正切，前后相减用正割；回代时别漏系数 \(a\)
回源 · PDF 第 104 页 · b_104_0

根式不是标准平方型时，怎样选择第二类换元？

  • 判断入口/条件｜出现 \(\sqrt[n]{ax+b}\)、\(\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\)、\(\sqrt{\mathrm e^x+c}\)，或倒代换能显著降低分母次数
  • 分步方法｜①优先把整个复杂根式令为 \(t\)；②反解 \(x\)；③算出 \(\mathrm{d}x\)；④检查新被积函数是否已变成有理式
  • 典型例题/结论｜★P106（例9.4）令 \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2x+1}{x+1}}\)，原积分便化为有理函数；例9.3中 \(\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1+x^2}}\) 也可令 \(x=\frac1t\)，结果为 \(-\frac{\sqrt{1+x^2}}x+C\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 第二类换元不是“换得越花越好”，判断成功的唯一标准是：换完明显更简单
回源 · PDF 第 105 页 · b_105_0

例9.5为什么要先区间再现，再利用周期性？

  • 判断入口/条件｜定积分含 \(x h(x)\)，除周期性外还要验证关于区间中点的反射关系 \(h(L-x)=h(x)\)；仅有周期性并不足以让区间再现后被积函数不变。若 \(L=nT\)，还需例如 \(h\) 为偶函数，才有 \(h(nT-x)=h(x)\)
  • 分步方法｜本题 \(h(x)=|\sin x|\) 满足 \(h(n\pi-t)=h(t)\)。对 \(a_n=\int_0^{n\pi}x|\sin x|\mathrm{d}x\) 作 \(x=n\pi-t\)；与原式相加先消去 \(x\)，再把长区间按周期拆开
  • 典型例题/结论｜★P106–107（例9.5）｜\(\displaystyle 2a_n=n\pi\int_0^{n\pi}|\sin x|\mathrm{d}x=n\pi\cdot2n\)，故 \(\boxed{a_n=n^2\pi}\)
  • 易错/口诀｜🧠 先验 \(h(L-x)=h(x)\)，再现才能消掉前面的 \(x\)；随后才用周期性缩区间
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簇S9B：分部积分——先预判积分会怎样结束

例9.6：看不出乘积时，怎样先凑微分再分部？

  • 判断入口｜★P107｜\(\displaystyle I=\int\frac{xe^x}{\sqrt{e^x+1}}\,\mathrm dx\)；虽然原式不像典型乘积，但 \(\frac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}\mathrm dx=\mathrm d(2\sqrt{e^x+1})\)
  • 先分部｜\(\displaystyle I=2x\sqrt{e^x+1}-2\int\sqrt{e^x+1}\,\mathrm dx\)
  • 再换元｜令 \(t=\sqrt{e^x+1}>1\)，则 \(\displaystyle \mathrm dx=\frac{2t}{t^2-1}\,\mathrm dt\)，从而 \(\displaystyle\int\sqrt{e^x+1}\,\mathrm dx=2t+\ln\frac{t-1}{t+1}+C\)
  • 结论｜\(\displaystyle \boxed{I=2x\sqrt{e^x+1}-4\sqrt{e^x+1}-2\ln\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}+C}\)
  • 易错｜分部入口是把根式的导数整体凑出来，不是机械照“反对幂指三”选 \(u\)
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分部两次又回到原积分时怎么办？

  • 判断入口/条件｜指数函数与三角函数相乘，或分部后再次出现原来的难积分
  • 分步方法｜①设原积分为 \(I\)；②连续分部直到右端出现 \(\pm I\)；③移项解关于 \(I\) 的代数方程
  • 典型例题/结论｜★P107–108（例9.7）\(\displaystyle I=\int\mathrm e^x\sin x\,\mathrm{d}x\)，分部两次得 \(2I=\mathrm e^x(\sin x-\cos x)\)，所以 \(I=\frac12\mathrm e^x(\sin x-\cos x)+C\)
  • 易错/口诀｜🧠 回到自身不是失败，而是“方程已经建好”；见到 \(I\) 就移项，不要继续无限分部
回源 · PDF 第 107 页 · b_107_0

怎样识别分部积分中的抵消型？

  • 判断入口/条件｜被积函数能整理成 \(\mathrm e^{ax}[af(x)+f'(x)]\)，或分部后会出现一对符号相反的难积项
  • 分步方法｜先猜整体原函数 \(\mathrm e^{ax}f(x)\)，对它求导验算；若吻合，直接写结果
  • 典型例题/结论｜★P108（例9.8）有 \(\displaystyle\left(\frac{\mathrm e^x}{1+x^2}\right)'=\mathrm e^x\frac{(1-x)^2}{(1+x^2)^2}\)，故原积分为 \(\displaystyle\frac{\mathrm e^x}{1+x^2}+C\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 看到“指数 × 分式平方”先别硬积；试求导一个形似 \(\mathrm e^xR(x)\) 的整体
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怎样用分部积分建立含参数次数的递推式？

  • 判断入口/条件｜积分中含 \(\ln^n x\)、三角高次幂或多项式次数 \(n\)，题目要求一般项
  • 分步方法｜①记为 \(a_n\)；②选择分部使次数从 \(n\) 降到 \(n-1\)；③求初值；④连乘还原通项
  • 典型例题/结论｜★P108–109（例9.9）\(\displaystyle a_n=\int_0^1x^2\ln^n x\,\mathrm{d}x\) 满足 \(a_n=-\frac n3a_{n-1}\)、\(a_0=\frac13\)，所以 \(\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n n!}{3^{n+1}}\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 先验证边界项：\(\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln^\beta x=0\)（\(\alpha,\beta>0\)）；递推先降阶，端点要过关
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簇S9C：有理函数与三角有理式——先拆结构，再积分

真有理分式怎样拆成可积的最简项？

  • 判断入口/条件｜\(\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\) 且 \(n<m\)；若 \(n\geqslant m\)，先做多项式除法
  • 分步方法｜一次因式列 \(\frac{A}{ax+b}\)；不可约二次因式列 \(\frac{Bx+C}{px^2+qx+r}\)；重因式要从一次幂列到最高幂，再用赋值或比较系数求常数
  • 典型例题/结论｜★P109–110（例9.10）拆分后得到 \(\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac3{10}\ln2+\frac{\pi}{10}\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 二次分母上的线性分子还要再拆成“分母导数 + 常数”；前者出 \(\ln\)，后者配方出 \(\arctan\)
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三角有理式先做哪三次奇偶测试？

  • 判断入口/条件｜被积函数是 \(R(\sin x,\cos x)\)，希望用全角换元直接降成有理函数
  • 分步方法｜若 \(R(-\sin x,\cos x)=-R\)，令 \(t=\cos x\)；若 \(R(\sin x,-\cos x)=-R\)，令 \(t=\sin x\)；若 \(R(-\sin x,-\cos x)=R\)，令 \(t=\tan x\)
  • 典型例题/结论｜★P110–111（例9.11、9.12）分别通过 \(t=\cos x\)、\(t=\sin x\) 把三角有理式化为普通有理式
  • 易错/口诀｜🧠 三问顺序记作：反正弦看余弦，反余弦看正弦，两者同反看正切
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分子分母都是正弦余弦线性式时，最快怎样拆？

  • 判断入口/条件｜形如 \(\frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}\)，分子可由“分母 + 分母导数”线性表示
  • 分步方法｜设分子 \(=A(c\sin x+d\cos x)+B(c\cos x-d\sin x)\)；解出 \(A,B\) 后分别积分成 \(Ax+B\ln|c\sin x+d\cos x|\)
  • 典型例题/结论｜★P111（例9.13）\(\displaystyle\int\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x+2\cos x}\mathrm{d}x=\frac45x-\frac35\ln|\sin x+2\cos x|+C\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 只有这条快路和三次奇偶测试都失败，才用 \(t=\tan\frac x2\) 的万能代换；万能是保底，不是首选
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簇S9D：牛顿–莱布尼茨与变限积分——先管边界，再做计算

含参反常积分为什么算出候选值后还要复查？

  • 判断入口/条件｜积分区间含 \(+\infty\)、\(-\infty\) 或瑕点，参数还会改变分母零点的位置
  • 分步方法｜①找全部瑕点；②按瑕点拆区间；③在收敛前提下用牛顿–莱布尼茨；④把每个候选参数代回重查
  • 典型例题/结论｜★P112–113（例9.15）形式计算给出 \(a=2\) 或 \(a=-6\)；但 \(a=-6\) 时 \(x=3\) 是内部瑕点且积分发散，故只有 \(\boxed{a=2}\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 代数方程的根不等于原题的解；候选要回代，收敛是门票
回源 · PDF 第 112 页 · b_112_0

上下限和被积函数同时含 x 时，怎样正确求导？

  • 判断入口/条件｜变限积分中不仅上下限含 \(x\)，被积函数里也藏着 \(t-x\)、\(tx\)、\(x^2-t^2\) 等
  • 分步方法｜①先换元把被积函数中的 \(x\) 移走；②把积分化成标准变上限形式；③再用链式法则求导
  • 典型例题/结论｜★P113（例9.16）先令 \(u=t-x\)，再用反函数关系 \(g[f(x)]=x\)，最终得到 \(\displaystyle f(x)=\ln(1+x)+2x\ln(1+x)-x\ (x\geqslant0)\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 不能直接把原式上下限机械代入公式；处理顺序是：先移 \(x\)，后求导
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绝对值积分怎样判断拆点是否落在积分区间内？

  • 判断入口/条件｜被积函数含 \(|t-x|\)、\(|t^2-x^2|\)，绝对值内部的零点随参数 \(x\) 移动
  • 分步方法｜先解绝对值内部为零的 \(t\)；再比较这些零点与固定积分区间的位置：落在区间内就拆，落在区间外就整体定号
  • 典型例题/结论｜★P114（例9.17）以 \(t=x\) 拆分后有 \(f''(x)=2\mathrm e^{2x}>0\)，驻点只给最小值；比较端点得 \(\displaystyle f_{\max}=f(-1)=\frac34\mathrm e^2+\frac14\mathrm e^{-2}\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 求出驻点不能直接宣布最大值；凸函数驻点是最小，最大还看端点
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参数跨出积分区间时，绝对值积分为何必须分段写函数？

  • 判断入口/条件｜参数 \(x\) 的取值范围大于积分变量的固定区间，使零点有时在区间内、有时在区间外
  • 分步方法｜P114–115（例9.18）先以 \(x=1\) 分情况；\(0<x\leqslant1\) 时按 \(t=x\) 拆，\(x>1\) 时 \(t^2-x^2\) 在 \([0,1]\) 上恒负
  • 典型例题/结论｜★P114–115（例9.18）｜\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac43x^3-x^2+\frac13,&0<x\leqslant1,\\x^2-\frac13,&x>1,\end{cases}\)，唯一最小值点 \(x=\frac12\)，最小值 \(\boxed{\frac14}\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 分段点不是凭感觉取，而由“移动零点何时碰到固定端点”确定；本题就是 \(x=1\)
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累次积分的内层积不动时，怎样通过换序降维？

  • 判断入口/条件｜累次积分的内层含难积函数，而积分区域能改写为更方便的另一种次序
  • 分步方法｜P115（例9.19）把 \(0\leqslant y\leqslant x\leqslant t\) 换成先对 \(y\) 积：\(\displaystyle\int_0^t\frac1x\mathrm{d}x\int_0^x\sin^2(xy)\mathrm{d}y\)；再配合洛必达和换元
  • 典型例题/结论｜★P115（例9.19）｜利用 \(\sin^2u\sim u^2\)，原极限最终为 \(\boxed{\frac1{15}}\)
  • 易错/口诀｜🧠 换序前先写清区域不等式；内层积不动，先画三角形换次序
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分段函数的不定积分为什么必须调整积分常数？

  • 判断入口/条件｜被积函数在分段点换公式，而题目要求的是整个区间上的一个原函数
  • 分步方法｜①各段分别积分；②保留各段常数；③令原函数在分段点左右连续；④解出常数之间的关系
  • 典型例题/结论｜★P116（例9.20）的一个原函数为 \(\displaystyle F(x)=\begin{cases}\ln(\sqrt{1+x^2}+x)+1,&x\leqslant0,\\(x+1)\sin x+\cos x,&x>0\end{cases}\)。
  • 易错/口诀｜⚠️ 分段积分不是“各积各的就结束”；先调常数使候选原函数连续，再分别验证各段导数，并检查分界点处的导数。导函数具有达布介值性，不能发生跳跃；若原被积函数在分界点跳跃，就不存在跨越该点的全局原函数
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平移后的分段定积分怎样找真正的分段点？

  • 判断入口/条件｜积分中出现 \(f(x-a)\)，而 \(f\) 自身按自变量正负或某个阈值分段
  • 分步方法｜先令 \(t=x-a\) 整体换元；写出新的积分区间；再按 \(f(t)\) 的原分段点拆区间
  • 典型例题/结论｜★P116（例9.21）\(\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x-1)\mathrm{d}x=\int_{-3}^{1}f(t)\mathrm{d}t=\int_{-3}^{0}(1+t^2)\mathrm{d}t+\int_0^1\mathrm e^{-t}\mathrm{d}t=13-\mathrm e^{-1}\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 不能仍在 \(x=0\) 处分段；先平移变量，分段点也跟着平移
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根式定积分何时可以直接看成圆面积？

  • 判断入口/条件｜根式能整理为 \(y=\sqrt{a^2-(x-h)^2}\)，表示半径为 \(a\) 的上半圆
  • 分步方法｜先配方识别圆心与半径，再判断积分区间覆盖整半圆、半个半圆还是其他扇区
  • 典型例题/结论｜★P116–117（例9.22）\(\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}\)，\(x\in[0,1]\) 覆盖上半圆的一半，故 \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=\frac\pi4\)
  • 易错/口诀｜⚠️ 先配方再看区间；认出圆还不够，必须数清取了几分之几
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