强化第3讲一元函数微分学的概念

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强化第3讲一元函数微分学的概念¶

★P38–39（例3.2 ★★）｜\(f\) 在 \(x=0\) 连续，四命题判"可导"：②\(\lim\frac{f(x)}{x^2}=0\) ⟹ \(f(0)=0\) 且 \(f'(0)=\lim\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{f(x)}{x^2}x=0\) 成立；①\(\lim\frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0\) 推不出（反例 \(\sqrt{\lvert x\rvert}\)：\(\frac{f}{x}=\frac{f}{\sqrt[3]{x}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}}{x}\) 是 \(0\cdot\infty\)）；③④"可导 ⟹ 比值为 0"因 \(f(0)\) 未必为 0（\(\frac{1}{0}\) 型无穷大）——选(A) 只 1 个
判据：分母阶数高于 \(x\) 的（\(x^2\)）⟹ 能推可导；低于 \(x\) 的（\(\sqrt[3]{x}\)）⟹ 推不动；反向永远先问 \(f(0)=0\) 给没给
★P41–42（例3.3 ★★★）｜四个条件分别是 \(\lim\frac{\lvert f(x)\rvert-f(0)}x\)、\(\lim\frac{f(x)-\lvert f(0)\rvert}x\)、\(\lim\frac{\lvert f(x)\rvert}x\)、\(\lim\frac{\lvert f(x)\rvert-\lvert f(0)\rvert}x\) 存在；四个都能推出 \(f'(0)\) 存在，选(D)。证明抓两步：③存在时左右符号迫使极限为 \(0\)，进而 \(f(0)=f'(0)=0\)；其余三项若 \(f(0)\neq0\) 就用连续保号撕掉绝对值，若 \(f(0)=0\) 则归入③
🧠 "\(f(x_0)\neq 0\) 时 \(\lvert\cdot\rvert\) 在局部是透明的"（连续保号撕掉绝对值）——这一句能解掉本讲一半的绝对值题

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★P42｜30讲四条照旧（极限存在必连续/无第一类间断/可能振荡断/介值定理）。强化补两条关于 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)\)：
①\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) 存在（水平渐近线）推不出 \(\lim f'\) 存在——反例 \(f=\frac{\sin x^2}{x}\)（\(f\to 0\) 但 \(f'=2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}\) 振荡）
②\(y=f(x)\) 在 \(x\to+\infty\) 有斜渐近线也推不出 \(\lim f'\) 存在——反例 \(y=x+\frac{\sin x^2}{x}\)（渐近线 \(y=x\)，\(f'=1+2\cos x^2-\cdots\) 不收敛）
★P42–43（例3.4）｜四命题中，只有“\(f\) 在 0 连续，且 \(\lim\limits_{x\to0}f'(x)\) 存在 ⟹ \(f'(0)\) 存在”为真（导数极限定理）。反例必须补齐分段定义：\(f(x)=0\ (x\leq0)\)、\(f(x)=x\sin\frac1x\ (x>0)\) 时 \(f_-'(0)=0\) 而 \(f_+'(0)\) 不存在；\(g(0)=0\)、\(g(x)=x^2\sin\frac1x\ (x\neq0)\) 时 \(g'(0)=0\)，但 \(\lim\limits_{x\to0}g'(x)\) 不存在
🧠 图像语言：渐近线管"函数往哪去"，\(f'\) 管"路上多颠簸"——趋势收敛不等于颠簸消失（\(\sin x^2\) 的振荡越来越密）

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★P43–44（例3.5）｜\(f=x^{\frac{2}{3}}\sin x\)：求导公式给出的 \(f'\) 在 \(x=0\) 无定义——求导法则在该点不成立 ≠ 不可导，用定义算 \(f'(0)=\lim\sqrt[3]{x^2}\cdot\frac{\sin x}{x}=0\) 存在 ⟹ \(f'\) 要分段写
★（强化升级判据）｜\(F=f(x)g(x)\)，\(f\) 在 \(x_0\) 连续不可导、\(g\) 在 \(x_0\) 可导 ⟹ \(F\) 在 \(x_0\) 可导 ⟺ \(g(x_0)=0\)（拆项证明：\(F'(x_0)=f(x_0)g'(x_0)+\lim g(x)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)）；特例 \(F=\lvert x-x_0\rvert g(x)\)
★P44（例3.6）｜\([\lvert f\rvert]'=\frac{f(x)f'(x)}{\lvert f(x)\rvert}\)（\(f\neq 0\) 处）；\(g=\lvert f(x-1)\rvert\)，由题设 \(f(0)=-1<0\)、\(f'(0)=1\)，得 \(g'(1)=\mathrm{sgn}[f(0)]\cdot f'(0)=-1\)——sgn 公式一步出
★P45（例3.7）｜\(x=0\) 不可导的是 \(\cos\sqrt{\lvert x\rvert}\)：\(\frac{\cos\sqrt{\lvert x\rvert}-1}{x}\sim\frac{-\frac{1}{2}\lvert x\rvert}{x}\) 左右不等；而 \(\lvert x\rvert\tan\lvert x\rvert\)、\(\lvert x\rvert\tan\sqrt{\lvert x\rvert}\)、\(\sqrt{\cos\lvert x\rvert}\) 都可导（\(\lvert x\rvert\) 平方级或 \(1-\cos^{\alpha}\) 二阶）
🧠 速判口径：绝对值因子在该点"配到二阶及以上"就平滑（\(\lvert x\rvert^2\)、\(\lvert x\rvert\tan\lvert x\rvert\)）；一阶裸奔（\(\lvert x\rvert\)、\(\sqrt{\lvert x\rvert}\) 奇次配）就折角

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判断入口｜★P45–46｜\(g\) 连续，\(\displaystyle f(x)=\int_0^{x^2}g(xt)\,\mathrm dt\)；换元会产生 \(1/x\)，所以 \(x\neq0\) 与 \(x=0\) 必须分开
一般点｜当 \(x\neq0\)，令 \(u=xt\)，得 \(\displaystyle f(x)=\frac1x\int_0^{x^3}g(u)\,\mathrm du\)，从而 \(\displaystyle f'(x)=-\frac1{x^2}\int_0^{x^3}g(u)\,\mathrm du+3xg(x^3)\)
特殊点｜由导数定义，\(\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^3}g(u)\,\mathrm du}{x^2}=0\)；又因 \(g\) 在 0 附近有界，\(\int_0^{x^3}g(u)\,\mathrm du=O(x^3)\)，且 \(3xg(x^3)\to0\)，故 \(\lim_{x\to0}f'(x)=0=f'(0)\)
结论｜\(f'\) 在 0 处连续。🧠 含 \(1/x\) 的换元式不能硬代特殊点；一般点用公式，特殊点回定义

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