强化第2讲数列极限

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强化第2讲数列极限¶

★P27–30｜目标 O：判 \(\{x_n\}\) 收敛。五分支：①见 \(f(x_n,x_{n+1})\) 等式 ②见不等式关系 ③初值 \(x_1\) 的影响 ④双通项 \(a_n,b_n\) ⑤复合函数极限
分支①细则：递推写成 \(x_{n+1}=f(x_n)\)。先找一个包含初值且满足 \(f(I)\subset I\) 的不变区间 \(I\)，再证 \(\lvert f'(x)\rvert\leqslant k<1\)（\(x\in I\)），便可由压缩性证明 \(\{x_n\}\) 收敛，并把极限代入不动点方程 \(L=f(L)\)。例2.1 \(f(x)=\sqrt{4+3x}\) 在相应不变区间内 \(\lvert f'\rvert\leqslant\frac34\)，极限为 4；例2.2 \(f(x)=\frac\pi2+\frac12\cos x\) 的不动点为 \(\frac\pi2\)。⚠️ \(k\) 必须是与 \(n\) 无关的常数
\(f\) 不易求导四招：直接比较 \(x_{n+1}\) 与 \(x_n\)（例2.3 共轭思想 \(1-\sqrt{1-x_n}=\frac{x_n}{1+\sqrt{1-x_n}}<x_n\)）；作差定号（例2.4）；作商与 1 比（例2.5 同号时）；题设第(1)问就是提示（例2.6 欧拉常数 \(a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\)：用 \(\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}\) 证减且有下界 ★经典）
💡 基础见：30讲·递推数列大题的标准三步走是什么？

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判断入口｜★P31｜题设给 \((1-x_{n+1})x_n>\frac14\)、\(0<x_n<1\)，没有显式递推式；先用均值不等式把相邻两项的乘积关系改成大小关系
证单调｜\(\displaystyle \frac12<\sqrt{(1-x_{n+1})x_n}\leq\frac{1-x_{n+1}+x_n}{2}\)，所以 \(x_n>x_{n+1}\)；数列递减且以 0 为下界，故必收敛
定极限｜设 \(x_n\to a\in[0,1]\)。原严格不等式取极限后只能得到 \(a(1-a)\geq\frac14\)；又 \(a(1-a)\leq\frac14\)，故 \(a(1-a)=\frac14\)
结论｜\(\boxed{a=\frac12}\)。⚠️ 严格不等式取极限后可能丢掉严格性，只能写“\(\geq\)”

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★P31–32（例2.8 初值影响）｜\(a_{n+1}=a_n-\frac{a_n-3}{a_n-2}\)（\(a_1>2\)）：看成 \(a_{n+1}=f(a_n)\) 并求 \(f\) 的最值——\(f(x)=x-\frac{x-3}{x-2}\) 在 \((2,+\infty)\) 最小值 \(f(3)=3\) ⟹ \(n\geqslant 2\) 起 \(a_n\geqslant 3\)；分 \(a_1>3\)（单调减）、\(2<a_1<3\)（\(a_2>3\) 后单调减）、\(a_1=3\)（常数列）⟹ 全部收敛于 3，选(B)
💡 蓝批注：找（或证）\(\{a_n\}\) 有界时，若递推写成 \(a_{n+1}=f(a_n)\) 且 \(f\) 可导，求 \(f\) 在不变区间上的最值是好方法
★P32–33（例2.9 双通项 ★）｜给定 \(a_1=1\)，且 \(a_n+b_n=\frac{\pi}{2}\)、\(a_{n+1}=a_n+\cos a_n\)。消元得 \(b_{n+1}=b_n-\sin b_n\)；由初值归纳 \(0<b_{n+1}<b_n<1\)，故 \(b_n\to0\)。又 \(b_n=b_{n-1}-\sin b_{n-1}\sim\frac16b_{n-1}^3\)，所以与 \(b_{n-1}^a\) 同阶时 \(a=3\)，选(C)
★P33（例2.10）｜设正数列 \(a_n\to0\)，且 \(a_n,b_n\in(0,\frac\pi2)\)、\(a_{n+1}=\cos b_n-\cos a_n>0\)，并满足 \((1-b_n)^n=\cos b_n\)。先由余弦在该区间严格递减得 \(0<b_n<a_n\to0\)；再把待求式改写为 \(b_n^{\frac{\ln\cos b_n}{n}}=\exp\!\bigl[\ln b_n\,\ln(1-b_n)\bigr]\)，而 \(\ln b_n\,\ln(1-b_n)\sim-b_n\ln b_n\to0\)，故极限为 1
🧠 双通项套路：联立消元 → 单通项递推 → 常规三步走；比阶收尾常用 \(x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}\) 家族

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★P33–34｜定理一（因变量）：\(\lim\limits_{x\to x_0}g=u_0\)、\(\lim\limits_{u\to u_0}f=a\) 且 \(x\neq x_0\) 时 \(g(x)\neq u_0\) ⟹ \(\lim f[g(x)]=a\)——⚠️ 第③条 \(f\) 在 \(u_0\) 连续时可去掉；例2.11 狄利克雷复合反例（缺③失效）
★定理二（中间变量极限定理，强化新增）：\(u_n\in\) 有限区间 \(I\)，\(f\) 在 \(I\) 上严格单调，\(\lim f(u_n)\) 存在 ⟹ \(\lim u_n\) 存在——例2.12：\(\sin\) 在 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) 单调 ⟹ \(\lim\sin\cos x_n\) 存在推出 \(\lim\cos x_n\) 存在（\(\cos\) 不单调，推不动 \(x_n\)）⟹ 选(D)
★P34–35（例2.13 图像法作者新命题）｜正项单调增 \(\{a_n\}\)：要么 \(\to+\infty\) 要么收敛。看四个函数图像判断：\(a_n\ln a_n\to 0\) ⟹ 由 \(x\ln x\) 图像知 \(a_n\to 0^+\) 或 \(1\)，单调增排除趋于 \(0^+\) ⟹ \(a_n\to 1\)，所以收敛 ✓；而 \(\frac{\ln a_n}{a_n}\to 0\) 时 \(a_n\to 1\) 或 \(+\infty\) 两可 ⟹ 不能选
🧠 强化考法="逆着用第 5 讲的图像库"：\(x\ln x\)、\(\frac{\ln x}{x}\)、\((1+x)^{\frac{1}{x}}\)、\((1+\frac{1}{x})^x\) 四张图的零点/渐近线决定"由函数值极限反推自变量去向"

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