强化第12讲 一元函数积分学的应用（三）——物理应用（数学二范围）
强化第12讲 一元函数积分学的应用（三）——物理应用（数学二范围）¶
簇S12A：微元建模——先写局部量，再对全体积分¶
物理应用题为什么应先画坐标和微元，而不是先套公式？¶
- ★P151｜判断入口：力、速度、截面积、压强或密度随位置改变，说明“每一小段贡献不同”；应取 \([x,x+\mathrm{d}x]\)，把局部量近似看成常量，再写出微元 \(\mathrm{d}Q\)
- 通用三步：①选坐标并写清正方向、上下限；②列“局部强度 × 几何微元 × 距离或方向因子”；③在完整范围积分，并用单位与正负号反查
- 本讲六类题只是微元不同：变力功 \(\mathrm{d}W=F(x)\mathrm{d}x\)；位移 \(\mathrm{d}s=v(t)\mathrm{d}t\)；抽水功要乘提升距离；静水压力要乘水深与条带宽度；引力要投影到所求方向；流量要乘局部速度与环带面积
- ⚠️ 易错：公式中的 \(x\) 没有固定含义，可能是提升距离、水深、半径或时间；先定义坐标，才能决定 \(A(x)\)、宽度、剩余绳长和积分限
- 🧠 口诀：切一小片，局部常量化；写出微元，再从头积到尾
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b_151_0变力做功与变速运动，怎样把题目给的数据直接落进积分？¶
- ★P152｜判断入口：沿直线的力随位置变，用 \(W=\int_a^bF(x)\mathrm{d}x\)；若 \(s(t)\) 表示带方向的位置/位移函数，则 \(s'(t)=v(t)\)、\(v'(t)=a(t)\)；若题目问实际路程，则应积 \(|v(t)|\)。需要时再分部积分
- ★例12.1｜设桶从井底上提了 \(x\) 米，尚悬着的绳长是 \(a-x\)，瞬时拉力为 \(400+1500+5(a-x)\)；故 \(\displaystyle \int_0^a[1900+5(a-x)]\mathrm{d}x=59250\)，解得井深 \(a=30\) 米
- ★例12.2｜\(\displaystyle \int_0^1t a(t)\mathrm{d}t=\int_0^1t\,\mathrm{d}v(t)=[tv(t)]_0^1-\int_0^1v(t)\mathrm{d}t=v(1)-[s(1)-s(0)]=2-2=0\)，选(A)
- ⚠️ 易错：例12.1 中 \(a-x\) 才是剩余绳长；例12.2 不必先求 \(a(t)\)，题给的是位置函数的变化量（位移）与末速度，分部积分正好把所求量换成已知量；只有明确运动方向不变时，它才等于路程
- 🧠 对照记忆：力对位置积分得功；速度对时间积分得位移；\(t a(t)\) 见到就把 \(a\mathrm{d}t\) 看成 \(\mathrm{d}v\)
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b_152_0抽水做功时，为什么关键量是水平截面积 A(x)？¶
- ★P153｜判断入口：容器形状使每一层水的体积不同；在距出口（或池面）为 \(x\) 处取厚度 \(\mathrm{d}x\) 的水平薄层，体积为 \(A(x)\mathrm{d}x\)，重量为 \(\rho gA(x)\mathrm{d}x\)
- 该层提升距离为 \(x\)，故 \(\mathrm{d}W=\rho gxA(x)\mathrm{d}x\)，总功 \(\displaystyle W=\rho g\int_a^b xA(x)\mathrm{d}x\)。真正需要从几何图形求出的只有 \(A(x)\)
- ★例12.3｜半径为 \(a\) 的半球形水池，令 \(h\) 为薄层到池面的距离，则薄层半径为 \(\sqrt{a^2-h^2}\)，\(A(h)=\pi(a^2-h^2)\)；在 \(\rho g=1\) 时，\(\mathrm{d}W=\pi(a^2-h^2)h\mathrm{d}h\)
- 因此 \(\displaystyle W=\pi\int_0^a(a^2-h^2)h\mathrm{d}h=\frac\pi4a^4=\frac\pi2\)，得 \(a=2^{1/4}\)
- ⚠️ 易错：薄层的“重量”与“提升距离”必须各出现一次；只积 \(A(h)\) 算的是体积，不是功
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b_153_0静水压力题怎样同时确定水深和条带宽度？¶
- ★P153–154｜判断入口：竖直平板上压强随水深变化。取水平条带，若水深为 \(d(y)\)、条带宽为 \(w(y)\)，则 \(\mathrm{d}P=\rho g\,d(y)w(y)\mathrm{d}y\)；总压力是它在板高范围内的积分
- ★例12.4｜以抛物线顶点为 \(y=0\)，水面为 \(y=H+1\)。上部矩形在 \(1\leqslant y\leqslant H+1\)，宽为 2，故 \(\displaystyle P_1=\int_1^{H+1}\rho g(H+1-y)\cdot2\,\mathrm{d}y=\rho gH^2\)
- 下部由 \(y=x^2\) 与 \(y=1\) 围成，在高度 \(y\) 处宽为 \(2\sqrt y\)，故 \(\displaystyle P_2=\int_0^1\rho g(H+1-y)2\sqrt y\,\mathrm{d}y=\frac43\rho g\left(H+\frac25\right)\)
- 由 \(P_1/P_2=5/4\) 得 \(3H^2-5H-2=0\)，几何长度取正根 \(H=2\)
- ⚠️ 易错：压强用的是“到水面距离” \(H+1-y\)，而不是坐标 \(y\)；宽度也不是常数，下部必须由 \(y=x^2\) 解出 \(x=\pm\sqrt y\)
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b_154_0引力微元已知大小后，怎样正确取所求方向的分量？¶
- ★P154–155｜判断入口：连续细杆对质点的各微段引力方向不同；先按万有引力写大小，再乘方向余弦。若题目问 \(x\) 轴正向分力，还必须根据图判断正负
- ★例12.5｜在 \(y\) 轴 \([0,1]\) 上取质量微元 \(\rho\mathrm{d}y\)，它到 \((1,0)\) 的距离平方为 \(1+y^2\)，引力大小 \(\mathrm{d}F=\frac{G\rho\mathrm{d}y}{1+y^2}\)
- 引力指向细杆，\(x\) 分量为负，方向余弦大小为 \(1/\sqrt{1+y^2}\)，故 \(\displaystyle \mathrm{d}F_x=-\frac{G\rho}{(1+y^2)^{3/2}}\mathrm{d}y\)
- 积分得 \(\displaystyle F_x=-G\rho\int_0^1\frac{\mathrm{d}y}{(1+y^2)^{3/2}}=-\frac{\sqrt2}{2}G\rho\)
- ⚠️ 易错：\(\frac{G\rho\mathrm{d}y}{1+y^2}\) 只是引力大小；求分量还要再乘一次方向余弦，并由箭头方向确定负号
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b_155_1；PDF 第 155 页 · b_155_2；PDF 第 155 页 · b_155_3；PDF 第 155 页 · b_155_4；PDF 第 155 页 · b_155_5没有现成公式的流量题，怎样自行建立微元？¶
- ★P155（例12.6）｜判断入口：圆管内速度只与到中心的距离 \(r\) 有关，且同一半径上的速度相同；应取半径 \([r,r+\mathrm{d}r]\) 的薄圆环，而不是取整块圆盘
- 圆环截面积 \(\pi(r+\mathrm{d}r)^2-\pi r^2\approx2\pi r\mathrm{d}r\)；局部速度为 \(10(1-r^2)\)，所以单位时间流过该环的水量为 \(\mathrm{d}Q=20\pi r(1-r^2)\mathrm{d}r\)
- 对 \(0\leqslant r\leqslant1\) 积分：\(\displaystyle Q=\int_0^1 20\pi r(1-r^2)\mathrm{d}r=5\pi\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}\)
- ⚠️ 易错：不能用 \(\pi r^2\mathrm{d}r\) 当环带面积；正确的一阶微元是 \(2\pi r\mathrm{d}r\)，\(\pi(\mathrm{d}r)^2\) 属于高阶小量应舍去
- 🧠 自建表达式的检查：速度 \(\times\) 截面积 = 体积流量，单位必须落到 \(\mathrm{cm}^3/\mathrm{s}\)
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b_155_6；PDF 第 155 页 · b_155_7；PDF 第 155 页 · b_155_8；PDF 第 155 页 · b_155_9；PDF 第 155 页 · b_155_10；PDF 第 155 页 · b_155_11；PDF 第 155 页 · b_155_12