强化第10讲一元函数积分学的应用（一）——几何应用

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强化第10讲一元函数积分学的应用（一）——几何应用¶

簇S10A：公式体系——先决定微元，再决定积分变量¶

面积题怎样按曲线表达形式选择公式？¶

判断入口/条件｜先判断边界是直角坐标、极坐标还是参数方程，并找交点或完整描线区间
分步方法｜💡 直角坐标用竖条“上减下”；极坐标用小扇形“大平方减小平方”；参数方程把 \(\mathrm{d}x\) 换成 \(x'(t)\mathrm{d}t\)
典型例题/结论｜★P118｜三式分别为 \(\displaystyle\int_a^b|f_1-f_2|\mathrm{d}x\)、\(\displaystyle\frac12\int_\alpha^\beta(r_2^2-r_1^2)\mathrm{d}\theta\)、\(\displaystyle\int_\alpha^\beta|y(t)x'(t)|\mathrm{d}t\)（第三式对应曲线与 \(x\) 轴围成的面积）
易错/口诀｜⚠️ 面积恒非负；先画图定正负，再决定绝对值和对称倍数

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绕 x 轴与绕 y 轴时，圆片法和柱壳法怎样选？¶

判断入口/条件｜竖条与旋转轴垂直时形成圆片，竖条与旋转轴平行时形成柱壳
分步方法｜绕 \(x\) 轴取半径 \(|f(x)|\)，用 \(\mathrm{d}V=\pi f^2(x)\mathrm{d}x\)；绕 \(y\) 轴取半径 \(x\)、高 \(|f(x)|\)，用 \(\mathrm{d}V=2\pi x|f(x)|\mathrm{d}x\)
典型例题/结论｜★P119｜\(\displaystyle V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x\)，\(\displaystyle V_y=2\pi\int_a^bx|f(x)|\mathrm{d}x\)（书中第二式设 \(0\leqslant a<b\)）
易错/口诀｜🧠 圆片是半径平方，柱壳是周长乘高；不要把绕 \(y\) 轴也机械套成 \(\pi\int f^2\)

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曲线绕任意直线旋转时，何时可以套书中的斜轴公式？¶

判断入口/条件｜曲线 \(y=f(x)\) 绕 \(Ax+By+C=0\) 旋转，且该直线的任一条垂线与曲线至多有一个交点
分步方法｜先核对单交点条件，再把点到轴的距离与沿轴方向的微元代入公式；最后用绕 \(x\) 轴的特例反查量纲
典型例题/结论｜★P119｜\(\displaystyle V=\frac{\pi}{(A^2+B^2)^{3/2}}\int_a^b[Ax+Bf(x)+C]^2|Af'(x)-B|\mathrm{d}x\)
易错/口诀｜⚠️ 公式不是对任意自交或回折曲线都成立；先验单交点，再套斜轴式

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极坐标区域绕极轴旋转时，体积公式怎样用？¶

判断入口/条件｜区域写成 \(0\leqslant r\leqslant r(\theta)\)，\(\theta\in[\alpha,\beta]\subset[0,\pi]\)，旋转轴是极轴
分步方法｜确定区域只被扫描一次，再把 \(r(\theta)\) 与 \(\theta\) 的真实范围代入极轴旋转公式
典型例题/结论｜★P120｜\(\displaystyle V=\frac{2\pi}{3}\int_\alpha^\beta r^3(\theta)\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\)
易错/口诀｜⚠️ \(\sin\theta\) 来自点到极轴的距离；若参数区间重复描线，体积也会被重复计算

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函数平均值为什么必须除以区间长度？¶

判断入口/条件｜题目问连续函数在 \([a,b]\) 上的平均高度或平均值
分步方法｜先用 \(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\) 求总“面积”，再除以底边长度 \(b-a\)
典型例题/结论｜★P120｜\(\displaystyle\bar f=\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\)；由积分中值定理，存在 \(\xi\in[a,b]\) 使 \(\bar f=f(\xi)\)
易错/口诀｜🧠 积分值是总量，不是平均量；平均值 = 总量 ÷ 区间长度

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弧长与旋转侧面积怎样由同一个弧微分得到？¶

判断入口/条件｜题目问曲线长度或曲线绕 \(x\) 轴形成的侧面积（仅数一、数二）
分步方法｜先写 \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}\)；弧长积 \(\mathrm{d}s\)，侧面积再乘旋转圆周 \(2\pi|y|\)
典型例题/结论｜★P120（仅数一、数二）｜直角坐标下 \(\displaystyle s=\int\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x\)，\(\displaystyle S=2\pi\int|y|\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x\)；参数式和极坐标只需换对应的 \(\mathrm{d}s\)
易错/口诀｜🧠 弧长积斜边，侧面积积腰带；侧面积漏掉 \(\sqrt{1+(y')^2}\) 是高频错误

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簇S10B：基本曲线——先定完整描线区间，再算几何量¶

书中基本极坐标曲线怎样按家族快速识图？¶

统一入口｜★P121–123｜以下 \(a>0\)。面积 \(\displaystyle S=\frac12\int r^2(\theta)\,\mathrm d\theta\)，弧长 \(\displaystyle s=\int\sqrt{r^2+(r')^2}\,\mathrm d\theta\)；先确定一瓣或一圈的真实描线区间
心形线族｜\(r=a(1\mp\cos\theta)\) 分别向左、向右，\(r=a(1\mp\sin\theta)\) 分别向下、向上；四者面积均为 \(\frac32\pi a^2\)、全长均为 \(8a\)，横向两式绕极轴体积为 \(\frac83\pi a^3\)
双纽线族｜\(r^2=a^2\cos2\theta\) 沿 \(x\) 轴，\(r^2=a^2\sin2\theta\) 沿 \(\theta=\pi/4\)；总面积均为 \(a^2\)
螺线族｜阿基米德螺线 \(r=a\theta\) 取 \(0\leq\theta\leq2\pi\)，面积 \(\frac43a^2\pi^3\)；对数螺线 \(r=e^{a\theta}\) 取同一区间，面积 \(\frac{e^{4a\pi}-1}{4a}\)；双曲螺线 \(r\theta=a\) 取 \(1\leq\theta\leq\sqrt3\)，面积 \(\frac{a^2}{2}(1-\frac1{\sqrt3})\)
玫瑰线族｜\(r=a\sin3\theta\) 的一瓣取 \([0,\pi/3]\)，\(r=a\cos3\theta\) 的一瓣取 \([-\pi/6,\pi/6]\)，总面积均为 \(\frac\pi4a^2\)；二倍角四叶线对应一瓣区间 \([0,\pi/2]\)、\([-\pi/4,\pi/4]\)，总面积均为 \(\frac\pi2a^2\)
易错｜极坐标式给出的参数区间不等于图形的完整描线区间。🧠 先识家族与一瓣，再决定对称倍数

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心形线的弧长、面积、绕极轴体积怎样从同一区间算出？¶

判断入口/条件｜\(r=a(1\pm\cos\theta)\)，完整描线区间为 \(0\leqslant\theta\leqslant2\pi\)，并关于极轴对称
分步方法｜弧长与面积可只算 \([0,\pi]\) 的上半支再乘 2；绕极轴的体积则只需用上半区域 \(0\leq\theta\leq\pi\) 生成一次实体，不能再乘 2。分别代入 \(\sqrt{r^2+(r')^2}\)、\(\frac12r^2\)、\(\frac{2\pi}{3}r^3\sin\theta\)
典型例题/结论｜★P123–125（例10.1）得到全长 \(\boxed{8a}\)、面积 \(\boxed{\frac32\pi a^2}\)、绕极轴体积 \(\boxed{\frac83\pi a^3}\)
易错/口诀｜⚠️ \(\sqrt{1-\cos\theta}\) 要化成 \(\sqrt2|\sin\frac\theta2|\)；先缩到符号确定的区间再去绝对值

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阿基米德螺线和三叶玫瑰线怎样确定面积积分区间？¶

判断入口/条件｜极坐标面积题先判断题目要“一整圈扫出的区域”还是“若干瓣的总面积”
分步方法｜螺线 \(r=a\theta\) 与极轴所围区域取 \(\theta\in[0,2\pi]\)；三叶玫瑰线 \(r=a\sin3\theta\) 先取一瓣 \([0,\frac\pi3]\)，再乘 3
典型例题/结论｜★P125–126（例10.2、10.3）分别得到 \(\displaystyle S_{\text{螺线}}=\frac43a^2\pi^3\)，\(\displaystyle S_{\text{三叶}}=\frac{\pi a^2}{4}\)
易错/口诀｜🧠 不要把 \(0\leqslant\theta\leqslant2\pi\) 无脑代进玫瑰线；先数一瓣，再乘瓣数

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摆线一拱的三种几何量怎样共用同一参数区间？¶

判断入口/条件｜\(x=a(t-\sin t)\)、\(y=a(1-\cos t)\)，一拱对应 \(0\leqslant t\leqslant2\pi\)
分步方法｜先求 \(x'=a(1-\cos t)\)、\(y'=a\sin t\)；弧长积 \(\sqrt{(x')^2+(y')^2}\)，面积积 \(yx'\)，体积积 \(\pi y^2x'\)
典型例题/结论｜★P126–127（例10.4）一拱弧长 \(\boxed{8a}\)、与 \(x\) 轴围成面积 \(\boxed{3\pi a^2}\)、绕 \(x\) 轴体积 \(\boxed{5\pi^2a^3}\)
易错/口诀｜🧠 三题区间相同、微元不同；长用 \(\mathrm{d}s\)，面积用 \(y\mathrm{d}x\)，体积用 \(\pi y^2\mathrm{d}x\)

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星形线为什么先算第一象限再乘对称倍数？¶

判断入口/条件｜\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\)，参数式 \(x=a\cos^3t\)、\(y=a\sin^3t\)，图形关于两轴对称
分步方法｜取 \(0\leqslant t\leqslant\frac\pi2\) 计算第一象限；弧长和面积乘 4，绕 \(x\) 轴体积只把上下对称区域算成一个旋转体
典型例题/结论｜★P127–128（例10.5）全长 \(\boxed{6a}\)、面积 \(\boxed{\frac38\pi a^2}\)、绕 \(x\) 轴体积 \(\boxed{\frac{32}{105}\pi a^3}\)
易错/口诀｜⚠️ 面积的对称倍数不能照搬到旋转体；下半部分绕 \(x\) 轴与上半部分生成的是同一实体

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笛卡儿叶形线的面积与渐近线分别怎样求？¶

判断入口/条件｜\(x^3+y^3=3axy\) 同时给出极坐标或参数式，题目问封闭叶面积和无穷支渐近线
分步方法｜面积用极坐标并取 \(\theta\in[0,\frac\pi2]\)；渐近线用参数式，在分母 \(1+t^3\to0\) 即 \(t\to-1\) 处算 \(k=\lim y/x\)、\(b=\lim(y-kx)\)
典型例题/结论｜★P128（例10.6）封闭叶面积为 \(\boxed{\frac32a^2}\)；\(k=-1\)、\(b=-a\)，故渐近线为 \(\boxed{x+y+a=0}\)
易错/口诀｜⚠️ 面积看封闭支，渐近线看无穷支；两问使用的参数区间不是同一个

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簇S10C：综合表达式——先恢复函数，再检查定义域与反常性¶

含 n 的逐点极限怎样先恢复分段函数再算面积？¶

判断入口/条件｜曲线由 \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) 给出，极限会随 \(|x|<1\)、\(|x|=1\)、\(|x|>1\) 改变
分步方法｜分别计算三个区域的逐点极限，单独检查边界，再按得到的分段函数画图积分
典型例题/结论｜★P128–129（例10.7）\(\displaystyle y=\lim_{n\to\infty}\frac{1+x}{1+nx^{2n}}=\begin{cases}1+x,&|x|<1,\\0,&|x|\geqslant1,\end{cases}\)，所围面积为 \(\boxed{2}\)
易错/口诀｜⚠️ 不能把 \(|x|<1\) 的极限直接延拓到端点；逐点极限，边界单算

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已知一个不定积分等式时，怎样恢复 f 再算侧面积？¶

判断入口/条件｜题目在 \(4\leqslant x\leqslant9\) 上给 \(\int \Phi(f(x),x)\mathrm{d}x=F(x)+C\)，但几何量公式需要显式的 \(f(x)\) 与 \(f'(x)\)
分步方法｜先对等式两边求导还原被积函数，解出 \(f(x)\)；再求 \(f'(x)\) 并代入 \(2\pi\int|f|\sqrt{1+(f')^2}\mathrm{d}x\)
典型例题/结论｜★P129（例10.8，仅数一、数二）由 \(\int\frac{f(x)}{\sqrt x}\mathrm{d}x=\frac16x^2-x+C\) 得 \(f(x)=\frac13x\sqrt x-\sqrt x\)，侧面积为 \(\boxed{\frac{425\pi}{9}}\)
易错/口诀｜⚠️ 题目给的是原函数关系，不是让你再积分；先求导还原，再求导进侧面积

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无界旋转体含参数时，怎样同时处理反常积分与参数方程？¶

判断入口/条件｜区域延伸到 \(+\infty\)，曲线衰减速度由参数控制，体积给定反求参数
分步方法｜先写反常体积积分并确认 \(a>1\) 保证收敛；算出 \(V(a)\) 后再解参数方程，并检查是否有唯一解
典型例题/结论｜★P129（例10.9）\(y^2=xa^{-x/a}\) 时 \(\displaystyle V(a)=\pi\int_0^{+\infty}xa^{-x/a}\mathrm{d}x=\pi\left(\frac a{\ln a}\right)^2\)；由 \(V=\pi e^2\) 得 \(\boxed{a=e}\)
易错/口诀｜⚠️ \(\frac a{\ln a}=e\) 不能只凭眼熟取 \(a=e\)；还要用其在 \(a>1\) 上的最小值证明唯一性

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变限积分定义的曲线，弧长区间为什么要先看被积函数定义域？¶

判断入口/条件｜\(y(x)=\int_0^x\sqrt{\cos t}\mathrm{d}t\) 这类曲线的存在范围由整个积分路径决定
分步方法｜要求从 0 到 \(x\) 的区间上始终有 \(\cos t\geqslant0\)，确定曲线支为 \([-\frac\pi2,\frac\pi2]\)；再求 \(y'=\sqrt{\cos x}\) 代弧长公式
典型例题/结论｜★P129–130（例10.10，仅数一、数二）\(\displaystyle s=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1+\cos x}\mathrm{d}x=\boxed{4}\)
易错/口诀｜⚠️ 不能只检查端点处 \(\cos x\) 的符号；变限积分要检查整条积分路径

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隐式曲线算弧长时，何时应改用 y 作自变量？¶

判断入口/条件｜隐式方程容易解出 \(x=x(y)\)，而直接求 \(y'(x)\) 很繁或根式无法化简
分步方法｜解出 \(x(y)\)，计算 \(x_y'\)，再用 \(\displaystyle s=\int\sqrt{1+(x_y')^2}\mathrm{d}y\)；检查根式是否恰成完全平方
典型例题/结论｜★P130（例10.11）第一问：\(y=\ln\cos x\)，\(0\leqslant x\leqslant\frac\pi6\)，弧长为 \(\boxed{\frac12\ln3}\)。第二问：由 \(\ln y+2x-\frac12y^2=0\) 解出 \(x=\frac14y^2-\frac12\ln y\)，并由曲线段条件取 \(1\leqslant y\leqslant\mathrm e\)；此时 \(\sqrt{1+(x_y')^2}=\frac12(y+\frac1y)\)，故弧长为 \(\boxed{\frac14(\mathrm e^2+1)}\)
易错/口诀｜🧠 弧长不规定必须对 \(x\) 积；谁能让根号开方，就选谁做自变量

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旋转轴是 y=-1 时，怎样用坐标平移快速建体积？¶

判断入口/条件｜曲线方程天然含 \((y+1)^2\)，旋转轴恰是 \(y=-1\)
分步方法｜令 \(Y=y+1\)，把旋转轴平移为 \(Y=0\)；半径平方直接等于方程右侧，再套圆片公式
典型例题/结论｜★P130（例10.12）\((y+1)^2=(2-x)\ln x\) 在 \([1,2]\) 上绕 \(y=-1\)，\(\displaystyle V=\pi\int_1^2(2-x)\ln x\,\mathrm{d}x=\boxed{\left(2\ln2-\frac54\right)\pi}\)
易错/口诀｜🧠 半径是 \(|y+1|\)，不是 \(|y|\)；轴平移多少，纵坐标就平移多少

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指数衰减曲线形成无界旋转体时，怎样确认体积有限？¶

判断入口/条件｜曲线延伸到 \(+\infty\)，但 \(y^2\) 含指数衰减因子
分步方法｜先写 \(V=\pi\int_0^{+\infty}y^2\mathrm{d}x\)；把多项式乘指数化成标准反常积分，再分部或套 \(\int_0^\infty x\mathrm e^{-ax}\mathrm{d}x=\frac1{a^2}\)
典型例题/结论｜★P131（例10.13）\(y=\sqrt x\,\mathrm e^{-3x/2}\)，故 \(\displaystyle V=\pi\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-3x}\mathrm{d}x=\boxed{\frac\pi9}\)
易错/口诀｜⚠️ 区域无界不等于体积无穷；先看平方后的衰减速度，再判反常积分

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双曲余弦曲线的侧面积为什么会化成 y² 的积分？¶

判断入口/条件｜\(y=\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}2\)，取 \(t>0\)，其导数满足 \(1+(y')^2=y^2\)
分步方法｜侧面积用 \(2\pi\int y\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x\)；因 \(y>0\) 且根式等于 \(y\)，被积式化为 \(2\pi y^2\)
典型例题/结论｜★P131（例10.14，仅数一、数二）\(\displaystyle S(t)=2\pi\int_0^ty^2\mathrm{d}x=\boxed{\frac\pi4(\mathrm e^{2t}-\mathrm e^{-2t}+4t)}\)
易错/口诀｜⚠️ 这里出现 \(y^2\) 是完全平方带来的巧合，不代表侧面积公式变成了体积公式

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例10.15为什么要把旋转体拆成圆锥与曲线尾部？¶

判断入口/条件｜曲线为 \(y=\frac1{1+x^2}\)（\(x\geqslant0\)）；区域边界一段是线段 \(OM\)，另一段是曲线尾部，两段绕 \(x\) 轴生成不同类型的实体
分步方法｜先由 \(y''=0\) 找拐点 \(M=(\frac{\sqrt3}{3},\frac34)\)；线段部分用圆锥体积，曲线部分用 \(\pi\int y^2\mathrm{d}x\)
典型例题/结论｜★P131–132（例10.15）\(\displaystyle V=\frac\pi3(\frac34)^2\frac{\sqrt3}{3}+\pi\int_{\sqrt3/3}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)^2}=\boxed{\frac{\pi^2}{6}-\frac{\sqrt3\pi}{16}}\)
易错/口诀｜⚠️ 不能从 \(x=0\) 到无穷全用曲线作外轮廓；边界换了，体积也要分段

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强化第10讲 一元函数积分学的应用（一）——几何应用