跳转至

第6讲 微分学应用(二)——中值定理·微分等式·微分不等式

数学二范围 · 基础卡片 · 专题阅读 · 保留代码与校订注 · 与版本锁一致

第6讲 微分学应用(二)——中值定理·微分等式·微分不等式

簇6A：涉及函数的中值定理四件套

有界最值·介值·平均值·零点四个定理各说什么？

  • ★P171｜前提都是 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续。定理1（有界与最值）：\(m\leqslant f(x)\leqslant M\)；定理2（介值）：\(m\leqslant\mu\leqslant M\) 时存在 \(\xi\in[a,b]\) 使 \(f(\xi)=\mu\)
  • ★定理3（平均值定理，考过很多次）：\(a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b\) ⟹ 在 \([x_1,x_n]\) 内至少存在一点 \(\xi\) 使 \(f(\xi)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\)——证明：每个 \(f(x_i)\) 夹在 \(m,M\) 之间，取平均仍夹在 \(m,M\) 之间，再用介值定理
  • ★P172｜定理4（零点定理）：\(f(a)f(b)<0\) ⟹ 存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f(\xi)=0\)
  • ★推广的零点定理：\(f\) 在 \((a,b)\) 内连续，\(\lim\limits_{x\to a^+}f=\alpha\)、\(\lim\limits_{x\to b^-}f=\beta\) 且 \(\alpha\beta<0\) ⟹ \((a,b)\) 内有根——\(a,b,\alpha,\beta\) 都可以是无穷大（端点是无定义点也可直接用）
  • 🧠 四件套全部"只连续、不可导"，是证明题第(1)问的常客；平均值定理专治"\(f(x_1)+\cdots+f(x_n)\) 之和"型条件（见例6.4）
回源 · PDF 第 170 页 · b_170_7；PDF 第 172 页 · b_172_4

证 f(η)=η 或"方程有根"的标准开局是什么？

  • ★P172（例6.1）｜\(f(1)=0\)，\(f(\frac{1}{2})=1\)，证存在 \(\eta\in(\frac{1}{2},1)\) 使 \(f(\eta)=\eta\)：做一步逆运算——令 \(F(x)=f(x)-x\)，则 \(F(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}>0\)、\(F(1)=-1<0\)，零点定理收工
  • ★P172（例6.2）｜\(f(1)>0\)，\(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}<0\)，证 \(f=0\) 在 \((0,1)\) 有根：由极限保号性存在 \(a\in(0,1)\) 使 \(\frac{f(a)}{a}<0\) 即 \(f(a)<0\)；又 \(f(1)>0\)，零点定理
  • ⚠️ 极限必须存在，才可与 0 比大小；这一步"从极限条件挖出一个函数值符号"常作解答题第一问
  • 🧠 套路识别：结论形如 \(f(\eta)=g(\eta)\) ⟹ 移项造 \(F=f-g\) 找异号端点；端点值不明显时，从题给极限/积分条件用保号性、平均值定理挖
回源 · PDF 第 172 页 · b_172_10；PDF 第 172 页 · b_172_5

簇6B：费马定理与导数零点定理

费马定理的内容和证明骨架是什么？

  • ★P173｜费马定理：\(f\) 在 \(x_0\) 处①可导 ②取极值 ⟹ \(f'(x_0)=0\)
  • 证明（必背骨架）：设极大，则邻域内 \(f(x)-f(x_0)\leqslant 0\)；左侧 \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0\) ⟹ \(f_-'(x_0)\geqslant 0\)；右侧同理 \(f_+'(x_0)\leqslant 0\)；可导 ⟹ 两者相等 ⟹ \(f'(x_0)=0\)——工具就是导数定义+极限保号性
  • 💡 通俗版：一个人跑到最远处时，速度为零；跑得最快时，加速度为零
  • ★P173（例6.3 导数零点定理）｜\(f\) 在 \([a,b]\) 连续、在 \((a,b)\) 可导，且 \(f_+'(a)\cdot f_-'(b)<0\) ⟹ 存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\)。不妨设 \(f_+'(a)>0,f_-'(b)<0\)：由“脱帽”知 \(a\) 右侧近旁 \(f(x)>f(a)\)、\(b\) 左侧近旁 \(f(x)>f(b)\)，故最大值不在端点，只能在内部取得，再用费马定理；反号情形改取最小值同理
  • 🧠 这是"导函数版零点定理"——\(f'\) 未必连续，不能直接对 \(f'\) 用零点定理，绕道"最值+费马"；此题本身是考研真题级的证明模板
回源 · PDF 第 173 页 · b_173_14；PDF 第 173 页 · b_173_9

簇6C：罗尔定理与辅助函数构造总表

罗尔定理的三个条件和两个推广是什么？

  • ★P174｜罗尔：①\([a,b]\) 连续 ②\((a,b)\) 可导 ③\(f(a)=f(b)\) ⟹ 存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=0\)——三条件同时满足才可以
  • ★推广的罗尔定理（罗尔原话的地基）：\(f\) 在 \((a,b)\) 内可导，\(\lim\limits_{x\to a^+}f=\lim\limits_{x\to b^-}f=A\) ⟹ 存在 \(\xi\) 使 \(f'(\xi)=0\)——区间可以是无穷区间，\(A\) 可以是无穷大
  • ★P182（罗尔定理的推论/罗尔原话）：\(f\) 在 \(I\) 上 \(n\) 阶可导且 \(f^{(n)}(x)\neq 0\) ⟹ \(f(x)=0\) 至多 \(n\) 个根（反证：\(n+1\) 个根逐阶罗尔推出 \(f^{(n)}(\xi)=0\) 矛盾）；更一般：\(f^{(n)}=0\) 至多 \(k\) 个根 ⟹ \(f=0\) 至多 \(k+n\) 个根
  • 🧠 罗尔是"等值点 → 导数零点"的机器：一对等值点换一个 \(f'\) 零点，三个等值点连环两次换来 \(f''\) 零点——数等值点是使用罗尔的第一步
回源 · PDF 第 174 页 · b_174_1；PDF 第 174 页 · b_174_7；PDF 第 174 页 · b_174_8

辅助函数构造总表怎么背？（★注2 全书最值钱的一页）

  • ★P174–175｜乘积公式逆用：见 \(f\cdot f'\) ⟹ 令 \(F=f^2\)（因 \([f^2]'=2ff'\)）；见 \([f']^2+ff''\) ⟹ 令 \(F=f\cdot f'\)；见 \(f'+f\varphi'\) ⟹ 令 \(F=f\mathrm{e}^{\varphi(x)}\)（因 \([f\mathrm{e}^{\varphi}]'=[f'+f\varphi']\mathrm{e}^{\varphi}\)）
  • \(\varphi\) 三个常考特例：见 \(f'+f\) ⟹ \(F=f\mathrm{e}^x\)；见 \(f'-f\) ⟹ \(F=f\mathrm{e}^{-x}\)；见 \(f'+kf\) ⟹ \(F=f\mathrm{e}^{kx}\)
  • 商公式逆用：见 \(f'x-f\)（\(x\neq 0\)）⟹ \(F=\frac{f}{x}\)；见 \(f''f-[f']^2\) 且所在区间 \(f\neq 0\) ⟹ \(F=\frac{f'}{f}\)；若 \(f>0\)，亦可从 \(F=\ln f\) 出发（因 \([\ln f]''=\frac{f''f-[f']^2}{f^2}\)）
  • \((uv)''=u''v+2u'v'+uv''\) 也可能考到；这些构造不仅限于罗尔定理使用
  • 🧠 底层只有一句话：把结论整理成 \(F'(\xi)=0\) 的形状，反问"谁求导得到它"——乘 \(\mathrm{e}^{\varphi}\) 消一次项、乘 \(x^k\) 消 \(\frac{k}{x}\) 项；对照微分方程视角就是积分因子
  • 🧠 与 f(x)f'(x)>0 这类抽象不等式怎么翻译？ 同一张表——等式用罗尔、不等式用单调性，构造完全通用
回源 · PDF 第 175 页 · b_175_1

罗尔的三种典型开局：找等值点·配指数·三点连环

  • ★P175（例6.4）｜\(f(0)+f(1)+f(2)=3\)，\(f(3)=1\)：平均值定理得 \(f(c)=\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3}=1=f(3)\)（\(c\in[0,2]\)）⟹ \([c,3]\) 罗尔 ⟹ \(f'(\xi)=0\)——等值点靠介值/平均值定理制造
  • ★P175（例6.5）｜设 \(a>0\)，\(f\in C[a,b]\) 且在 \((a,b)\) 可导，并给定 \(f(a)=0\)。证 \(f(\xi)=\frac{b-\xi}{a}f'(\xi)\)：改写成 \(f'(\xi)-\frac{a}{b-\xi}f(\xi)=0\)，取 \(F(x)=f(x)(b-x)^a\)；由 \(F(a)=F(b)=0\) 用罗尔定理，展开 \(F'(\xi)=0\) 即得
  • ★P176（例6.6）｜割线与曲线交于三点 \(A(0,f(0))\)、\(C(c,f(c))\)、\(B(1,f(1))\)：令 \(F=f(x)-y_{\text{直线}}\) 有三个零点 ⟹ 两段罗尔得 \(F'(\xi_1)=F'(\xi_2)=0\) ⟹ 再罗尔得 \(F''(\xi)=f''(\xi)=0\)
  • 💡 证 \(f''(\xi)=0\) 的难点是找到函数值相等的三个不同点；直线方程 \(y_1=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}x+f(0)\) 与 \(f\) 相减后零点现成
  • ★P176（例6.7）｜设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上具有二阶导数，\(f(1)>0\)，\(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f}{x}<0\)，证 \(ff''+[f']^2=0\) 有两个不同实根：由 \(f\) 在 0 连续及上述有限极限得 \(f(0)=0\)；再由例6.2零点定理得 \(f(b)=0\)，罗尔得 \(f'(c)=0\) ⟹ \(F=ff'\) 有 \(F(0)=F(c)=F(b)=0\) ⟹ 两段罗尔 ⟹ \(F'=ff''+[f']^2\) 有两个零点
  • 🧠 连环模板："造零点 → 选辅助函数 → 数区间"；\(n\) 个零点支撑 \(n-1\) 次罗尔
回源 · PDF 第 176 页 · b_176_4；PDF 第 176 页 · b_176_9

簇6D：拉格朗日中值定理——用导数控制函数

拉格朗日定理什么时候想到用？

  • ★P177｜①\([a,b]\) 连续 ②\((a,b)\) 可导 ⟹ 存在 \(\xi\in(a,b)\)：\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)，或 \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
  • 触发词：见到 \(f(a)-f(b)\)（函数值之差）或 \(f\) 与 \(f'\) 的关系 ⟹ 一般想到拉格朗日；作用=用导函数的值控制函数值的增减
  • ★P177（例6.8）｜在有限区间 \((a,b)\) 上，\(f'\) 有界 ⟹ \(f\) 有界：任取定 \(x_0\in(a,b)\)，对介于 \(x,x_0\) 的闭区间用拉氏 \(f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\) ⟹ \(\lvert f(x)\rvert\leqslant\lvert f(x_0)\rvert+k(b-a)=M\)（用 \(\lvert A\rvert-\lvert B\rvert\leqslant\lvert A+B\rvert\leqslant\lvert A\rvert+\lvert B\rvert\)）；在无界区间上不能由“\(f'\) 有界”直推“\(f\) 有界”
  • ★P177（例6.9）｜\(f(0)=0\)，\(f\) 不恒为零，证存在 \(\xi\) 使 \(f(\xi)f'(\xi)>0\)：令 \(F=\frac{1}{2}f^2\)，取 \(a\) 使 \(f(a)\neq 0\) ⟹ \(F(a)>0=F(0)\)，拉氏 \(F'(\xi)=\frac{F(a)-F(0)}{a-0}>0\)
  • 🧠 例6.9 是"辅助函数表+拉氏"的合体：结论 \(ff'>0\) 查表得 \(F=f^2\)，但没有等值点用不了罗尔 ⟹ 改用拉氏要一个不等式——等式找罗尔、不等式找拉氏，一对搭档
回源 · PDF 第 177 页 · b_177_12；PDF 第 177 页 · b_177_23

例6.10 的双构造为什么值得背？

  • ★P177–178（例6.10 ★）｜\(f(0)=0\)，\(x>0\) 时 \(f<0\)、\(f'<0\)、\(f''>0\)，比较 \(0<a<x<b\) 时各选项：
  • 构造一 \(g(x)=xf(x)\)：\(g'=f+xf'<0\) ⟹ 单调减 ⟹ \(bf(b)<xf(x)<af(a)\)，排除 (A)(B)
  • 构造二 \(h(x)=\frac{f(x)}{x}\)：\(h'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\)——分子判不出符号时塞进拉格朗日：\(f(x)-f(0)=f'(\xi)x\) ⟹ 分子 \(=x[f'(x)-f'(\xi)]\)，由 \(f''>0\) 知 \(f'\) 增、\(\xi<x\) ⟹ 分子 \(>0\) ⟹ \(\frac{f}{x}\) 单调增 ⟹ \(\frac{f(x)}{x}<\frac{f(b)}{b}\) 即 \(xf(b)>bf(x)\)，选(D)
  • 💡 判断不出 \(f\) 与 \(xf'\) 的关系时，想到拉格朗日中值定理（蓝批注原话）
  • 🧠 \(\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) 本身就是"过原点割线斜率"：\(f''>0\) ⟹ 割线斜率随 \(x\) 增大而增大——图像一画，(C)(D) 立辨；代数证明用上面的拉氏套路
回源 · PDF 第 178 页 · b_178_2

簇6E：柯西中值定理

柯西定理和拉格朗日什么关系？怎么用？

  • ★P178｜\(f,g\)：①\([a,b]\) 连续 ②\((a,b)\) 可导 ③\(g'\neq 0\) ⟹ 存在 \(\xi\)：\(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)——同一个 \(\xi\)；\(g(x)=x\) 时退化为拉格朗日
  • 视角：把 \(x=g(t)\)、\(y=f(t)\) 看成参数方程，柯西就是参数曲线版的拉氏（"参数方程求导而来"）
  • 触发词：结论里出现两个函数的增量之比，或一具体一抽象两个函数搭配
  • ★P178（例6.11）｜证 \(f(b)-f(a)=\xi\ln\frac{b}{a}\cdot f'(\xi)\)：整理成 \(\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f'(\xi)}{1/\xi}\) ⟹ 取 \(g=\ln x\) 用柯西（\(0<a<b\) 保证 \(g'=\frac{1}{x}\neq 0\)）
  • ★P188（习题6.7）｜设 \(0<a<b\)，\(f\in C[a,b]\)、在 \((a,b)\) 可导，且 \(f(a)\neq f(b)\)。对 \(f\) 用拉氏得 \(f(b)-f(a)=f'(\eta)(b-a)\)；对 \(f\) 与 \(x^2\) 用柯西得 \(\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\frac{f'(\xi)}{2\xi}\)；联立两式消去非零增量，得 \(\frac{f'(\xi)}{2\xi}=\frac{f'(\eta)}{b+a}\)
  • 🧠 "双中值 \(\xi,\eta\)"题的固定拆法：同一个增量 \(f(b)-f(a)\) 分别用两条路（拉氏一次、柯西一次）表示再联立；另一种双中值（例6.6 型）靠一点分割区间
    回源 · PDF 第 178 页 · b_178_4；PDF 第 178 页 · b_178_5

簇6F：泰勒公式——两种余项各管一摊

拉格朗日余项和佩亚诺余项怎么分工？

  • ★P179｜带拉格朗日余项：设 \(x_0,x\) 位于同一闭区间，\(f\) 在该闭区间上有连续的 \(n\) 阶导数，并在两点之间的开区间内存在 \(n+1\) 阶导数，则 \(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，\(\xi\) 介于 \(x,x_0\) 之间——用于区间上的证明题（不等式、中值等式）
  • 带佩亚诺余项（\(n\) 阶可导即可）：余项换成 \(o((x-x_0)^n)\)——仅适用于点 \(x_0\) 及其邻域，用于研究局部：求极限、判无穷小阶数、判极值
  • \(x_0=0\) 称麦克劳林公式；重要展开 7 式（\(\mathrm{e}^x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\frac{1}{1-x}\)、\(\frac{1}{1+x}\)、\(\ln(1+x)\)、\((1+x)^{\alpha}\)）与第 1 讲泰勒 8 式一致，\((1+x)^{\alpha}\) 记住前三项即可
  • ★P181（注）｜使用要诀：展开点 \(x_0\) 取"已知导数值的点或待证导数值的点"；被展开点 \(x\) 取"已知函数值的点或特殊点（端点、中间点）"；同时想办法消去未知项，向结论靠拢
  • 🧠 大于等于 2 阶为高阶——高阶导数出现时：证 \(f^{(n)}(\xi)=0\) 用罗尔可能性大；证 \(f^{(n)}(\xi)\neq 0\) 或不等式用泰勒可能性大（★P176 注，判型口诀）
回源 · PDF 第 179 页 · b_179_15；PDF 第 181 页 · b_181_15

例6.12 和例6.13 的泰勒套路各是什么？

  • ★P180（例6.12 ★）｜\(\int_0^1f\mathrm{d}x=0\)，二阶可导：在 \(x=\frac{1}{2}\) 展开。对每个 \(x\neq\frac{1}{2}\)，拉格朗日余项 \(\frac{f''(\xi_x)}{2}(x-\frac{1}{2})^2\) 的符号由 \(f''(\xi_x)\) 决定；若 \(f''>0\)，则 \(f(x)>f(\frac{1}{2})+f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})\)。两边在 \([0,1]\) 积分，利用 \(\int_0^1(x-\frac{1}{2})\mathrm{d}x=0\)，得到 \(0=\int_0^1f(x)\mathrm{d}x>f(\frac{1}{2})\)，故 \(f(\frac{1}{2})<0\)，选(D)
  • ⚠️ 这里 \(\xi_x\) 随 \(x\) 变化，不能把 \(f''(\xi_x)\) 当常数提出积分号；直接用余项逐点保号再积分，推理最稳
  • ★P180–181（例6.13）｜设 \(f\) 在 \([-1,1]\) 上具有三阶连续导数，且 \(f(-1)=0\)，\(f(1)=1\)，\(f'(0)=0\)。在 \(x=0\) 展开到二阶并保留拉格朗日余项 \(\frac{f'''(\eta)}{6}x^3\)，分别代 \(x=1\)、\(x=-1\)，两式相减消掉 \(f(0)\)、\(f''(0)\) ⟹ \(f'''(\eta_1)+f'''(\eta_2)=6\)；再由 \(f'''\) 连续及介值性，得某个 \(\xi\) 满足 \(f'''(\xi)=3\)
  • 🧠 两大件套路化：①"积分条件+泰勒"=展开后逐项积分，奇次项自动清零；②"两端点代入相减/相加"=消未知项；收尾常靠"平均值定理/介值"把两个中值并成一个
  • 🧠 展开点怎么选：题给 \(f'(0)=0\) ⟹ 在 0 展开（未知项直接变 0）；求 \(f(\frac{1}{2})\) 的符号 ⟹ 在 \(\frac{1}{2}\) 展开——谁的信息多在谁家展开
回源 · PDF 第 180 页 · b_180_1；PDF 第 180 页 · b_180_9；PDF 第 180 页 · b_180_10；PDF 第 180 页 · b_180_15

簇6G：微分等式——方程根的存在性与个数

数根的四件工具是什么？

  • ★P182｜①零点定理（含推广版）：证存在性；②单调性：\((a,b)\) 内单调 ⟹ 至多一个根（证唯一性，区间可无穷）；③罗尔定理及推论：\(f^{(n)}\neq 0\) ⟹ \(f=0\) 至多 \(n\) 个根；④实系数奇次方程至少一个实根：\(x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n+1}=0\)——\(\lim\limits_{x\to+\infty}f=+\infty\)、\(\lim\limits_{x\to-\infty}f=-\infty\) +推广零点定理
  • ★P183（例6.15）｜\(3a^2-5b<0\) ⟹ \(x^5+2ax^3+3bx+4c=0\) 唯一实根：奇次⟹至少一个；\(f'=5x^4+6ax^2+3b\) 对 \(t=x^2\) 判别式 \(\Delta=12(3a^2-5b)<0\) ⟹ \(f'\neq 0\) ⟹ 罗尔推论至多一个，选(B)
  • ★P183（例6.16）｜\(2^x-x^2-1=0\) 恰三根：观察法得 \(x=0,1\)；\(f(2)=-1<0\)、\(f(5)=6>0\) 零点定理给第三根；\(f'''=2^x\ln^32\neq 0\) ⟹ 至多三个——"单调性不好判断就继续求导"
  • ★P182–183（例6.14）｜\(\lvert x\rvert^{\frac{1}{4}}+\lvert x\rvert^{\frac{1}{2}}-\cos x=0\)：偶函数只需研究一侧；\(x>1\) 时 \(f>0\) 无根；\((0,1)\) 内 \(f'>0\) 单调且两端异号 ⟹ 恰一根 ⟹ 对称共两根，选(C)
  • 🧠 数根标准流程：存在性（零点/奇次/观察）+唯一性（单调/高阶导不为零）；奇偶性、周期性先用来砍半
回源 · PDF 第 183 页 · b_183_11；PDF 第 183 页 · b_183_19

含参方程 eˣ=kx 怎么讨论？

  • ★P183–184（例6.17）｜\(\mathrm{e}^x=kx\) 恰一实根，求 \(k\) 范围：答案 \(k=\mathrm{e}\) 或 \(k<0\)
  • 方法一 直接法：\(F=\mathrm{e}^x-kx\) 分 \(k<0\)（单调+两端异号 ⟹ 恰一）、\(k=0\)（无根）、\(k>0\)（最小值 \(F(\ln k)=k-k\ln k\)，恰一根 ⟺ 最小值 \(=0\) ⟺ \(k=\mathrm{e}\)）
  • 方法二 分离参数法★：化为 \(\frac{\mathrm{e}^x}{x}=k\)，用例5.13 画好的 \(y=\frac{\mathrm{e}^x}{x}\) 图像（\(x<0\) 从 \(0^-\) 降到 \(-\infty\)；\(x>0\) 先降后升最低点 \((1,\mathrm{e})\)）⟹ 水平线 \(y=k\) 恰一个交点 ⟺ \(k<0\) 或 \(k=\mathrm{e}\)
  • 💡 "有且仅有一个实根"="两条曲线恰一个交点"——代数语言与几何语言互译
  • 🧠 含参数根的讨论，分离参数+一张图通常碾压分类讨论；作图基本功（第 5 讲）在这里变现
  • ★P184（例6.18）｜\(x^n+nx-1=0\) 唯一正根 \(x_n\)：\(f_n'=nx^{n-1}+n>0\)（\(x>0\)）单调增+\(f_n(0)=-1<0\)、\(f_n(1)=n\geqslant 1>0\)——函数列 \(\{f_n\}\) 每个 \(n\) 各给一根，得"解的数族"\(\{x_n\}\)（与第 2 讲数列极限联动的常见题源）
回源 · PDF 第 184 页 · b_184_4；PDF 第 184 页 · b_184_9

簇6H：微分不等式——三大证法

用函数性态证不等式的四条依据是什么？

  • ★P185｜(1) \(f'\geqslant 0\)（\(a<x<b\)）⟹ \(f(a)\leqslant f(x)\leqslant f(b)\)
  • ★(2) \(f''\geqslant 0\) ⟹ \(f'\) 单调增：配 \(f'(a)>0\) ⟹ 全程 \(f'>0\) ⟹ \(f\) 增；配 \(f'(b)<0\) ⟹ 全程 \(f'<0\) ⟹ \(f\) 减——二阶导通过一阶导传导到函数
  • ★(3) \(f\) 在 \(I\) 内连续且有唯一极值点 \(x_0\)：极大 ⟹ 即最大值点 \(f(x)\leqslant f(x_0)\)；极小 ⟹ 最小值点 \(f(x)\geqslant f(x_0)\)
  • ★(4) \(f''>0\)（\(a<x<b\)）且 \(f(a)=f(b)=0\) ⟹ \((a,b)\) 内 \(f(x)<0\)（凹弧两端钉在 \(x\) 轴上，弧身悬在轴下方）
  • ★P185–186（例6.19）｜证 \(\sin x>\frac{2x}{\pi}\)（\(0<x<\frac{\pi}{2}\)）两法：法一（主流）\(f=\frac{\sin x}{x}\) 单调减（分子 \(g=x\cos x-\sin x\)，\(g'=-x\sin x<0\) ⟹ \(g<g(0)=0\)——定不出正负就继续求导）⟹ \(f(x)>f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi}\)；法二 \(f=\sin x-\frac{2x}{\pi}\)，\(f''=-\sin x<0\) 凸+两端 \(f(0)=f(\frac{\pi}{2})=0\) ⟹ 依据(4)（凸版）\(f>0\)
  • ★P187（习题6.9 同款）｜\(\tan x<\frac{4x}{\pi}\)（\(0<x<\frac{\pi}{4}\)）：\(f=\tan x-\frac{4x}{\pi}\)，\(f''=2\sec^2x\tan x>0\) 凹+\(f(0)=f(\frac{\pi}{4})=0\) ⟹ \(f<0\)——(4) 的原装应用
  • 🧠 选路决策：不等式一边挪过来设 \(F\) → 求 \(F'\) 判号 → 判不出就 \(F''\) →两端等值+定号二阶导 ⟹ 直接走依据(4)；出现 \(\frac{\sin x}{x}\) 这类比值结构优先"整体设商函数"
回源 · PDF 第 185 页 · b_185_15；PDF 第 185 页 · b_185_8

常数变量化和中值定理法各长什么样？

  • ★P187（例6.21）｜证 \(\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}\)（\(0<a<b\)）
  • 右半（常数变量化）：把 \(b\) 换成变量 \(x\)，设 \(\varphi(x)=\ln x-\ln a-\frac{x-a}{\sqrt{ax}}\)，\(\varphi'=-\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})^2}{2x\sqrt{ax}}<0\) ⟹ \(\varphi(x)<\varphi(a)=0\)，再代 \(x=b\)——欲证的不等式两边都是常数时，把一个常数变量化再用导数工具
  • 左半（中值定理法）：\(\frac{\ln b-\ln a}{b-a}=\frac{1}{\xi}\)（拉氏，\(a<\xi<b\)）⟹ \(\frac{1}{\xi}>\frac{1}{b}>\frac{2a}{a^2+b^2}\)（末步用 \(a^2+b^2>2ab\)）
  • ★补充中值结论（蓝批注"记住!!!"）：\(\dfrac{1}{1+x}<\ln\bigl(1+\dfrac{1}{x}\bigr)<\dfrac{1}{x}\)（\(x>0\)）——对 \(\ln t\) 在 \((x,x+1)\) 用拉氏：\(\ln(1+x)-\ln x=\frac{1}{\xi}\)，\(\frac{1}{1+x}<\frac{1}{\xi}<\frac{1}{x}\)；等价形式 \(\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\)（\(x>0\)）
  • ★P186（例6.20）｜\(\bigl(\ln\frac{1+x}{x}-\frac{1}{1+x}\bigr)^2<\frac{1}{x(1+x)^2}\)：带绝对值无法求导 ⟹ 拆成"\(f>0\) 且 \(g<0\)"两个单边不等式分别证；过程中最小值套路 \(h=1+3x-2\sqrt{x}\) 唯一驻点 \(x=\frac{1}{9}\)，\(h_{\min}=\frac{2}{3}>0\)
  • 🧠 三法优先级：性态法（万能、量大）> 中值定理法（结论里有 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) 结构时秒杀）> 常数变量化（两边全是常数时的开关）；平方、绝对值先拆掉再动手
回源 · PDF 第 186 页 · b_186_8；PDF 第 187 页 · b_187_3

第6讲习题精华——五个必背构造

  • ★P188–191｜习题6.3：条件 \(a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0\) 证 \(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0\) 在 \((0,1)\) 有根——升阶构造 \(F(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)，\(F(0)=F(1)=0\) 罗尔（对导函数用零点定理行不通时，给它找原函数）
  • 习题6.4：(1) 见 \(f+\xi f'\) ⟹ \(\varphi=xf(x)\) 罗尔；(2) 见 \(\eta f(\eta)+f'(\eta)\) ⟹ \(F=\mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}f(x)\)（\(\varphi'=x\) ⟹ \(\varphi=\frac{x^2}{2}\)）罗尔
  • 习题6.5：见 \(3\xi^2f+\xi^3f'\) ⟹ 认出 \((x^3f)'\) ⟹ \(F=x^3f(x)\) 在 \([0,1]\) 拉格朗日：\(F(1)-F(0)=F'(\xi)\) 即 \(f(1)=3\xi^2f(\xi)+\xi^3f'(\xi)\)
  • 习题6.6 ★双中值经典：(1) \(F=f-1+x\) 零点定理得 \(f(\xi)=1-\xi\)；(2) 用 \(\xi\) 把 \([0,1]\) 切成 \([0,\xi]\)、\([\xi,1]\) 各用拉氏：\(f'(\eta)=\frac{1-\xi}{\xi}\)、\(f'(\tau)=\frac{\xi}{1-\xi}\) ⟹ 乘积恰为 1——"\(f'(\eta)f'(\tau)=\) 定值"型的标准解法
  • 习题6.8：\(\lvert f\rvert\leqslant a\)、\(\lvert f''\rvert\leqslant b\) 证 \(\lvert f'(x)\rvert\leqslant 2a+\frac{b}{2}\)：在任意点 \(c\) 一阶泰勒展开，代 \(x=0\) 和 \(x=1\) 相减解出 \(f'(c)\)，三角不等式+\((1-c)^2+c^2\leqslant 1\)——估计导数界的通用骨架
  • 习题6.10（杨氏不等式）：\(p,q>1\) 且 \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\) ⟹ \(\frac{x^p}{p}+\frac{1}{q}\geqslant x\)（\(x>0\)）：\(f=\frac{x^p}{p}+\frac{1}{q}-x\) 唯一驻点 \(x=1\) 且 \(f''(1)=p-1>0\) ⟹ 唯一极小=最小=0——依据(3) 的原装应用
  • 解题路线总图：等式（含 \(\xi\)）→ 数等值点选罗尔/拉氏/柯西+查辅助函数表；高阶 → \(=0\) 罗尔连环、\(\neq 0\) 泰勒；不等式 → 性态四依据 → 中值 → 常数变量化；方程根个数 → 存在（零点/奇次/观察）×唯一（单调/罗尔推论）
回源 · PDF 第 188 页 · b_188_13；PDF 第 189 页 · b_189_8；PDF 第 189 页 · b_189_11；PDF 第 190 页 · b_190_3；PDF 第 190 页 · b_190_15；PDF 第 191 页 · b_191_9