第4讲 一元函数微分学的计算

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第4讲 一元函数微分学的计算

簇4A：基本求导公式与四则——地基要倒背如流

基本求导公式里哪几条最容易忘？

• ★P126｜全表：\((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\)；\((a^x)'=a^x\ln a\)；\((\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x\)；\((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\)；\((\sin x)'=\cos x\)；\((\cos x)'=-\sin x\)；\((\tan x)'=\sec^2 x\)；\((\cot x)'=-\csc^2 x\)；\((\sec x)'=\sec x\tan x\)；\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)
• 反三角：\((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)；\((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)；\((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)；\((\mathrm{arccot}\,x)'=-\frac{1}{1+x^2}\)
• 易忘双星：\(\bigl[\ln(x+\sqrt{x^2+1})\bigr]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)；\(\bigl[\ln(x+\sqrt{x^2-1})\bigr]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)（实数范围 \(x>1\)）
• ★\((\ln\lvert x\rvert)'=\frac{1}{x}\)（\(x\neq 0\)）——求导时视绝对值符号而不见；同理 \([\ln\lvert u\rvert]'=\frac{u'}{u}\)
• 💡 蓝批注：熟稳于心，倒背如流——倒着背就是后面的积分公式！
• 🧠 记号习惯：\(a^x\) 的高阶导 \((a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n\)——每导一次多一个 \(\ln a\)，第 4 讲末例4.19 直接用

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四则求导公式怎么记？三因子乘积口诀是什么？

• ★P126–127｜\([u\pm v]'=u'\pm v'\)；\((uv)'=u'v+uv'\)（前导×后不动+前不动×后导）；\(\bigl[\frac{u}{v}\bigr]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)（\(v\neq 0\)）；微分版全部同构 \(\mathrm{d}(uv)=u\mathrm{d}v+v\mathrm{d}u\)
• 三因子：\([uvw]'=u'vw+uv'w+uvw'\)——口诀（书上批注）："3 个人排一排，第一个人一巴掌加中间人一巴掌再加最后一人一巴掌"
• ⚠️ 因式超过 3 个不要直接求导，另谋他法（见多因式相乘卡）
• ★P126（注）｜乘积公式的证明 2015 年考过：定义展开时"加一项减一项" \(u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)\)——特指点 \(f(x_0)\) 与泛指点 \(f(x)\) 的定义式都要会写
• 🧠 商公式懒人版（蓝批注思路）：\(\frac{u}{v}=u\cdot\frac{1}{v}\) 用乘积+链式推出 \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\)——考场忘商公式就现场造

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簇4B：复合函数与微分形式不变性

链式法则的记号陷阱在哪里？

• ★P128｜\(\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)\)——\(\{f[g]\}'\) 是整体对 \(x\) 求导；\(f'[g(x)]\) 是 \(f\) 对中间变量 \(u=g(x)\) 求导后代入——看清楚撇号的位置，不要弄错
• 链式规则图：\(f\to u\to x\)；再来一层 \(f\to u\to v\to x\)：\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\)（批注歌词："如果你愿意一层一层地剥开它的心…"；考试最多 3 层）
• 微分形式不变性：\(\mathrm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]\mathrm{d}[g(x)]\)——无论 \(u\) 是中间变量还是自变量，\(\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u\) 都成立（微分学最重要的计算方法之一，严守规则）
• ★P128–129（例4.2）｜\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})\)：\(y'=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\)，\(y'(0)=\frac{1}{\lvert a\rvert}\)（\(a\neq 0\)，别丢绝对值）
• ★P129（例4.4）｜\(y=\mathrm{e}^{\sin(\ln x)}\)：\(\mathrm{d}y=\mathrm{e}^{\sin(\ln x)}\cos(\ln x)\frac{1}{x}\mathrm{d}x\)——从外往里一层层 \(\mathrm{d}\) 下去，\(\mathrm{d}(\mathrm{e}^u)=\mathrm{e}^u\mathrm{d}u\)、\(\mathrm{d}(\sin v)=\cos v\,\mathrm{d}v\)
• 🧠 求 \(\mathrm{d}y\) 两条路等价：先 \(y'\) 再乘 \(\mathrm{d}x\)，或全程用不变性剥洋葱——后者在隐函数、参数方程里更顺手

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求"某一点的导数值"为什么不用先求表达式？

• ★P129–130（例4.3）｜\(f(x)=\ln\sqrt{x}\)（\(x\geqslant 1\)）/ \(2x-1\)（\(x<1\)），\(y=f[f(x)]\) 求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big|_{x=\mathrm{e}}\)：直接链式 \(f'[f(\mathrm{e})]\cdot f'(\mathrm{e})\)——\(f(\mathrm{e})=\frac{1}{2}\)，\(f'(\frac{1}{2})=2\)（下段），\(f'(\mathrm{e})=\frac{1}{2\mathrm{e}}\)（上段）⟹ 答案 \(\frac{1}{\mathrm{e}}\)
• 💡 方法总结：求的是某一点的导数值，不是导函数——无须先求出 \(f[f(x)]\) 的表达式（盲目合成表达式=自找麻烦）
• ⚠️ 先看清各层代入值落在哪一段：\(x=\mathrm{e}\) 不是分段点、\(f(\mathrm{e})=\frac{1}{2}<1\) 落在下段——分段函数复合时每层都要"对号入座"
• 🧠 通用心法：点值问题一律"外层导数（代内层值）×内层导数（代原点值）"，全程只算数字

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簇4C：多因式相乘求一点导——找"特立独行"的零因子

100 项相乘在 x=1 的导数怎么几秒算出？

• ★P127（例4.1）｜\(f(x)=\prod_{n=1}^{100}\bigl(\tan\frac{\pi x^n}{4}-n\bigr)\) 求 \(f'(1)\)：代 \(x=1\) 后只有第一项 \(\tan\frac{\pi}{4}-1=0\)，其余都非零——记 \(g(x)=\prod_{n=2}^{100}(\cdots)\)，则 \(f=\bigl(\tan\frac{\pi x}{4}-1\bigr)g(x)\) 是"经典形式"两项乘积
• \(f'(1)=\bigl(\sec^2\frac{\pi x}{4}\cdot\frac{\pi}{4}\bigr)\big|_{x=1}\cdot g(1)=\frac{\pi}{4}\cdot 2\cdot(1-2)(1-3)\cdots(1-100)=-\frac{\pi\cdot 99!}{2}\)
• 💡 方法总结：多因式相乘不要直接乘法公式，巧妙变化为"经典形式"\((uv)'\) 再算；同款第 3 讲例3.4（用定义或拆项）
• 公式：\((\tan x)'=\sec^2 x\)；\(\sec^2\frac{\pi}{4}=2\)
• 🧠 三种可用方法的分工：某点函数值为 0 ⟹ 定义法最快（\(f'(x_0)=\lim\frac{f(x)}{x-x_0}\)）；拆成 \((x-x_0\) 型因子\()\cdot g\) ⟹ 乘积公式只剩一项；都不是 ⟹ 对数求导

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簇4D：分段函数与绝对值函数的导数

分段函数求导的两条铁律是什么？

• ★P130｜①分段点用导数定义：\(f_+'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)、\(f_-'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)，比较是否相等；②非分段点用求导公式
• ★P130–131（例4.5）｜\(y=\ln\lvert x\rvert\)（\(x\neq 0\)）：拆成 \(\ln x\)（\(x>0\)）与 \(\ln(-x)\)（\(x<0\)）分别导，得统一的 \(y'=\frac{1}{x}\)——注：\(\ln\lvert x\rvert\) 求导时可视"绝对值符号"而不见
• ★P131–132（例4.6）｜\(y=\lvert x\mathrm{e}^{-x}\rvert\) 求 \(y''\)：\(\mathrm{e}^{-x}>0\) ⟹ 去绝对值只看 \(x\) 正负；\(y'=\mathrm{e}^{-x}(x-1)\)（\(x<0\)）/ \(\mathrm{e}^{-x}(1-x)\)（\(x>0\)）；分段点 \(y_-'(0)=-1\neq y_+'(0)=1\) ⟹ 0 处不可导；\(y''\) 只在非分段点求：\(\mathrm{e}^{-x}(2-x)\)（\(x<0\)）/ \(\mathrm{e}^{-x}(x-2)\)（\(x>0\)）
• 💡 求二阶导先分析一阶导的存在情况——一阶都不可导的点，二阶无从谈起
• 🧠 流程固定：去绝对值写分段 → 分段点定义、其余公式 → 高阶导只在开区间内公式续导

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簇4E：反函数的导数——一阶倒数、二阶有公式

反函数一阶、二阶导数公式各是什么？

• ★P132｜\(y=f(x)\) 单调可导且 \(f'\neq 0\) ⟹ 反函数 \(x=\varphi(y)\) 满足 \(\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}\)（\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\)）
• 推导示范：\((\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
• ★二阶（重要）：\(y''_{xx}\) 与 \(x''_{yy}\) 关系——\(x''_{yy}=-\dfrac{y''_{xx}}{(y'_x)^3}\)，反过来 \(y''_{xx}=-\dfrac{x''_{yy}}{(x'_y)^3}\)
• 推导思路（比背公式稳）：\(x'_y=\frac{1}{y'_x}\)，再 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl(\frac{1}{y'_x}\bigr)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\frac{1}{y'_x}\bigr)\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\frac{y''_{xx}}{(y'_x)^2}\cdot\frac{1}{y'_x}\)
• ★P133（例4.7）｜\(y=3x^2+\mathrm{e}^x\)（\(x>0\)），求 \(\varphi''(3+\mathrm{e})\)：注意 \(y=3+\mathrm{e}\) 对应 \(x=1\)；\(\varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}\big|_{x=1}=-\frac{6+\mathrm{e}}{(6+\mathrm{e})^3}=-\frac{1}{(6+\mathrm{e})^2}\)
• ⚠️ 代值代的是 \(x\) 不是 \(y\)——先由 \(y\) 值反解出 \(x\) 值再代入
• 🧠 二阶公式的负号与立方最易错：现场从 \(\frac{1}{y'_x}\) 推一遍只要三行，比赌记忆划算

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簇4F：隐函数求导——两边对 x 导，y 是中间变量

隐函数一阶、二阶导数的完整流程是什么？

• ★P133｜\(F(x,y)=0\)：①两边对 \(x\) 求导，把 \(y\) 看作中间变量（\(y^3\) 导成 \(3y^2y'\)，\(xy^2\) 导成 \(y^2+2xyy'\)）得关于 \(y'\) 的方程；②解出 \(y'\)
• ★P133–134（例4.8）｜\(y^3+xy^2+x^2y+6=0\)，\(y'(1)=0\)，求 \(y''(1)\)：一阶导 \(3y^2y'+y^2+2xyy'+2xy+x^2y'=0\)；代 \(x=1\)、\(y'=0\) 得 \(y^2(1)+2y(1)=0\) ⟹ \(y(1)=-2\)（\(y(1)=0\) 不满足原方程，舍去）
• 二阶：对一阶导式再导 \((3y^2+2xy+x^2)y''+2(3y+x)(y')^2+4(y+x)y'+2y=0\)，代 \(x=1\)、\(y=-2\)、\(y'=0\) ⟹ \(y''(1)=\frac{4}{9}\)
• 必背小公式：\((y^2)'=2yy'\)；\((xyy')'=yy'+x(y')^2+xyy''\)
• ⚠️ 两个易错：定 \(y(x_0)\) 要代回原方程验根；二阶导代值前别急着解出 \(y''\) 的通式（数字先行，字母越少越稳）
• 🧠 隐函数求导没有新公式，全部是"链式+乘积"的纪律性练习；出错都在漏 \(y'\) 或忘验根

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簇4G：参数方程求导——一阶是商，二阶要"再除一次"

参数方程一阶、二阶导数怎么求？公式要背吗？

• ★P134–135｜\(x=\varphi(t)\)，\(y=\psi(t)\)，且 \(\varphi'(t)\neq 0\)：一阶 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)（\(t\) 是中间变量，“把 \(t\) 拉进来”）
• 二阶（不要背结果，背过程）：在 \(\varphi,\psi\) 二阶可导且 \(\varphi'(t)\neq0\) 时，\(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}\bigl(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigr)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}\)——对“一阶导结果 \(w(t)\)”再对 \(t\) 导、再除以 \(x_t'\)；展开即 \(\frac{\psi''\varphi'-\psi'\varphi''}{[\varphi']^3}\)
• ★P135（例4.9）｜\(x=\sin t\)，\(y=t\sin t+\cos t\)：\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=t\cos t\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=t\)；\(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}t/\mathrm{d}t}{\cos t}=\frac{1}{\cos t}\)，在 \(t=\frac{\pi}{4}\) 为 \(\sqrt{2}\)
• ★P135–136（例4.10 综合型）｜\(x=\arctan t\) 配隐式 \(2y-ty^2+\mathrm{e}^t=5\)：第二式对 \(t\) 隐求导得 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{y^2-\mathrm{e}^t}{2(1-ty)}\)，除以 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{1+t^2}\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{(y^2-\mathrm{e}^t)(1+t^2)}{2(1-ty)}\)——批注：参数方程与其他知识综合考查，提升难度
• ★P142（习题4.4）｜\(x=\ln(1+t^2)+1\)，\(y=2\arctan t-(t+1)^2\)：老实走两遍除法得 \(-\frac{(1+2t)(1+t^2)}{2t}\)——先化简 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-(t^2+t+1)\) 再导，计算量小一半
• 🧠 二阶最常见的错：把 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\bigr)\) 当成答案忘了再除 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)——记"导一次除一次"，导几阶除几次

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簇4H：对数求导法与幂指函数

什么样的式子先取对数再求导？

• ★P136｜多项相乘、相除、开方、乘方的式子：①两边取对数 \(\ln y=\ln f(x)\) ②对 \(x\) 求导（\(y\) 是中间变量）\(\frac{y'}{y}=[\ln f(x)]'\) ⟹ \(y'=f(x)\cdot[\ln f(x)]'\)——乘除变加减，复杂变简单
• ★P136–137（例4.11）｜\(x\mathrm{e}^{f(y)}=\mathrm{e}^y\ln 2\)（\(f\) 二阶可导，\(f'\neq 1\)）求 \(y''\)：两端取对数 \(\ln x+f(y)=y+\ln(\ln 2)\)；对 \(x\) 导 \(\frac{1}{x}+f'(y)y'=y'\) ⟹ \(y'=\frac{1}{x[1-f'(y)]}\)；再导 \(-\frac{1}{x^2}+f''(y)(y')^2+f'(y)y''=y''\) ⟹ \(y''=-\frac{[1-f'(y)]^2-f''(y)}{x^2[1-f'(y)]^3}\)
• 幂指函数 \(u^v\) 两种处理：对数求导法，或先化 \(u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\) 再链式（公式不要记，直接求导）
• ★P137（例4.12/4.13）｜\((x^x)'=x^x(1+\ln x)\)；\(\bigl(x^{\frac{1}{x}}\bigr)'=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\ln x)\)（\(x>0\)）——配套小公式 \((x\ln x)'=\ln x+1\)、\(\bigl(\frac{\ln x}{x}\bigr)'=\frac{1-\ln x}{x^2}\)
• 🧠 见 \(\mathrm{e}^{f(y)}\)、\(u^v\)、连乘连除三层以上 ⟹ 条件反射取对数；取对数前确认两边为正（本题 \(\mathrm{e}^y\ln 2>0\) ⟹ \(x>0\)）

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簇4I：高阶导数三大方法——归纳·莱布尼茨·泰勒

必背的五个高阶导数公式是什么？

• ★P138｜\((\mathrm{e}^{ax+b})^{(n)}=a^n\mathrm{e}^{ax+b}\)
• \([\sin(ax+b)]^{(n)}=a^n\sin\bigl(ax+b+\frac{n\pi}{2}\bigr)\)；\([\cos(ax+b)]^{(n)}=a^n\cos\bigl(ax+b+\frac{n\pi}{2}\bigr)\)——每导一次超前 \(\frac{\pi}{2}\)、多一个 \(a\)（例4.14 归纳法推导 \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\)）
• \([\ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n\frac{(n-1)!}{(ax+b)^n}\)
• \(\bigl(\frac{1}{ax+b}\bigr)^{(n)}=(-1)^na^n\frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}\)（可理解为上一条再导一次）
• 记不住就会推：\(\bigl(\frac{1}{ax+b}\bigr)'=(-1)\frac{a}{(ax+b)^2}\)，逐次导观察 \((-1)(-2)\cdots(-n)\) 与 \(a\) 的个数
• ★P138–139（例4.15）｜\(y=\frac{1-x}{1+x}\)：恒等变形 \(y=-1+\frac{2}{1+x}\) 再套公式 ⟹ \(y^{(n)}(0)=(-1)^n2\cdot n!\)，选(A)——求高阶导的关键在于先把 \(y\) 变形成可套公式的形状
• ★P139（例4.16）｜抽象关系 \(f'=[f]^2\)：逐次导 \(f''=2ff'=2[f]^3\)、\(f'''=2\cdot 3[f]^4\) ⟹ \(f^{(n)}=n![f]^{n+1}\)（客观题探索规律即可，解答题补归纳证明）

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莱布尼茨公式什么时候香？

• ★P140｜\((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v''+\cdots+uv^{(n)}\)（共 \(n+1\) 项；系数即杨辉三角）
• 香的场景：一个因子是低次幂（\(x\)、\(x^2\)）——三阶导后全为 0，只剩 2~3 项：例4.17 \((x\mathrm{e}^x)^{(n)}=x\mathrm{e}^x+n\mathrm{e}^x=(n+x)\mathrm{e}^x\)
• 蓝批注技巧：\((\arcsin x)'\cdot\sqrt{1-x^2}=1\) ⟹ 对"乘积恒等于常数"两边用莱布尼茨 \((uv)^{(n-1)}=0\)，可解 \(\arcsin\) 的高阶导——当一个函数高阶导难求时，化成乘积再莱布尼茨
• ★P140–141（例4.19 方法二）｜\((x^2\cdot 2^x)^{(n)}\)：\(u=x^2\) 只剩 3 项 \(=x^2\cdot 2^x(\ln 2)^n+2nx\cdot 2^x(\ln 2)^{n-1}+n(n-1)2^x(\ln 2)^{n-2}\)，代 \(x=0\) 得 \(n(n-1)(\ln 2)^{n-2}\)
• 🧠 归纳法管"单函数找规律"，莱布尼茨管"两函数相乘"，泰勒管"在 \(x=0\)（或 \(x_0\)）一点的值"——先判断题目要的是通式还是一点的值

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泰勒展开式求 f⁽ⁿ⁾(0) 的对系数套路是什么？

• ★P140–141｜原理：若 \(f\) 在 0 点解析（或已证泰勒余项趋于 0），则 \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)；再与已知具体展开式比较 \(x^n\) 系数，得 \(f^{(n)}(0)=n!\cdot[x^n\) 的系数\(]\)
• ⚠️ 一般的“无穷阶可导”并不足以推出函数等于其泰勒级数；本节级数只作高阶导数计算工具，不当作数学二无穷级数的独立考点
• 必熟记级数版（★P141）：\(\mathrm{e}^x=\sum\frac{x^n}{n!}\)（全轴）；\(\frac{1}{1+x}=\sum(-1)^nx^n\)、\(\frac{1}{1-x}=\sum x^n\)（\(\lvert x\rvert<1\)）；\(\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\)（\(-1<x\leqslant 1\)）；\(\sin x=\sum(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)；\(\cos x=\sum(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\)（全轴）
• ★P141–142（例4.18）｜\(f=x^2\ln(1-x)\)：\(f=x^2\cdot\bigl(-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m}\bigr)=-\sum\frac{x^{m+2}}{m}\)，令 \(m+2=n\) 比较系数 \(\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=-\frac{1}{n-2}\) ⟹ \(f^{(n)}(0)=-\frac{n!}{n-2}\)（\(n\geqslant 3\)），选(A)
• ★P142（例4.19 方法一）｜\(x^2\cdot 2^x=x^2\mathrm{e}^{x\ln 2}=\sum\frac{(\ln 2)^n}{n!}x^{n+2}\) 比较系数 ⟹ \(f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2)^{n-2}\)
• 💡 方法总结：\(g(x)=x^kf(x)\) 型求 \(g^{(n)}(0)\)，泰勒对系数几乎总是最快；\(2^x\) 没现成展开就先写成 \(\mathrm{e}^{x\ln 2}\)
• 🧠 三步口诀：具体展开、抄下系数、乘 \(n!\)；平移版同理（在 \(x_0\) 处用 \((x-x_0)\) 的幂展开）

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第4讲习题精华与解题路线

• ★P141–144｜习题4.1：\(h=\mathrm{e}^{1+g(x)}\)，\(h'(1)=1\)，\(g'(1)=2\) ⟹ \(h'=\mathrm{e}^{1+g}g'\) 反解 \(\mathrm{e}^{1+g(1)}=\frac{1}{2}\) ⟹ \(g(1)=\ln\frac{1}{2}-1=-\ln 2-1\)，选(C)——抽象复合方程反解函数值
• 习题4.2：\(f(x)=\lim\limits_{t\to 0}x(1-2t)^{-\frac{x}{t}}\)——先算极限（\(1^{\infty}\) 得 \(x\mathrm{e}^{2x}\)）再求导：\(f'=(1+2x)\mathrm{e}^{2x}\)；顺序不能反
• 习题4.3：\(f'=A\mathrm{e}^x\) ⟹ 反函数二阶导 \(\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2}=-\frac{f''}{(f')^3}=-\frac{1}{A^2\mathrm{e}^{2x}}\)
• 习题4.5：\(f'=\mathrm{e}^{f}\)，\(f(2)=1\)：逐次导 \(f''=\mathrm{e}^{2f}\)、\(f'''=2!\mathrm{e}^{3f}\) ⟹ \(f^{(n)}=(n-1)!\mathrm{e}^{nf}\) ⟹ \(f^{(n)}(2)=(n-1)!\mathrm{e}^n\)
• 习题4.6：\(\sin(xy)=\ln\frac{x+\mathrm{e}}{y}+1\)——先代 \(x=0\) 定 \(y(0)=\mathrm{e}^2\)，再隐求导代值得 \(y'(0)=\mathrm{e}-\mathrm{e}^4\)（拆 \(\ln\) 后再导更省）
• 习题4.7 ★证明“导函数在 0 连续”的模板：分段定义 \(f(x)=\frac{g(x)}{x}\)（\(x\neq0\)），\(f(0)=0\)，其中 \(g(0)=g'(0)=0\)、\(g''(0)\) 存在——①定义求 \(f'(0)=\lim\frac{g(x)}{x^2}=\frac{1}{2}g''(0)\) ②公式求 \(f'(x)=\frac{xg'-g}{x^2}\)（\(x\neq 0\)）③验证 \(\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=g''(0)-\frac{1}{2}g''(0)=f'(0)\) ✓——三步缺一不可
• 解题路线：拿到求导题先问五个是谁——复合？分段/绝对值？隐？参数？幂指多项乘除？——每类各有固定开局；高阶导数再问：要通式（归纳/莱布尼茨）还是要 \(f^{(n)}(0)\)（泰勒对系数）

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