第5讲微分学应用(一)——几何应用

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第5讲微分学应用(一)——几何应用¶

簇5A：极值的定义与必要条件¶

极值定义里最容易忽略的四个细节是什么？¶

★P146｜定义：存在 \(x_0\) 的某邻域，邻域内任意 \(x\) 均有 \(f(x)\leqslant f(x_0)\)（或 \(\geqslant\)）⟹ \(x_0\) 为极大（小）值点
①局部概念（双侧邻域）②左右邻域均要有定义——端点处不讨论极值（间断点若两侧有定义可以讨论）③常数函数处处是极值（处处极大也处处极小）④"理想"极值点=左减右增/左增右减且可导——考题爱在非理想情形挖坑
⚠️ 教材口径采用双侧邻域，所以定义域端点不称极值点；有些数学教材按定义域的相对邻域定义“局部极值”，端点也可能算。考研按本书/题干口径作答，看到端点先区分“最值”与“极值”
★P147（注2）｜间断点可以是极值点，四个标准例：可去间断 \(f(0)=1\)、\(f=\lvert x\rvert\)（\(x\neq 0\)）⟹ 0 是极大值点；跳跃间断（\(1\) 与 \(-x\) 拼接）⟹ 极小值点；无穷间断 \(f(0)=-1\)、\(\frac{1}{x^2}\) ⟹ 极小值点；振荡间断 \(f(0)=2\)、\(\sin\frac{1}{x}\) ⟹ 极大值点
🧠 判"是否极值点"回定义本身：拿该点函数值与左右邻域函数值比大小，连续性可导性都不是前提——例5.6 的 \(y(0)=0<\) 邻域值直接判极小

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费马定理说了什么？找极值只查哪两类点？¶

★P148｜费马定理：\(f\) 在 \(x_0\) 可导且取极值 ⟹ \(f'(x_0)=0\)（必要条件；证明不要求）
极值点只有两种候选：①驻点（\(f'=0\)，如 \(x^2\) 在 0）②不可导点（如 \(\lvert x\rvert\) 在 0）
⚠️ \(f'(x_0)=0\) 仅必要：\(y=x^3\) 在 0 驻点但单调，不是极值——\(f'(x_0)=0\) 只说明 \(f(x)-f(x_0)\) 是 \(x-x_0\) 的高阶无穷小，不代表"没变化"
★P147–148｜单调性判别（重要表述）：若 \(f\in C[a,b]\)，在 \((a,b)\) 内可导，\(f'\geqslant 0\) 且等号仅在有限个点成立，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上严格单调增——\(y=x^3\) 的判别就是这个思路
💡 导数大于 0 一定严格增；严格增不一定导数大于 0（个别点可以为 0）

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簇5B：极值三个充分条件——从查表到证明¶

极值的三个充分条件分别什么时候用？¶

★P148（第一）｜\(x_0\) 连续、去心邻域可导：左 \(f'<0\) 右 \(f'>0\) ⟹ 极小；左正右负 ⟹ 极大；不变号 ⟹ 非极值——该点可以不可导（角点也适用），最通用
★P148–149（第二）｜\(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0)\neq 0\)：\(f''<0\) 极大、\(f''>0\) 极小——点信息够强时用；证明=二阶导定义+保号性（见极值第二充分条件为什么成立？（例3.9 必背证明））
★P149（第三）｜\(f^{(m)}(x_0)=0\)（\(m=1,\cdots,n-1\)），\(f^{(n)}(x_0)\neq 0\) 且 \(n\) 偶：\(f^{(n)}<0\) 极大、\(>0\) 极小（洛必达或泰勒可证，大纲不要求但可直接用）
★P150–151（例5.2）｜二阶可导+极大 ⟹ 必要的只有 \(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0)\leqslant 0\)，选(B)——反例 \(-x^4\)：极大但 \(f''(0)=0\)；\(f''(x_0)<0\) 是充分不必要
🧠 三条件是"梯度加强"：一充看邻域趋势（最稳），二充看一点二阶（最快），三充是二充的连环版（前面全 0 看第一个非 0 阶：偶阶=极值、奇阶=非极值单调穿过）

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f(x)f'(x)>0 这类抽象不等式怎么翻译？¶

★P149–150（例5.1）｜\(f\cdot f'>0\) ⟺ \(\bigl[\frac{1}{2}f^2(x)\bigr]'>0\) ⟹ \(f^2\) 严格单调增 ⟹ \(f^2(1)>f^2(-1)\) ⟹ \(\lvert f(1)\rvert>\lvert f(-1)\rvert\)，选(C)
⚠️ 开方时 \(\sqrt{u^2}=\lvert u\rvert\) 而非 \(u\)——(A)(B) 都想骗你直接去平方号
举例（\(f=\pm\mathrm{e}^x\) 验证）只能排除选项，不能证明选项
💡 分析（原话）：见到 \(f\cdot f'\)，联想 \(\{[f(x)]^2\}'=2f(x)f'(x)\)
🧠 常用翻译表：\(f\cdot f'\) → \((f^2)'\)；\(f'+f\) → \((\mathrm{e}^xf)'\) 差个因子；\(f'-f\) → \((\mathrm{e}^{-x}f)'\)；\(xf'+f\) → \((xf)'\)——"看见组合求导逆向找原函数"是第 6 讲辅助函数的预演

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隐函数的极值怎么求？（例5.3 完整流程）¶

★P151（例5.3）｜\(y^3+xy^2+x^2y+6=0\)：①隐求导 \(3y^2y'+y^2+2xyy'+2xy+x^2y'=0\)（*）②令 \(y'=0\) ⟹ \(y^2+2xy=0\) ⟹ \(y=-2x\)（\(y=0\) 不满足原方程舍去）③代回原方程 \(-6x^3+6=0\) ⟹ \(x=1\)，\(y(1)=-2\) ④（*）再求导代 \(x=1,y=-2,y'=0\) ⟹ \(y''(1)=\frac{4}{9}>0\) ⟹ 极小值 \(y(1)=-2\)
流程四步：隐导 → 令 \(y'=0\) 联立原方程定点 → 二阶导代值 → 二充分条件判型
★P169（习题5.9 同款）｜\(2y^3-2y^2+2xy-x^2=1\)：\(y'=0\) ⟹ \(y=x\) 代回 \(2x^3-x^2-1=0\) ⟹ 唯一驻点 \(x=1\)，\(y''(1)=\frac{1}{2}>0\) 极小值点
🧠 隐函数题"联立"是灵魂：驻点条件给一条方程、原方程给另一条，两条一起才定得出 \((x_0,y_0)\)；别忘验根

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求 f⁽ⁿ⁾(x) 的极值是什么套路？¶

★P151–152（例5.4）｜\(f=x\mathrm{e}^x\) 求 \(f^{(n)}(x)\) 的极值：先由例4.17 得 \(f^{(n)}(x)=(n+x)\mathrm{e}^x\)；令 \(f^{(n+1)}(x)=(n+1+x)\mathrm{e}^x=0\) 得驻点 \(x=-(n+1)\)；验 \(f^{(n+2)}[-(n+1)]=\mathrm{e}^{-n-1}>0\) ⟹ 极小值点
极小值=代入 \(f^{(n)}\)：\(f^{(n)}[-(n+1)]=-\mathrm{e}^{-(n+1)}\)
⚠️ 求极小值时驻点代入的是 \(f^{(n)}(x)\)（当作目标函数 \(F\)）而非 \(f(x)\)——方法总结原话
🧠 把 \(f^{(n)}\) 记成新函数 \(F\)，一切回到常规极值题：\(F'=f^{(n+1)}\)、\(F''=f^{(n+2)}\)，脑内换元防串行

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簇5C：凹凸性与拐点¶

凹凸的两个定义各说什么？大纲用哪个？¶

★P153｜定义1（大纲规定，中点弦）：任意 \(x_1\neq x_2\)，\(f\bigl(\frac{x_1+x_2}{2}\bigr)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\) ⟹ 图形是凹的（弧在弦下方）；反向为凸——注：可广义化为 \(f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)<\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)\)（\(\lambda_i>0\)，\(\lambda_1+\lambda_2=1\)）
★P154｜定义2（切线版）：\((a,b)\) 内任意 \(x\neq x_0\)，\(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)<f(x)\) ⟹ 凹（曲线在任一切线上方）；\(>\) ⟹ 凸
判别：\(I\) 上 \(f''>0\) ⟹ 凹；\(f''<0\) ⟹ 凸
⚠️ “凹/凸”的中文命名在不同教材中可能互换；本书规定 \(f''>0\) 为“凹（弧在弦下、切线在曲线下）”。做题优先认不等式与 \(f''\) 符号，不只背名称
🧠 两定义即两幅图：凹="弦兜着弧"（连线在上）、"切线垫着弧"（切线在下）；第 6 讲用泰勒证不等式时，定义2 就是"泰勒展开保留到一阶+余项定号"

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拐点的定义有哪三个坑？判别条件长什么样？¶

★P154｜拐点=连续曲线凹弧与凸弧的分界点；三注意：①间断点不可能是拐点（拐点处必须连续）②竖直切线形（如 \(\sqrt[3]{x}\)）也可以是拐点 ③极值点写 \(x=x_0\)，拐点必须写坐标 \((x_0,f(x_0))\)（拐点在曲线上）
★P155｜必要条件：\(f''(x_0)\) 存在且 \((x_0,f(x_0))\) 是拐点 ⟹ \(f''(x_0)=0\)；拐点候选两类：\(f''=0\) 的点（\(x^3\)）、\(f''\) 不存在的点（\(\sqrt[3]{x}\)）
第一充分（最常用）：\(x_0\) 连续、去心邻域二阶导存在、左右 \(f''\) 变号 ⟹ 拐点——不要求该点一阶导存在（\(\sqrt[3]{x}\) 在 0：\(y''=-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}\) 左正右负 ⟹ 拐点，虽然导数 \(\infty\)）
第二充分：\(f''(x_0)=0\)，\(f'''(x_0)\neq 0\) ⟹ 拐点；第三充分：\(f^{(m)}(x_0)=0\)（\(m=2,\cdots,n-1\)），\(f^{(n)}(x_0)\neq 0\) 且 \(n\) 奇（\(n\geqslant 3\)）⟹ 拐点——都不需要 \(f'(x_0)=0\)
🧠 与极值判别平行记忆：极值看 \(f'\) 变号/首个非零导数偶阶；拐点看 \(f''\) 变号/首个非零导数（从二阶数起）奇阶——一张表管两件事

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关系式给出的函数怎么判极值和拐点？（例5.5）¶

★P152–153（例5.5）｜\(f''(x)+[f'(x)]^2=\sin x\) 且 \(f'(0)=0\)：①代 \(x=0\) ⟹ \(f''(0)=0\)（极值二充失效）②等式两边求导 \(f'''+2f'f''=\cos x\) ⟹ 代 0 得 \(f'''(0)=1\neq 0\) ⟹ 拐点第二充分条件 ⟹ \((0,f(0))\) 是拐点，选(C)
💡 注：等式一侧可导则另一侧必可导——\(f''=-[f']^2+\sin x\) 右边可导，所以 \(f''\) 可导，才能对等式求导
💡 方法总结：无须解出 \(f(x)\)，只要在 \(x=0\) 处取得有效信息即可
🧠 "关系式+点条件"题的节奏：代点 → 求导 → 再代点，循环两轮基本出答案；每轮先想"哪个判别条件缺哪个数据"

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簇5D：极值点与拐点的重要结论——秒杀选择题¶

哪三条结论可以直接使用不必证明？¶

★P157｜①曲线的可导点不可能同时为极值点和拐点；不可导点可以同时是（图示：尖峰处既是极大值点又是凹凸分界）
②对多项式函数 \(f(x)=(x-a)^ng(x)\)（\(n>1\)，\(g(a)\neq 0\)）：\(n\) 偶 ⟹ \(x=a\) 是极值点；\(n\) 奇 ⟹ \((a,0)\) 是拐点
③多重根计数公式：\(f=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\)（\(a_i\) 两两不等），记 \(k_1\)=单根个数、\(k_2\)=偶重根个数、\(k_3\)=奇重根（\(>1\)）个数 ⟹ 极值点个数 \(=k_1+2k_2+k_3-1\)，拐点个数 \(=k_1+2k_2+3k_3-2\)
示例：\((x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4(x-5)\)：\(k_1=2\)，\(k_2=2\)，\(k_3=1\) ⟹ 极值点 \(2+4+1-1=6\)、拐点 \(2+4+3-2=7\)
★P158–159（例5.7/5.8）｜\((x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4\) 的拐点：对 \(x=3\) 用②（\(n=3\) 奇）⟹ \((3,0)\)；\((x-1)^2(x-3)^3\)：\(k_1=0,k_2=1,k_3=1\) ⟹ 拐点 \(0+2+3-2=3\) 个；\((x-1)^2(x-3)^2\)：极值 \(0+4+0-1=3\)、拐点 \(0+4+0-2=2\)
🧠 公式的来路（能自己复现就不怕忘）：\(m\) 重根是 \(f'=0\) 的 \(m-1\) 重根；相邻两根之间罗尔定理再送一个 \(f'\) 零点——数零点变号数就是计数公式
⚠️ 结论③要求全是实根因式的多项式；带 \(g(x)\neq 0\) 因子的用②逐点判

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绝对值函数的极值与拐点怎么判？（例5.6）¶

★P157–158（例5.6）｜\(y=\lvert x\mathrm{e}^{-x}\rvert\)：\(y(0)=0\)，\(x\neq 0\) 时 \(y>0\) ⟹ 由定义直接得 \(x=0\) 是极小值点；\(y''=\mathrm{e}^{-x}(2-x)\)（\(x<0\)）/ \(\mathrm{e}^{-x}(x-2)\)（\(x>0\)）在 0 左右变号 ⟹ \((0,0)\) 也是拐点，选(D)
这正是结论①的后半句：不可导点（例4.6 已证 0 处不可导）可以同时是极值点和拐点
💡 注：\((2,y(2))\) 其实也是拐点，只是选项没问
💡 方法总结：绝对值函数属于分段函数，应写成分段形式再分析
🧠 快速三连：写分段 → 特判分段点（定义比大小+二阶导变号）→ 光滑区内常规判

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簇5E：渐近线——三种、有顺序、有流程¶

三种渐近线的定义和寻找顺序是什么？¶

★P159–160｜铅直：\(\lim\limits_{x\to x_0^+}f=\infty\) 或 \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f=\infty\) ⟹ \(x=x_0\)；候选点=无定义点（\(\tan x\) 在 \(\frac{\pi}{2}\)）、定义区间端点（\(\ln x\) 在 \(0^+\)）、分段点
水平：\(\lim\limits_{x\to+\infty}f=y_1\)、\(\lim\limits_{x\to-\infty}f=y_2\)——两侧可以不同（\(\arctan x\) 两条）也可相同（\(\mathrm{e}^{-\lvert x\rvert}\) 一条），分开算
斜：\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\neq 0\) 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-ax]=b\) ⟹ \(y=ax+b\)（\(x\to-\infty\) 同构，两侧可不同）
★顺序（注3）：先铅直、再水平、后斜；同一侧水平与斜互斥——\(\lim f\) 是常数就有水平、该方向不再找斜；是 \(\infty\) 才查 \(\frac{f}{x}\)
⚠️（注4）\(a,b\) 都存在才有斜渐近线：\(y=x+\sin x\) 有 \(a=1\) 但 \(b=\lim\sin x\) 不存在 ⟹ 无斜渐近线；曲线与渐近线可以相交（\(\frac{\sin x}{x}\) 穿越 \(y=0\) 无穷次）
🧠 一句话流程：数无定义点拿铅直 → 两侧 \(x\to\pm\infty\) 各问一次"\(f\) 收敛吗？"收敛=水平，发散再问"\(\frac{f}{x}\) 收敛到非零吗？\(f-ax\) 收敛吗？"都是=斜

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例5.9 与习题里的渐近线陷阱有哪些？¶

★P161–162（例5.9）｜\(y=\frac{1}{x}+\ln(1+\mathrm{e}^x)\)：\(x=0\) 铅直（\(\lim\limits_{x\to 0}=\infty\)）；\(x\to-\infty\)：\(y\to 0\) ⟹ 水平 \(y=0\)；\(x\to+\infty\)：\(a=1\)，\(b=\lim[\frac{1}{x}+\ln(1+\mathrm{e}^x)-x]=0\) ⟹ 斜 \(y=x\)——共 3 条
关键恒等变形：\(\ln(1+\mathrm{e}^x)-x=\ln\frac{1+\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}=\ln(1+\mathrm{e}^{-x})\to 0\)
★P167（习题5.3）⚠️ 约分陷阱：\(y=\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}\)——\(x=-1\) 是可去间断不是铅直渐近线！只有 \(x=1\) 铅直+\(y=1\) 水平，共 2 条
★P169（习题5.7）｜\(y=(2x-1)\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\)：\(a=\lim\frac{y}{x}=2\)，\(b=\lim[2x(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1)-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}]=2-1=1\) ⟹ \(y=2x+1\)（\(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1\sim\frac{1}{x}\)）
💡 渐近线的求解本质是对极限计算能力的考查（书注原话）
🧠 铅直渐近线备选点先约分再判；斜渐近线 \(b\) 的计算十有八九用"提出 \(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1\) 型等价"或"\(\ln\) 拆项"

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簇5F：最值——和极值划清界限¶

极值和最值到底什么关系？¶

★P162–163｜最值是整体概念（定义域内比遍），极值是局部概念；两不等例：\(\mathrm{e}^x\) 在 \([0,+\infty)\) 有最小值 \(f(0)=1\) 却无极值（端点没有双侧邻域）；\(3x-x^3\) 有极大 \(f(1)=2\) 极小 \(f(-1)=-2\) 却在全轴无最值
★核心结论：最值点若不是端点而是内部点 ⟹ 必是极值点（反之不然）
★P160–161（习题5.2）｜可导+端点取最值的必要条件：\(x=a\) 取最小 ⟹ \(f_+'(a)\geqslant 0\)；\(x=b\) 取最大 ⟹ \(f_-'(b)\geqslant 0\)，选(D)——用导数定义+保号性写两行即得
💡 注：命题人爱"升阶"命制：给 \(F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\) 问 \(F''\) 端点符号——同一结论套一层积分皮
🧠 排查最值来源只有三处：驻点、不可导点、端点（或端点极限）——内部的最值点必是前两类（因为必是极值点）

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闭区间和开区间求最值的流程各是什么？¶

★P163｜\([a,b]\) 连续函数三步：①求 \((a,b)\) 内可疑点（驻点+不可导点）及其函数值 ②算端点值 \(f(a)\)、\(f(b)\) ③全部比较，最大=M 最小=m（此类题也可命制成"求值域 \([m,M]\)"）
\((a,b)\) 开区间：①可疑点函数值 ②两端单侧极限 \(A=\lim\limits_{x\to a^+}f\)、\(B=\lim\limits_{x\to b^-}f\)（含 \(\pm\infty\) 时同理）③比较——极限比过去大只能叫取值范围（取不到就没有最值）
半开半闭：开区间结果基础上补上闭端点的 \(f\) 值
★P163–164（例5.10）｜数列 \(\{\sqrt[n]{n}\}\) 最大项：连续化 \(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)，\(f'=x^{\frac{1}{x}}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}\)，唯一驻点 \(x=\mathrm{e}\)，\((0,\mathrm{e})\) 增 \((\mathrm{e},+\infty)\) 减；\(n\) 取不到 \(\mathrm{e}\) ⟹ 比较 \(n=2,3\)：\(\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}\)（六次方比较 \(8<9\)）⟹ 最大项 \(\sqrt[3]{3}\)
💡 注2：实际问题中，若已知目标函数在可行域上存在最大值或最小值，且只有一个极值点，该点才是所求最值点——建目标函数→定定义域→确认最值存在→找唯一极值点
🧠 数列最值=连续化+整数点回代；驻点非整数时取两侧相邻整数比大小，别直接取整了事

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簇5G：函数作图与曲率¶

描绘函数图像的四步是什么？作图题里藏着哪些考点？¶

★P164｜①定义域、奇偶性、周期性、图像变换 ②导数工具：\(f'\) 定单调区间与极值点，\(f''\) 定凹凸区间与拐点 ③渐近线 ④列表作图——基本功，通常不直接考作图但必须会分析函数性态
★P164–165（例5.11）｜\(y^2=(1-x^2)^3\)：先用对称性（代 \((-x,y)\)、\((x,-y)\) 知关于两轴对称）⟹ 只画第一象限 \(0\leqslant x,y\leqslant 1\)；\(y=(1-x^2)^{\frac{3}{2}}\) 列 \(y'\)、\(y''\) 表：拐点 \(\bigl(\frac{\sqrt{2}}{2},(\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}\bigr)\)、端点 \(y'(0)=0\) 平进、\(x=1\) 处收尖
★P165–166（例5.12）｜\(y=x^x\)（\(x>0\)）：\(\lim\limits_{x\to 0^+}x^x=\mathrm{e}^{\lim x\ln x}=1\)，因而可补定义 \(f(0)=1\)，使它在 \([0,+\infty)\) 的端点0处右连续；但不能因此得到0的双侧实邻域连续函数。驻点 \(x=\frac{1}{\mathrm{e}}\) 极小；\(f''=x^x[(1+\ln x)^2+\frac{1}{x}]>0\) 全程凹、无拐点；\(x\to+\infty\) 超幂速度 ⟹ 无斜渐近线
★P166（例5.13）｜\(y=\frac{\mathrm{e}^x}{x}\)：驻点 \(x=1\) 极小 \(\mathrm{e}\)；\(x>0\) 凹 \(x<0\) 凸；\(y=0\)（\(x\to-\infty\) 水平）、\(x=0\) 铅直、无斜——先写定义域 \((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)
💡 常用曲线要熟画：心形线、星形线、平摆线（附录2，重点记忆）；极坐标图先在直角坐标系下看 \(r(\theta)\) 趋势再描点（例5.14 \(r=\sin^2\theta\)）
🧠 列表是防错神器：一行 \(y'\) 一行 \(y''\) 一行 \(y\) 箭头，分段点全列进去，单调凹凸拐点极值一次读出

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曲率和曲率半径的公式是什么？（数二必考）¶

★P167｜\(y(x)\) 二阶可导：曲率 \(k=\dfrac{\lvert y''\rvert}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}\)；曲率半径 \(R=\dfrac{1}{k}=\dfrac{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}{\lvert y''\rvert}\)（\(y''\neq 0\)）——背公式即可，基本都考填空
弯曲程度越大 ⟹ 曲率越大 ⟹ 曲率圆半径越小
★P167–168（例5.15）｜星形线 \(x=\cos^3t\)，\(y=\sin^3t\) 在 \(t=\frac{\pi}{4}\)：参数求导 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\tan t=-1\)；\(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{3\cos^4t\sin t}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)；代公式 \(k=\frac{4\sqrt{2}/3}{2^{3/2}}=\frac{2}{3}\)
★P169（习题5.8）｜反向题：\(y=x^2+x\)（\(x<0\)）上曲率为 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 的点：\(y'=2x+1\)，\(y''=2\) 代入解 \(x^2+x=0\)，\(x<0\) ⟹ \(x=-1\)，点 \((-1,0)\)
🧠 数二对曲率的考法就两种：给曲线求 \(k\) 或 \(R\)（常配参数方程/隐函数求导）、给 \(k\) 反解点——公式+第 4 讲求导功夫，没有更多花样

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第5讲习题精华与解题路线¶

★P166–169｜习题5.1（复合函数极值）：\(y=f[g(x)]\)，\(g'(x_0)=0\)，\(g''(x_0)<0\) ⟹ \(y''(x_0)=f'(a)g''(x_0)\) ⟹ \(f'(a)>0\) 时极大，选(B)；(C)(D) 用 \(g=-x^2\) 配 \(f=\mathrm{e}^x\) / \(\ln(1+x)\) 举反例排除——链式二阶导 \(y''=f''[g][g']^2+f'[g]g''\) 在驻点只剩一项
习题5.4（隐函数切线）：\(\tan(x+y+\frac{\pi}{4})=\mathrm{e}^y\) 在 \((0,0)\)：变形 \(x+y+\frac{\pi}{4}=\arctan\mathrm{e}^y\) 再求导更省，得 \(y'(0)=-2\)，切线 \(y=-2x\)
习题5.5（拐点两类候选都要查）：\(y=(x-5)x^{\frac{2}{3}}\)：\(y''=\frac{10(x+1)}{9\sqrt[3]{x^4}}\)——\(y''=0\) 给 \(x=-1\)（变号 ⟹ 拐点 \((-1,-6)\)）；\(y''\) 不存在给 \(x=0\)（两侧同号 ⟹ 不是拐点）
习题5.6（闭区间最值）：\(y=x+2\cos x\) 在 \([0,\frac{\pi}{2}]\)：唯一驻点 \(\frac{\pi}{6}\)（极大），与端点比较 \(y(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}+\frac{\pi}{6}\) 最大
解题路线：极值/拐点选择题先想重要结论①②③和四个间断极值例；计算题走"候选点→充分条件"流水线；渐近线按"铅直→水平→斜"顺序清点；最值=可疑点+端点（或端点极限）大排名

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第5讲 微分学应用(一)——几何应用