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第11讲 积分应用(二)——积分等式与积分不等式

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第11讲 积分应用(二)——积分等式与积分不等式

簇11A：推广的积分中值定理与积分极限

推广的积分中值定理怎么证？考试能直接用吗？

  • ★P289（例11.1(1)）｜\(f,g\) 在 \([a,b]\) 连续且 \(g\) 不变号 ⟹ 存在 \(\xi\in(a,b)\)：\(\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm{d}x\)——考试可直接使用；\(g\equiv 1\) 时退化为普通积分中值定理
  • 证明（稳妥版）：若 \(g\equiv0\)，等式对任意 \(\xi\) 成立；否则不妨设 \(g\geqslant0\)。令 \(m=\min f,M=\max f\)，由 \(mg\leqslant fg\leqslant Mg\) 得 \(m\leqslant\frac{\int_a^bfg}{\int_a^bg}\leqslant M\)，再由 \(f\) 的介值性取到相应的 \(f(\xi)\)；\(g\leqslant0\) 时对 \(-g\) 同理
  • 注：\(\xi\in(a,b)\subset[a,b]\)，闭区间版自然成立；改积分区间为 \([a,x]\) 时 \(\xi=\xi(x)\)、改被积函数为 \(f_n\) 时 \(\xi=\xi(n)\)
  • ⚠️（例11.1 注）中值跟着 \(n\) 走：\(\int_1^2\mathrm{e}^{-x^n}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-\eta_n^n}\) 中 \(\eta_n\) 与 \(n\) 有关，不能直接令 \(\lim\mathrm{e}^{-\eta_n^n}=0\)——要另行放缩
  • 🧠 这个定理的价值：把 \(\int fg\) 里的 \(f\) "提出来变成一个数 \(f(\xi)\)"，是"积分条件 → 点条件"的头号转换器
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积分极限 lim∫ 怎么求？为什么不能 lim 进积分号？

  • ★P289（例11.1(2) ★★★★）｜\(\lim\limits_{n\to\infty}\int_1^2f(x)\mathrm{e}^{-x^n}\mathrm{d}x\)：中值定理提出 \(f(\xi_n)\)（连续 ⟹ 有界），再放缩 \(0<\int_1^2\mathrm{e}^{-x^n}\mathrm{d}x\leqslant\int_1^2x^{-n}\mathrm{d}x=\frac{1}{1-n}(2^{1-n}-1)\to 0\)（\((1,2)\) 内 \(\mathrm{e}^{x^n}>x^n+1>0\)）⟹ 有界×无穷小 \(=0\)
  • ⚠️ \(\lim\int\neq\int\lim\)——极限不能随手穿过积分号，必须夹逼/放缩论证
  • ★P291（例11.3）｜\(\lim\int_0^1(n+1)x^n\ln(1+x)\mathrm{d}x\)：凑微分 \(\mathrm{d}(x^{n+1})\) 分部后 \(=\ln 2-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x\)，尾项放缩 \(0\leqslant\int\leqslant\frac{1}{n+2}\to 0\) ⟹ \(\ln 2\)
  • ★P291–292（例11.4 注 ★结论）｜\(f\) 在 \([0,1]\) 连续 ⟹ \(\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1x^nf(x)\mathrm{d}x=0\)（\(m\leqslant f\leqslant M\) 两侧夹 \(\frac{m}{n+1},\frac{M}{n+1}\)）；配套小积分 \(\int_0^1t^n\lvert\ln t\rvert\mathrm{d}t=\frac{1}{(n+1)^2}\)（分部+\(\lim\limits_{t\to 0^+}t^a\ln t=0\)）
  • ★P292（例11.5 ★）｜\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^x(t-[t])\mathrm{d}t\)：⚠️ 洛必达禁用——\(t-[t]\) 有跳跃间断点、无原函数、变限积分不可导！正解：周期 1、每周期面积 \(\frac{1}{2}\) ⟹ \(n\leqslant x<n+1\) 时 \(\frac{n}{2(n+1)}<\frac{1}{x}\int_0^xf<\frac{n+1}{2n}\) 夹逼 \(\to\frac{1}{2}\)
  • 🧠 \(\lim\int\) 三板斧：中值定理提函数 → 放缩掉尾巴 → 夹逼收口；\(x^n\)、\(\mathrm{e}^{-x^n}\) 这类"越来越尖"的因子就是要放缩掉的对象
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簇11B：积分等式的证明

例11.2 的"中值定理连环拳"怎么打？

  • ★P290（例11.2 ★★）｜\(f\) 在 \([0,\frac{\pi}{2}]\) 上有二阶导数，\(f(0)=2\)，\(f(\frac{\pi}{2})=1\)，\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\mathrm{e}^{\sin x}\cos x\mathrm{d}x=2(\mathrm{e}-1)\)，证存在 \(\xi\) 使 \(f''(\xi)<0\)
  • 第一步（推广中值定理+凑微分）：\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{e}^{\sin x}\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1\) ⟹ \(f(\eta)(\mathrm{e}-1)=2(\mathrm{e}-1)\) ⟹ \(f(\eta)=2=f(0)\)
  • 第二步（罗尔）：\([0,\eta]\) 上 \(f'(\xi_1)=0\)；第三步（拉格朗日）：\(f(\eta)=2\neq 1=f(\frac{\pi}{2})\) ⟹ \(f'(\xi_2)=\frac{1-2}{\frac{\pi}{2}-\eta}<0\)；第四步（再拉格朗日给 \(f'\)）：\(f''(\xi)=\frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}<0\)
  • ★拓展（蓝批注）：\(f(a)=f(b)=f(c)\) 三点等值 ⟹ 三次罗尔得 \(f''\) 零点；三点不等值（中间高/低）⟹ 两次拉格朗日得 \(f'\) 一负一正 ⟹ 再拉氏得 \(f''\) 定号——习题11.1 同款（\(\varphi(2)>\varphi(1)\)，\(\varphi(2)>\varphi(\eta)\) ⟹ \(\varphi''(\xi)<0\)）
  • 🧠 套路名："积分条件产等值点"：\(\int\) 条件先换成 \(f(\eta)=\) 某值，跟端点值拼出"山峰/山谷"，中值定理逐阶下楼；每一步在哪个区间用哪个定理，画个数轴标 \(\xi_1,\eta,\xi_2\) 就不乱
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积分法证等式的两个代表作是什么？

  • ★P294–295（例11.6(1)）｜\(f''\) 连续，\(f(0)=f(1)=0\)，证 \(\int_0^1f\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_0^1x(x-1)f''(x)\mathrm{d}x\)：右边两次分部——\(\frac{1}{2}\int x(x-1)\mathrm{d}[f'(x)]=\frac{1}{2}x(x-1)f'\big|_0^1-\frac{1}{2}\int f'(2x-1)\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int(2x-1)\mathrm{d}[f]=\int_0^1f\mathrm{d}x\)（边界项全靠 \(f(0)=f(1)=0\) 与 \(x(x-1)\) 在端点为 0 消掉）
  • ★P297–298（习题11.3）｜\(\varphi\) 是 \(f\) 的反函数，\(f(1)=0\)，证 \(\int_0^1\bigl[\int_0^{f(x)}\varphi(t)\mathrm{d}t\bigr]\mathrm{d}x=2\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x\)：外层分部，内层求导用 \(\varphi[f(x)]=x\) ⟹ \(-\int_0^1x^2\mathrm{d}[f(x)]\) 再分部 ⟹ \(2\int xf\mathrm{d}x\)
  • 💡 嵌套变限积分=分部积分法的主场：把 \(\bigl[\int_0^{f(x)}\varphi\bigr]\) 整个当 \(u\)，\(\mathrm{d}v=\mathrm{d}x\)
  • 🧠 端点为零的条件（\(f(0)=f(1)=0\)、\(f(1)=0\)）就是给分部边界项"发的通行证"——见到这类条件先试分部
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簇11C：积分不等式五法

方法一：单调性（常数变量化）怎么操作？

  • ★P295（总则）｜将某一积分限（通常取上限）变量化，移项构造辅助函数 \(F(x)\)，用 \(F\) 的单调性+端点值证不等式；多用于"\(f\) 在 \([a,b]\) 上连续"的情形
  • ★P295–296（例11.7 ★★★）｜\(f\) 单调增、\(0\leqslant g\leqslant 1\)：(1) \(0\leqslant\int_a^xg\mathrm{d}t\leqslant x-a\)（对 \(0\leqslant g\leqslant 1\) 逐点积分，保号性）；(2) 证 \(\int_a^{a+\int_a^bg\mathrm{d}t}f\mathrm{d}x\leqslant\int_a^bfg\mathrm{d}x\)：令 \(F(x)=\int_a^{a+\int_a^xg\mathrm{d}u}f\mathrm{d}t-\int_a^xfg\mathrm{d}t\) ⟹ \(F'(x)=\bigl\{f\bigl[a+\int_a^xg\mathrm{d}u\bigr]-f(x)\bigr\}g(x)\leqslant 0\)（由 (1) \(a+\int_a^xg\leqslant x\) 且 \(f\) 增）⟹ \(F\) 减，\(F(a)=0\) ⟹ \(F(b)\leqslant 0\)
  • ★P298（习题11.4 同法）｜\(f\) 严格增 ⟹ \((a+b)\int_a^bf<2\int_a^bxf\)：令 \(F(t)=(a+t)\int_a^tf-2\int_a^txf\)，\(F'(t)=\int_a^t[f(x)-f(t)]\mathrm{d}x<0\)，\(F(a)=0\) ⟹ \(F(b)<0\)
  • 💡 上限变量化时三个变量要区分开（外层 \(x\)、内层 \(u\)、积分哑元 \(t\)）——写混了整题崩
  • 🧠 识别信号：不等式两边都是常数积分且没给可导性 ⟹ 把 \(b\) 改成 \(t\) 造 \(F(t)\)；求导后常剩 \(\int_a^t[f(x)-f(t)]\mathrm{d}x\) 这种"自比较"结构，单调性一锤定音
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方法二三：拉格朗日与泰勒怎么选？

  • ★P296（例11.8 拉格朗日）｜\(f'\) 连续，\(f(0)=f(1)=0\)，\(M=\max\lvert f'\rvert\)，证 \(\bigl\lvert\int_0^1f\bigr\rvert\leqslant\frac{M}{4}\)：分两段——\([0,x]\) 上 \(\lvert f(x)\rvert=\lvert f'(\xi_1)\rvert x\leqslant Mx\)；\([x,1]\) 上 \(\lvert f(x)\rvert\leqslant M(1-x)\)；\(\bigl\lvert\int_0^1f\bigr\rvert\leqslant M\int_0^xt\mathrm{d}t+M\int_x^1(1-t)\mathrm{d}t=M\bigl[\frac{x^2}{2}+\frac{(1-x)^2}{2}\bigr]\)，取 \(x=\frac{1}{2}\) 得 \(\frac{M}{4}\)（配方 \(\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2+\frac{1}{4}\geqslant\frac{1}{4}\)）
  • 适用：条件是"\(f\) 一阶可导"且某端点值简单（甚至为 0）——★见到 \(f(x)\)、\(f'(x)\)，想拉格朗日中值定理
  • ★P296–297（例11.9 泰勒）｜\(f''\) 连续，\(f(1)=0\)，\(M=\max\lvert f''\rvert\)，证 \(\bigl\lvert\int_0^2f\bigr\rvert\leqslant\frac{M}{3}\)：在 \(x_0=1\) 展开 \(f(x)=f'(1)(x-1)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-1)^2\)，积分后一次项自动消失（\(\int_0^2(x-1)\mathrm{d}x=0\)）⟹ \(\bigl\lvert\int_0^2f\bigr\rvert\leqslant\frac{1}{2}M\int_0^2(x-1)^2\mathrm{d}x=\frac{M}{3}\)
  • 适用：条件是"\(f\) 二阶可导"且有简单函数值——展开点取"导数值已知/要消的点"，靠对称区间 \(\int(x-x_0)\mathrm{d}x=0\) 杀掉未知项
  • ★P299（习题11.6 泰勒反向）｜\(f(\frac{1}{2})=1\)，\(f''>0\) ⟹ 当 \(x\neq\frac12\) 时，\(f(x)>f(\frac{1}{2})+f'(\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})\)；两边在 \([0,1]\) 积分且一次项由对称性消失，得到 \(\int_0^1f>1\)——中点展开+对称消项是黄金搭档
  • 🧠 一阶条件→拉氏、二阶条件→泰勒；两者共同的收尾武器都是 \(\bigl\lvert\int f\bigr\rvert\leqslant\int\lvert f\rvert\) 加"对 \(\lvert f\rvert\) 的逐点估计"
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方法四五：积分法与牛顿-莱布尼茨怎么用？

  • ★P295（例11.10 积分法）｜\(n\in\mathbb N_+\)，\(f'\) 连续且 \(f'\geqslant 0\)，证 \(\bigl\lvert\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x\bigr\rvert\leqslant\frac{2}{n}[f(2\pi)-f(0)]\)：用 \(\sin(nx)\mathrm dx=-\frac1n\mathrm d(\cos nx)\) 凑微分后分部，再用 \(\lvert\cos nx\rvert\leqslant 1\)、\(\cos(2\pi n)=1\) 与 \(f'\geqslant0\)（\(\int\lvert f'\rvert=\int f'=f(2\pi)-f(0)\)）估计；负号在最终取绝对值时消失
  • ★P295–296（例11.11 牛-莱 ★双向技巧）｜\(f(a)=f(b)=0\)，证 \(\lvert f(x)\rvert\leqslant\frac{1}{2}\int_a^b\lvert f'(t)\rvert\mathrm{d}t\)：从两端各写一次 \(f(x)=\int_a^xf'\mathrm{d}t=-\int_x^bf'\mathrm{d}t\) ⟹ 两个估计 \(\lvert f\rvert\leqslant\int_a^x\lvert f'\rvert\) 与 \(\lvert f\rvert\leqslant\int_x^b\lvert f'\rvert\) 相加除 2
  • ★P298–299（习题11.5 注 必背心法）｜条件给 \(f'\) 和 \(f(0)=0\)，要联系 \(f\) 与 \(f'\)，高数里只有两条路：一是拉格朗日中值定理，二是牛顿-莱布尼茨公式 \(f(x)=\int_0^xf'(t)\mathrm{d}t\)——两法都能给出 \(\lvert f(x)\rvert\leqslant Mx\)，进而 \(\lvert\int_0^af\rvert\leqslant\frac{Ma^2}{2}\)
  • ★P297（习题11.2）｜同区间比大小：\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x-\sin x}{1+x^2}\mathrm{d}x>0\)——拆 \([0,\frac{\pi}{4}]+[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]\)，后段换元 \(x=\frac{\pi}{2}-t\) 折回前段合并，同一因子 \((\cos x-\sin x)\) 配上严格单调的权重差定号
  • 🧠 五法选择器：只连续→单调性/常数变量化；一阶可导→拉氏或牛-莱；二阶可导→泰勒；被积函数是乘积→分部（积分法）；两个积分同区间比较→作差+对称折叠。所有绝对值最后都过 \(\lvert\int\rvert\leqslant\int\lvert\cdot\rvert\) 这道闸
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