第1讲函数、极限与连续

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第1讲函数、极限与连续¶

簇1A：函数概念——对应法则怎么求¶

什么样的对应才叫函数？单值与多值怎么区分？¶

★P9｜每一个 \(x\in D\) 按法则 \(f\) 有一个确定的 \(y\) 与之对应，才叫函数（单值函数）
一对一、多对一都是单值函数；一对多是多值函数，不在函数定义内
💡 数形判别：铅直画线法——任一条铅直线与图像至多一个交点 ⟹ 单值函数
⚠️ 函数按定义就是单值对应；要使反关系仍为函数，还必须满足单射（一一对应到其值域）。一条铅直线若与图像有两个交点，恰好说明该图形不表示函数

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已知复合式求对应法则，两板斧是什么？¶

★P9–10｜凑整体：\(f\bigl(x+\frac{1}{x}\bigr)=\frac{x+x^3}{1+x^4}\)，分子分母同除 \(x^2\) 后全部用 \(x+\frac{1}{x}\) 表示，得 \(f(x)=\frac{x}{x^2-2}\)（\(x\geqslant 2\)）
关键公式：\(x^2+\frac{1}{x^2}=\bigl(x+\frac{1}{x}\bigr)^2-2\)
★P10｜方程组消元：给 \(2f(x)+x^2 f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}\)，把 \(x\) 换成 \(\frac{1}{x}\) 得第二式，联立消去 \(f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)\)，解出 \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
同型：给 \(f(x)+xf(-x)=x\)，用 \(x\to -x\) 造第二式消 \(f(-x)\)
💡 对应法则与自变量记号无关：\(f(x)=x^2\) 则 \(f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)=\bigl(\frac{1}{x}\bigr)^2\)

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反函数存在的条件是什么？图像有什么讲究？¶

★P11｜在给定定义域上，反函数存在的充要条件是 \(f\) 为单射；区间上严格单调是常用的充分条件，但不是必要条件。判别用水平画线法：任一水平直线与图像至多一交点
有反函数的函数不一定单调：\(f(x)=x\)（\(x\geqslant 0\)）、\(f(x)=\frac{1}{x}\)（\(x<0\)）的反函数是它本身，但不单调
\(x=f^{-1}(y)\) 与 \(y=f(x)\) 图像完全重合；写成 \(y=f^{-1}(x)\) 后才关于 \(y=x\) 对称（字母互换的结果）
重要关系（注意各自定义域）：\(f^{-1}(f(x))=x\ (x\in D_f)\)；\(f(f^{-1}(y))=y\ (y\in R_f)\)；如 \(\mathrm{e}^{\ln 2^x}=2^x\)
口诀：铅直线定单、多；水平线定反、直

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怎么求 y=ln(x+√(x²+1)) 的反函数？¶

★P11–12｜取负：\(-y=\ln\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\)，分母有理化得 \(\mathrm{e}^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x\)；与 \(\mathrm{e}^{y}=\sqrt{x^2+1}+x\) 相减
得 \(x=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{y}-\mathrm{e}^{-y})\)，即 \(f^{-1}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}\)（\(-\infty<x<+\infty\)）
💡 \(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\) 叫反双曲正弦，是常见的奇函数；\(\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}\) 叫双曲正弦（奇），\(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\) 叫双曲余弦（偶，悬链线，无反函数）
见附录5：双曲函数一家该记住什么？

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关于 ln(x+√(x²+1)) 必须记住哪三个结论？¶

★P13｜① \(x\to 0\) 时 \(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\sim x\)（与 \(\sin x\sim x\)、\(\tan x\sim x\) 并列记）
② \(\bigl[\ln(x+\sqrt{x^2+1})\bigr]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)，于是 \(\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C\)
③ 它是奇函数 ⟹ \(\int_{-1}^{1}\bigl[\ln(x+\sqrt{x^2+1})+x^2\bigr]\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}x^2\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\)（对称区间先扔奇函数）
💡 张宇：基础阶段就要认识这个函数的图像、性质，后面讲极限、导数、积分、面积全会用到

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复合函数已知 f 和 f[φ(x)]，怎么反求 φ(x)？¶

★P13｜\(f(x)=x^2\)，\(f[\varphi(x)]=-x^2+2x+3\)，\(\varphi(x)\geqslant 0\) ⟹ \(\varphi^2(x)=-x^2+2x+3\)，开方取正：\(\varphi(x)=\sqrt{-x^2+2x+3}\)
定义域由被开方式 \(\geqslant 0\) 定：\((x-3)(x+1)\leqslant 0\) 得 \([-1,3]\)；值域配方 \(\sqrt{-(x-1)^2+4}\in[0,2]\)
公式：若 \(\varphi^2(x)=g(x)\)，则 \(\varphi(x)=\pm\sqrt{g(x)}\)——符号由题给条件挑
⚠️ 复合的前提：\(g(D)\subset D_1\)（内层值域落进外层定义域）

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分段函数复合分段函数，按什么讨论？¶

★P14｜例1.5：\(g[f(x)]\) 中把 \(f(x)\) 当整体，按外层的分段标准对 \(f(x)\) 的取值讨论，再翻译回 \(x\) 的范围
💡 方法总结：画出内层函数的图形，数形结合定各段
⚠️ 综合时每段要同时写清楚表达式与 \(x\) 范围，缺一不可

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隐函数是什么？F(x,y)=0 怎么求 y(x₀)？¶

★P14–15｜\(F(x,y)=0\) 中 \(x\) 在某区间任一值都有唯一 \(y\) 满足方程 ⟹ 确定隐函数 \(y=y(x)\)
有的可显化（\(x+y^3-1=0\Rightarrow y=\sqrt[3]{1-x}\)），有的不易显化（\(\sin(xy)=\ln\frac{x+\mathrm{e}}{y}+1\)）
求 \(y(x_0)\)：代入 \(x_0\) 后若解不出，用观察法——如 \(\ln y-\frac{x}{y}+x=0\)，\(x=2\) 时观察 \(y(2)=1\)
💡 画图核实观察解：拆成两条曲线看交点（考研真题出现过的形式）
⚠️ 超越方程常"无解析解、有数值解"，观察 \(y=1\)、\(y=x\) 这类特殊值

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簇1B：函数的四种特性——有界·单调·奇偶·周期¶

有界性怎么定义？为什么必须先指明区间？¶

★P15｜存在正数 \(M\)，对任一 \(x\in I\) 都有 \(\lvert f(x)\rvert\leqslant M\) ⟹ \(f\) 在 \(I\) 上有界；找不到这样的 \(M\) 即无界
几何：图形能被 \(y=-M\) 与 \(y=M\) 两条线"完全包起来"
⚠️ 不知区间无法谈有界性：\(y=\frac{1}{x}\) 在 \((2,+\infty)\) 有界，在 \((0,2)\) 无界
💡 只要区间 \(I\) 上或端点处存在 \(x_0\) 使 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)，就无界（考研常这样挖坑）

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怎么证 x/(1+x²) 在全轴有界？¶

★P16｜方法一：\(x\neq 0\) 时 \(\lvert f(x)\rvert=\frac{1}{\frac{1}{\lvert x\rvert}+\lvert x\rvert}\leqslant\frac{1}{2}\)（分子分母同除 \(\lvert x\rvert\)）
方法二：\(\frac{1+x^2}{2}\geqslant\lvert x\rvert\) ⟹ \(\lvert f(x)\rvert=\frac{\lvert x\rvert}{1+x^2}\leqslant\frac{1}{2}\)
💡 方法总结：用基本不等式找 \(M\)，使 \(\lvert f(x)\rvert\leqslant M\)
必背链：\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)）；\(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)

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单调性的定义式与判别式各是什么？¶

★P16｜定义：\(x_1<x_2\) 恒有 \(f(x_1)<f(x_2)\) ⟹ 单调增（这是充要的定义法）
判别形式（任意 \(x_1\neq x_2\)）：\((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0\Leftrightarrow\) 严格单调增；\(<0\) 严格单调减
\(\geqslant 0\) 单调不减；\(\leqslant 0\) 单调不增
⚠️ 考研常用求导判单调，但定义法不可忘，试题常给上面的乘积形式
★P16–18｜例1.7：\(f\) 严格增 ⟹ \(-f(-x)\) 单调增（选 D）；\(f(-x)\) 单调减；\(\lvert f(x)\rvert\)、\(f(\lvert x\rvert)\) 一般无单调性
💡 图像语言：\(f(-x)\) 与 \(f(x)\) 关于 \(y\) 轴对称；\(-f(x)\) 关于 \(x\) 轴对称；\(-f(-x)\) 关于原点对称

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判断奇偶性有哪些"基本类型"？¶

★P18｜前提：定义域关于原点对称。\(f(-x)=f(x)\) 偶，\(f(-x)=-f(x)\) 奇
① \(f(x)+f(-x)\) 必是偶函数：如 \(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\)、\(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\)
② \(f(x)-f(-x)\) 必是奇函数：如 \(\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}\)、\(\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)\)
③ 复合 \(f[\varphi(x)]\)：内偶则偶，内奇同外——奇[偶]=偶（\(\sin x^2\)）、偶[奇]=偶（\(\cos(\sin x)\)）、奇[奇]=奇（\(\sin\frac{1}{x}\)）、偶[偶]=偶、非奇非偶[偶]=偶（\(\mathrm{e}^{x^2}\)、\(\ln\lvert x\rvert\)）
重要结论：任何函数都可写成一个奇函数与一个偶函数之和 \(f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}\)

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奇偶性在求导和积分下怎么传递？¶

★P19｜前提是定义域关于原点对称，且相应阶导数存在。⑤ \(f\) 奇 ⟹ \(f'\) 偶 ⟹ \(f''\) 奇 ⟹ …（求导一次，奇偶互换；直观例 \(y=x^3\) 奇，\(y'=3x^2\) 偶）
⑥ 在相应对称区间内可积时，零点起算的变上限积分会“奇偶互换”：\(f\) 奇 ⟹ \(\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\) 偶；\(f\) 偶 ⟹ \(\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\) 奇
④ 一个特色搭配：\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\) 奇，导数 \(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) 偶
⑦ 若对任意 \(x,y\) 有 \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，则 \(f\) 是奇函数
★P19｜例1.8 证法：令 \(x=y=0\) 得 \(f(0)=0\)；再令 \(y=-x\) 得 \(f(x)+f(-x)=f(0)=0\)
💡 公式化记忆：\(f(x)+f(-x)=0\Leftrightarrow f\) 奇

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周期性有哪四条重要结论？¶

★P19–20｜定义：存在正数 \(T\) 使 \(f(x+T)=f(x)\)，则 \(T\) 是一个周期；若所有正周期中存在最小者，才称其为最小正周期（书中常主要研究这一个）
① \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期且 \(a\neq0\) ⟹ \(f(ax+b)\) 以 \(\frac{T}{\lvert a\rvert}\) 为周期；\(a=0\) 时复合函数为常函数
② \(g\) 周期 ⟹ 复合 \(f[g(x)]\) 仍周期：如 \(\mathrm{e}^{\sin x}\)、\(\cos^2 x\)（由 \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) 知 \(T=\pi\)）
③ \(f\) 以 \(T\) 为周期且可导 ⟹ \(f'\) 也以 \(T\) 为周期
④ \(f\) 以 \(T\) 为周期连续，则只有当 \(\int_0^T f(x)\mathrm{d}x=0\) 时，\(\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\) 才以 \(T\) 为周期
★P20｜例1.9：\(f(x)=f(x-\pi)+\sin x\) ⟹ 反复代换 \(f(x+2\pi)=f(x)+\sin(x+\pi)+\sin(x+2\pi)=f(x)\)，故 \(T=2\pi\)
💡 诱导公式当工具：\(\sin(x+2\pi)=\sin x\)，\(\sin(x+\pi)=-\sin x\)
💡 张宇：要记具体例子支撑结论，形成解题思路（如 ② 记 \(\cos^2 x\)）

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簇1C：基本初等函数与分段函数——图像·特值·极限¶

幂函数处理最值有哪四个化简技巧？¶

★P21｜\(x>0\) 时 \(y=x^{\mu}\) 都有定义；\(y=x\)、\(\sqrt{x}\)、\(\sqrt[3]{x}\)、\(\ln x\) 单调性相同，与 \(y=\frac{1}{x}\) 相反
① 见 \(\sqrt{u}\)、\(\sqrt[3]{u}\)：用 \(u\) 研究最值
② 见 \(\lvert u\rvert\)：由 \(\lvert u\rvert=\sqrt{u^2}\) 用 \(u^2\) 研究最值（\(\sqrt{u^2}\) 与 \(u^2\) 最值点相同）
③ 见 \(u_1u_2u_3\)：取对数 \(\ln(u_1u_2u_3)=\ln u_1+\ln u_2+\ln u_3\) 变线性运算（考得最多）
④ 见 \(\frac{1}{u}\)：用 \(u\) 研究，结论相反（最大点↔最小点）
★P21–22｜例1.10：\(y=x^6(1-x)^2(1-2x)^4\) 取对数求导 \(\frac{6}{x}-\frac{2}{1-x}-\frac{8}{1-2x}=0\)，即 \(12x^2-14x+3=0\)，取符合 \(0<x<\frac{1}{2}\) 的根 \(x=\frac{7-\sqrt{13}}{12}\)
💡 多项相乘（除）的最值问题 ⟹ 取对数求导（"简洁美"）
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指数函数与对数函数要背哪些极限和法则？¶

★P22–24｜\(y=a^x\)（\(a>0\)，\(a\neq 1\)）：定义域 \((-\infty,+\infty)\)，值域 \((0,+\infty)\)；\(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty\)
⚠️ 求 \(\lim\mathrm{e}^{x}\)（\(x\to\infty\)）要分左右：\(+\infty\) 与 \(0\) 不同 ⟹ 双侧极限不存在（考"专一性"）
\(y=\ln x\)：定义域 \((0,+\infty)\)；\(\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\)；\(x\to+\infty\) 时 \(\mathrm{e}^x\) 越来越快、\(\ln x\) 越来越慢
特殊值：\(a^0=1\)，\(\mathrm{e}^0=1\)，\(\ln 1=0\)，\(\ln\mathrm{e}=1\)（神秘数字 0 和 1，常见"包装"：\(\mathrm{e}^{x_n}-1=\mathrm{e}^{x_n}-\mathrm{e}^0\)）
万能改写：\(x=\mathrm{e}^{\ln x}\)（\(x>0\)），\(u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\)（在实数范围使用时先保证 \(u>0\)）
对数三法则（\(a>0\)，\(a\neq 1\)，且 \(M,N>0\)）：\(\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\)；\(\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N\)；\(\log_a M^n=n\log_a M\)
常用变形：\(\ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x\)；\(\ln\frac{1}{x}=-\ln x\)；\(\ln\bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)=\ln(x+1)-\ln x\)；\(\mathrm{e}^{\ln\sqrt{f^2-f+1}}=\sqrt{f^2-f+1}\)
★P24｜例1.11：\(2^x=\mathrm{e}^{x\ln 2}\) 代入 \(\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\) 得 \(2^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln 2)^n}{n!}\)（只作高阶导数的计算工具，不当作数学二“无穷级数”独立考点）

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三角函数六兄弟各要记什么？¶

★P25–27｜\(\sin x\) 奇、\(\cos x\) 偶，\(T=2\pi\)，\(\lvert\sin x\rvert\leqslant 1\)；正弦一拱面积为 2（\(\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=2\)）
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)（\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\)）、\(\cot x=\frac{1}{\tan x}\)（\(x\neq k\pi\)）：均奇、\(T=\pi\)、值域 \((-\infty,+\infty)\)，图像有铅直渐近线
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) 偶、\(\csc x=\frac{1}{\sin x}\) 奇：值域 \((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)，\(T=2\pi\)
★ 必背恒等式：\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)；\(1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\)；\(1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha\)
💡 恒等变形是命题老师常用"手段"：\(\sqrt{\sin^2 x-\cos^2\alpha}\) 型的互换
特值：\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)；\(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)；\(\lvert\tan x\rvert\to\infty\)（\(x\to\frac{\pi}{2}\)）、\(\lvert\cot x\rvert\to\infty\)（\(x\to0\)），带符号结论须分别看左右极限

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反三角函数的主值区间、恒等式、极限分别是什么？¶

★P27–30｜\(\arcsin x\)：\([-1,1]\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) 增、奇；\(\arccos x\)：\([-1,1]\to[0,\pi]\) 减
\(\arctan x\)：\((-\infty,+\infty)\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) 增、奇；\(\mathrm{arccot}\,x\)：按本书/考研口径取值域 \((0,\pi)\)，因而单调减（其他教材可采不同主值约定，本卡后续公式均随本书）
恒等式：\(\sin(\arcsin x)=x\)；\(\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}\)；\(\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}\)（\(x\in[-1,1]\)）
⚠️ \(\arcsin(\sin x)=x\) 仅当 \(x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)；\(\arccos(\cos x)=x\) 仅当 \(x\in[0,\pi]\)
★ 互补：\(\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\)（\(-1\leqslant x\leqslant 1\)）；\(\arctan x+\mathrm{arccot}\,x=\frac{\pi}{2}\)（全轴）
极限：\(\lim\limits_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}\)；\(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{arccot}\,x=\pi\)，\(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{arccot}\,x=0\)
有界性：\(-\frac{\pi}{2}<\arctan x<\frac{\pi}{2}\)，\(0<\mathrm{arccot}\,x<\pi\)
💡 \(\arctan\) 处理递推数列：\(b_n=\arctan a_n\) 型用单调有界（★P30 注给了完整链条）

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sin x 在 [0,2π] 上的逆关系为什么分三支？¶

★P30–31｜\(\sin x\) 在 \([0,2\pi]\) 上不单射，因而不存在全区间上的反函数；这里只能按三个单调区间写逆关系的三支：\([0,\frac{\pi}{2}]\) 上 \(x=\arcsin y\)；\((\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\) 上 \(x=\pi-\arcsin y\)；\((\frac{3\pi}{2},2\pi]\) 上 \(x=2\pi+\arcsin y\)
💡 心法：放到主值区间中——用诱导公式把 \(x\) 平移进 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
用处：二重积分交换次序时 \(\int_{-1}^{0}\mathrm{d}y\int_{\pi-\arcsin y}^{2\pi+\arcsin y}f\,\mathrm{d}x\) 这类上下限要会写
⚠️ 若写成一个"分段函数"，得到的是 \(\sin x\) 沿 \(y=x\) 镜像的图形——多值，不是函数

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三个重要分段函数是什么？取整函数有哪些考点？¶

★P32–34｜① 绝对值 \(y=\lvert x\rvert\)（是初等函数：\(\lvert x\rvert=\sqrt{x^2}\)）；② 符号 \(y=\mathrm{sgn}\,x\in\{1,0,-1\}\)，且 \(x=\lvert x\rvert\,\mathrm{sgn}\,x\)；③ 取整 \(y=[x]\)：不超过 \(x\) 的最大整数
\([0.99]=0\)，\([\pi]=3\)，\([-1]=-1\)，\([-1.99]=-2\)；定义域 \(\mathbf{R}\)，值域 \(\mathbf{Z}\)，整数处跳跃
★★★ \([x+n]=[x]+n\)（\(n\) 整数）；★ \(x-1<[x]\leqslant x\)；★ \(\lim\limits_{x\to 0^+}[x]=0\)，\(\lim\limits_{x\to 0^-}[x]=-1\)
★★★ 换一种说法：\(i\leqslant X<i+1\)（\(i\) 整数）当且仅当 \(Y=[X]+1\) 取 \(i+1\)——考生要牢记
★P34｜例1.13：\(y=x-[x]=\{x\}\)（小数部分）是周期为 1 的周期函数（证：\(y(x+1)=y(x)\)）；它有界（\(0\leqslant y<1\)）、不单调、非奇非偶
💡 分段函数是命题的丰富素材：求极限、求导、积分中最多的研究对象之一

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簇1D：极限的概念与三大性质¶

极限的 24 个定义是怎么组织的？考研写证明用哪几个？¶

★P35–36｜自变量 6 种趋近（\(x\to x_0\)、\(x_0^-\)、\(x_0^+\)、\(\infty\)、\(-\infty\)、\(+\infty\)）× 函数 4 种结果（\(\to A\)、\(\infty\)、\(-\infty\)、\(+\infty\)）＝24 个定义
核心模板：\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) ⟺ 任给 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\lvert x-x_0\rvert<\delta\) 时 \(\lvert f(x)-A\rvert<\varepsilon\)
趋于无穷改用 \(X\)：任给 \(M>0\)，存在 \(X>0\)，当 \(\lvert x\rvert>X\) 时 \(\lvert f(x)\rvert>M\)
⚠️ \(0<\lvert x-x_0\rvert\) 的"去心"不能丢：极限与 \(f(x_0)\) 是否有定义、值是多少无关
🧠 组织记忆：只记「\(\varepsilon\)–\(\delta\)」「\(\varepsilon\)–\(X\)」「\(M\)–\(\delta\)」「\(M\)–\(X\)」四个骨架，6×4 全是这四个骨架的拼装

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张宇的超实数语言怎么用？考卷上怎么写？¶

★P37–42｜张宇把趋近中的量叫超实数：核值（标准实数部分 \(\mathrm{std}\)）+ 光环（无穷小量）；\(\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha\)，\(\lim\alpha=0\)
「脱帽法」：\(\lim f(x)=A\)（戴帽）⟹ \(f(x)=A+\alpha\)（脱帽）；反向叫戴帽
无穷小=核值为 0 的超实数；\(\lim\limits_{x\to 0}\sin x=0\) 里的 \(\sin x\) 不是实数 0，是带光环的超实数
🧠 这是张宇自创的教学语言，帮你理解"什么位置能替换"；考卷上写标准表述：设 \(\frac{\tan 2x+xf(x)}{x^3}=\alpha(x)\)，其中 \(\lim\limits_{x\to 0}\alpha(x)=0\)——这就是脱帽法的正规写法（见例1.27）
💡 等价替换的合法性：乘除是"趋核运算"可整体换；加减位置的超实数不能随手换成核值（\(x-\sin x\) 里的 \(\sin x\) 换成 \(x\) 就把 \(\frac{1}{6}x^3\) 抹掉了）

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极限的唯一性怎么考？哪 5 个"左右不等"必须条件反射？¶

★P44｜\(\lim f(x)=A\) ⟺ 左右极限都存在且相等：\(f(x_0^-)=f(x_0^+)=A\)
⚠️ \(x\to\infty\) 是指 \(x\to+\infty\) 且 \(x\to-\infty\) 双向同一极限
条件反射清单（见到就分左右）：① \(\lim\limits_{x\to\infty}\mathrm{e}^x\)（\(+\infty\) 与 \(0\)）② \(\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\) 型（\(x\to 1\)）③ \(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x\)（\(\pm\frac{\pi}{2}\)）④ \(\frac{\sin x}{\lvert x\rvert}\)、\(\frac{\lvert x\rvert}{x}\) 型（\(x\to 0\)）⑤ \([x]\)（\(x\to 0\)）
★P44｜方法总结：遇到 \(\mathrm{e}^{\infty}\)，需讨论 \(\mathrm{e}^{+\infty}=+\infty\) 和 \(\mathrm{e}^{-\infty}=0\)
★P45｜例1.16：分段函数复合后，分段点处左右极限对应不同表达式（\(3+x\) 与 \(2+x^2\) 得 3≠2），极限不存在
💡 分段函数在分段点处的极限一律先考虑左、右极限

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局部有界性有哪 4 条判据？开区间怎么保有界？¶

★P44–45｜① \(\lim\limits_{x\to\cdot}f(x)\) 存在 ⟹ \(f\) 在该趋近方式的局部有界（充分非必要：\(\sin x\) 任意区间有界但 \(\lim\limits_{x\to+\infty}\sin x\) 不存在）
② \(f\) 在 \([a,b]\) 连续 ⟹ \([a,b]\) 上有界
★③ \(f\) 在 \((a,b)\) 连续，且 \(\lim\limits_{x\to a^+}f\) 与 \(\lim\limits_{x\to b^-}f\) 都存在 ⟹ \((a,b)\) 内有界（"三段有界，则总的有界"）
④ 有界±有界、有界×有界仍有界；商没有这个结论（分母可趋 0）
★P45–46｜例1.17：\(f(x)=\frac{x\sin(x-3)}{(x-1)(x-3)^2}\) 在 \((-1,0)\) 有界——开区间两端点极限都存在即可，选(B)；含 1 或 3 的区间端点极限为 \(\infty\) ⟹ 无界
🧠 判「区间上是否有界」的操作顺序：区间内找无定义点/瑕点 → 算两端点单侧极限 → 全存在就有界

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局部保号性的脱帽与戴帽各差在哪里？¶

★P46–47｜脱帽严格保号：\(\lim f(x)=A>0\) ⟹ 存在 \(\delta>0\)，当 \(0<\lvert x-x_0\rvert<\delta\) 时 \(f(x)>0\)（证明取 \(\varepsilon=\frac{A}{2}\)，得 \(f(x)>\frac{A}{2}>0\)）
戴帽非严格：去心邻域内 \(f(x)\geqslant 0\)（甚至 \(>0\)）且极限存在 ⟹ \(A\geqslant 0\)（只能戴 \(\geqslant\) 帽：\(f(x)=\lvert x\rvert>0\) 但 \(\lim\limits_{x\to 0}\lvert x\rvert=0\)）
手写口诀（书上批注）：脱帽严格不拾零，戴帽非严格不拾零——\(\lim f>0\Rightarrow f>0\)；\(f\geqslant 0\Rightarrow\lim f\geqslant 0\)
★P47｜例1.18：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=-1<0\) ⟹ 某去心邻域内 \(\frac{f(x)}{1-\cos x}<0\)，而 \(1-\cos x>0\) ⟹ 两侧都有 \(f(x)<0\)，选(D)
💡 方法总结：见 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A<0\)，则去心邻域内 \(f(x)<0\)
🧠 这是证明题里"从极限条件落地到函数值符号"的唯一桥梁，第 5、6 讲判极值、拐点全靠它

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簇1E：无穷小与无穷大的体系¶

无穷小怎么定义？和"很小的数"有什么区别？¶

★P41–42｜\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\)（或 \(x\to\infty\)）⟹ 称 \(f(x)\) 为该过程的无穷小
两种身份：本身是 0 的常数（0 是唯一一个常数无穷小，最高阶）；本身不是 0、趋于 0 的函数或数列（一个极限过程）
脱帽表述：\(\lim f=A\Leftrightarrow f=A+\alpha\)，\(\alpha\) 是无穷小——无穷小是"误差项"的精确语言
⚠️ 无穷小的实数部分是零，但它不是实数 0：\(\lim\limits_{x\to 0}\sin x=0\) 中 \(\sin x\neq 0\)
🧠 一切等价替换、泰勒展开的合法性都建立在"把函数写成主部+高阶无穷小"上，这是全书最底层的语言

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无穷小三条性质中，哪条是做题主力？反例是什么？¶

★P42–43｜① 有限个无穷小之和是无穷小；② ★有界函数×无穷小=无穷小（\(\lvert\alpha_1\rvert\leqslant m\)，\(\alpha_2\to 0\) ⟹ \(\lvert\alpha_1\alpha_2\rvert\leqslant m\lvert\alpha_2\rvert\to 0\) 夹逼到 0）；③ 有限个无穷小之积是无穷小
② 的经典应用：\(\lim\limits_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0\)、\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0\)
⚠️ 无穷个无穷小之和未必是无穷小：\(\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\bigr)=\ln 2\)（第 8 讲习题 8.4 再见）
🧠 做题优先级：见"有界×趋 0"直接判 0，不要对着 \(\sin\frac{1}{x}\) 发呆——它没极限但有界，够用了

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无穷小比阶的五种关系是什么？哪两个无穷小不能比？¶

★P43｜同一过程中 \(\lim\alpha=\lim\beta=0\)（\(\beta\neq 0\)）：\(\lim\frac{\alpha}{\beta}=0\) 高阶 \(\alpha=o(\beta)\)；\(=\infty\) 低阶；\(=c\neq 0\) 同阶★；\(=1\) 等价 \(\alpha\sim\beta\)★；\(\lim\frac{\alpha}{\beta^k}=c\neq 0\) 则 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的 \(k\) 阶无穷小
"等价"不是相等：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\neq 0\)，但 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}\)——分子里的 \(\sin x\) 不可换成 \(x\)
⚠️ 不是任意两个无穷小都能比阶：\(x\sin\frac{1}{x}\) 与 \(x^2\)（\(x\to 0\)）之比为 \(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\)，一会儿跑向无穷大一会儿跑到 0，极限不存在也不为 \(\infty\)——无高低阶、无同阶可言
🧠 \(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\) 这类叫无界变量（无界但不是无穷大），是"无界 ≠ 无穷大"的标准反例，选择题常拿它挖坑

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必背的等价无穷小有哪几组？怎么"广义化"？¶

★P44｜\(x\to 0\) 时：\(\sin x\sim x\)，\(\tan x\sim x\)，\(\arcsin x\sim x\)，\(\arctan x\sim x\)，\(\ln(1+x)\sim x\)，\(\mathrm{e}^x-1\sim x\)，\(a^x-1\sim x\ln a\)，\(1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2\)（唯一的 2 次方），\((1+x)^a-1\sim ax\)
★P57–59｜差函数组（"幂次最低"推出，必背）：\(x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}\)，\(\arcsin x-x\sim\frac{x^3}{6}\)，\(\tan x-x\sim\frac{x^3}{3}\)，\(x-\arctan x\sim\frac{x^3}{3}\)，\(x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}{2}\)
★P65–66｜例1.22 补充：\(1-(\cos x)^a\sim\frac{a}{2}x^2\)（\(a\neq 0\)）；特例 \(1-\sqrt{\cos x}\sim\frac{1}{4}x^2\)；\(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x\)
广义化：\(x\) 可整体换成任何趋于 0 的函数：\(g(x)\to 0\) 时 \(g-\sin g\sim\frac{1}{6}g^3\)
★P67｜换元技巧：\(x\to 1\) 时 \(\ln x=\ln(1+x-1)\sim x-1\)（出现频率极高）
🧠 记忆锚点：\(\sin\)、\(\arcsin\) 差项都带 \(\frac{1}{6}\) 且一正一负；\(\tan\)、\(\arctan\) 都带 \(\frac{1}{3}\)；符号背不清就现场泰勒一行推出来

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高阶无穷小 o( ) 怎么做加减乘运算？¶

★P57｜设 \(m,n\) 为正整数：① \(o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l)\)，\(l=\min\{m,n\}\)（加减时低阶"吸收"高阶：\(o(x^2)-o(x^3)=o(x^2)\)）
② \(o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})\)，\(x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})\)（乘法阶数"累加"）
③ \(o(kx^m)=k\cdot o(x^m)=o(x^m)\)，\(k\neq 0\) 常数（非零常数不影响阶数；\(o(x^2)=2o(x^2)\)，记号运算不是符号运算）
⚠️ 对无穷小：次数越大越"小"（越高阶）；对无穷大相反
💡 数三卷子考过这种纯记号题；泰勒应用中书写规范也按这三条来

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无穷大怎么定义？与无穷小、无界各是什么关系？¶

★P45｜\(\lvert f(x)\rvert\) 无限增大 ⟹ \(\lim f(x)=\infty\)（同无穷小一样是极限过程；\(x\to\infty\) 分 \(\pm\infty\) 两种情况）
与无穷小互为倒数：\(f\) 无穷大 ⟹ \(\frac{1}{f}\) 无穷小；\(f\) 无穷小且 \(f\neq 0\) ⟹ \(\frac{1}{f}\) 无穷大
⚠️ 无穷大一定无界，无界不一定是无穷大（\(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\)：取某序列趋 \(\infty\)、取另一序列恒 0）
★P56｜速度链（记住，考试直接用）：\(x\to+\infty\) 时 \(\ln^{\alpha}x\ll x^{\beta}\ll a^x\)（\(\alpha,\beta>0\)，\(a>1\)）；\(n\to\infty\) 时 \(\ln^{\alpha}n\ll n^{\beta}\ll a^n\ll n!\ll n^n\)
★P56｜例1.23：\(x\) 充分大时 \(\ln^{10}x<x<\mathrm{e}^{\frac{x}{10}}\)，选(C)——系数、次数都拗不过量级
🧠 "≪"读作远远小于：比值极限为 0；量级判断先于一切精细计算
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簇1F：极限计算工具箱——七件武器¶

四则运算规则的前提是什么？"不存在"参与运算会怎样？¶

★P46｜\(\lim f=A\)，\(\lim g=B\) 时：\(\lim(kf+lg)=kA+lB\)；\(\lim fg=AB\)；\(\lim\frac{f}{g}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq 0\)）；\(\lim[f]^n=A^n\)
一句话：都存在时，加减乘除的极限=极限的加减乘除（商要求分母极限非零）
★P39–40｜存在±不存在=不存在；存在×不存在=不一定（\(x\cdot\sin\frac{1}{x}\to 0\) 是"0×有界"；\(\cos x\cdot\sin\frac{1}{x}\) 在 \(x\to 0\) 时"1×不存在"=不存在）；都不存在也可能存在（Dirichlet 型 \(f\cdot g\equiv 1\)）
★P46–47｜例1.20 两条重要结论（定参数直接用）：① \(\lim\frac{f}{g}=A\) 且 \(\lim g=0\) ⟹ \(\lim f=0\)；② \(\lim\frac{f}{g}=A\neq 0\) 且 \(\lim f=0\) ⟹ \(\lim g=0\)
★P47｜例1.21：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{\mathrm{e}^x-a}(\cos x-b)=5\neq 0\) ⟹ 分母必趋 0 得 \(a=1\)；再等价替换得 \(1-b=5\)，\(b=-4\)
🧠 ①② 的直觉：商有有限极限，分母塌到 0，分子必须也塌到 0 才"塌得同步"；反之分子塌了、商却不为 0，分母只能同塌

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洛必达法则的三个条件和两个陷阱是什么？¶

★P47–48｜法则一（\(\frac{0}{0}\)）/法则二（\(\frac{\infty}{\infty}\)）：① 同一过程 \(f,F\) 都趋 0（或都 \(\infty\)）② 去心邻域内可导且 \(F'\neq 0\) ③ \(\lim\frac{f'}{F'}\) 存在或为 \(\infty\) ⟹ \(\lim\frac{f}{F}=\lim\frac{f'}{F'}\)
可连环使用：仍是未定式且满足条件就继续洛
⚠️ 陷阱一："右存在则左存在；左存在不意味右存在"——\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0\) 存在，但洛完 \(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\) 不存在 ⟹ 洛必达失效不代表原极限不存在
⚠️ 陷阱二：本书与考研定理口径只直接处理 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型；其他形式先变形成未定式再用。有些分母趋于无穷的广义版本可在额外假设下成立，但不能当成考场上的“直接许可”
★P48｜历史故事：法则实为约翰·伯努利所创，洛必达买断冠名
🧠 洛必达是"最后手段"：先化简（提非零因子、等价替换），再洛；一上来就洛，分子分母越导越繁

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泰勒公式必背哪 8 个展开式？¶

★P50｜佩亚诺余项泰勒公式：\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\)
必背 8 式（\(x\to 0\)）：\(\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)；\(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\)；\(\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)；\(\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)；\(\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)；\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)；\(\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)；\((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\)
补充：\(\sec x=1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)\)（真题考过：\(\sec x\) 的 2 次泰勒多项式为 \(1+\frac{1}{2}x^2\)）
★P51｜🧠 张宇观点：泰勒远优于洛必达——多项式逼近思想深刻、计算简洁；幂函数系 \(\{1,x,x^2,\cdots\}\) 是所有可导函数的"基"
💡 每天起床头件事，先背一遍"展开式"（书上批注原话）

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泰勒展开到几阶？「上下同阶」与「幂次最低」怎么用？¶

★P58–59｜① \(\frac{A}{B}\) 型用上下同阶：分母（或分子）是 \(x^k\)，就把分子（或分母）展开到 \(x^k\) 为止——\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}\)：\(\ln(1+x)\) 展到 \(x^2\) 恰到好处，得 \(\frac{1}{2}\)
② \(A-B\) 型用幂次最低：把 \(A,B\) 分别展开到系数不相等的最低次幂为止——\(\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\) 各展到 \(x^4\)：\(\bigl(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\bigr)-\bigl(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\bigr)=-\frac{x^4}{12}+o(x^4)\)，故 \(\sim-\frac{1}{12}x^4\)，若与 \(ax^b\) 等价则 \(a=-\frac{1}{12}\)，\(b=4\)
展开不足 ⟹ 信息丢光只剩 \(o\)；展开过多 ⟹ 白算（"恰到好处"vs"多了"）
★P62–63｜例1.34：\(\mathrm{e}^x-(ax^2+bx+1)=o(x^2)\) ⟹ 用 \(\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\) 比对系数 \(b=1\)，\(a=\frac{1}{2}\)
★P63–64｜例1.35：求 3 次泰勒多项式，可用"已知展开式相乘"：\(\frac{\sin x}{1+x^2}=\bigl(x-\frac{x^3}{6}\bigr)(1-x^2)+\cdots=x-\frac{7}{6}x^3+\cdots\)；🧠 奇函数的泰勒多项式只有奇次项（\(b=0\) 直接排除两个选项）
🧠 两原则本质相同：展开到第一个不被消掉的项；判断"要消掉"看的是减法里两边的公共前缀

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两个重要极限与 1 的无穷次方公式怎么用？¶

★P59｜\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)；\(\lim\limits_{x\to\infty}\bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)^x=\mathrm{e}\)（等价写法 \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}\)）；两者都可广义化（变量整体替换）
★P61–62｜\(1^{\infty}\) 型万能公式：在 \(u\to1\)、\(u>0\)（邻域内）且 \(v\) 的绝对值趋于无穷的未定式前提下，\(\lim u^v=\mathrm{e}^{\lim(u-1)v}\)（右侧指数极限存在时；由 \(u^v=\{[1+(u-1)]^{\frac{1}{u-1}}\}^{(u-1)v}\) 推出）
★P62｜例1.33：\(\lim\limits_{x\to 0}\bigl(\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{3x}}{3}\bigr)^{\frac{\mathrm{e}}{x}}=\exp\bigl\{\frac{\mathrm{e}}{3}\bigl(\lim\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}+\lim\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x}+\lim\frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{x}\bigr)\bigr\}=\mathrm{e}^{2\mathrm{e}}\)
⚠️ 用公式时整体"抄"，别只算指数部分 \(\lim v(u-1)\) 忘了外面的 \(\mathrm{e}\)
★P55｜配套图像结论：\((1+x)^{\frac{1}{x}}\) 在 \(x>0\) 单调减、\(\lim\limits_{x\to 0^+}=\mathrm{e}\)；★\((1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}\sim-\frac{\mathrm{e}}{2}x\)（\(x\to 0^+\)，例1.24 结论，重要）
★P72｜习题 1.8 型公式：\(\lim\limits_{x\to\infty}\bigl(1+\frac{a}{x}\bigr)^{bx+d}=\mathrm{e}^{ab}\)；\(\lim\limits_{x\to\infty}\bigl(\frac{x+a}{x-a}\bigr)^x=\mathrm{e}^{2a}\)

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夹逼准则怎么用？它的经典陷阱是什么？¶

★P60｜\(h(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x)\) 且 \(\lim g=\lim h=A\) ⟹ \(\lim f=A\)（"迫敛定理"；由不等式+题设条件适当放缩）
⚠️ 陷阱：只有 \(\lim[g(x)-h(x)]=0\) 不能保证 \(\lim f\) 存在——反例 \(h=x+\frac{1}{x+1}\)，\(f=x+\frac{2}{x+1}\)，\(g=x+\frac{3}{x+1}\)（\(x\to+\infty\) 时三者都发散）
★P59–60｜例1.29：\(\lim\limits_{x\to 0}x\bigl[\frac{10}{x}\bigr]=10\)——由 \(\frac{10}{x}-1<\bigl[\frac{10}{x}\bigr]\leqslant\frac{10}{x}\) 两边乘 \(x\)（分 \(x>0\)、\(x<0\) 两种不等号方向），两边都趋 10
💡 \([\cdot]\) 特殊不存在、等价替换泰勒洛必达全用不上时，一定要想得起夹逼
🧠 夹逼的主战场在第 2 讲数列极限（\(n\) 项和放缩），函数极限里主要就是取整函数这一类

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抓大头适用什么场景？三种结果怎么记？¶

★P56–57｜有理式 \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0}\)（\(a_n,b_m\neq 0\)）：\(n=m\) 时 \(=\frac{a_n}{b_m}\)；\(n<m\) 时 \(=0\)；\(n>m\) 时绝对值趋于无穷，究竟是 \(+\infty\) 还是 \(-\infty\) 要看领先系数与趋近方向：\(x\to+\infty\) 看 \(a_n/b_m\)，\(x\to-\infty\) 还要乘 \((-1)^{n-m}\)；两侧符号不同时二侧极限不存在
推导即"上下同除 \(x^m\)"+四则规则；根式同理：\(\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}=1\)（⚠️ \(x\to-\infty\) 时 \(\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert=-x\)）
⚠️ 特别注意：\(x\to 0\) 时相反，分别抓分子、分母的最低次项
★P57｜例1.26（极限定义函数）：\(f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^2+nx(1-x)\sin^2\pi x}{1+n\sin^2\pi x}\)——\(n\) 是变量、\(x\) 视为常数，抓 \(n\) 的"带头大哥"：\(\sin\pi x=0\)（\(x\) 为整数）时 \(f=x^2\)；否则 \(f=x(1-x)\)
💡 主要关注 \(n\) 前面的系数；\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\square+n\square}{\square+n\square}=\) 后一对 \(\square\) 之比（系数非零时）
🧠 一句话：无穷远处谁跑得快听谁的（分子快则绝对值趋于无穷，符号另判；分母快 \(\to 0\)；同速看系数比）

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簇1G：七种未定式的分型攻略¶

拿到极限题的三步流程是什么？化简手段有哪些？¶

★P54–55｜七种未定式：\(\frac{0}{0}\)、\(\frac{\infty}{\infty}\)、\(0\cdot\infty\)、\(\infty-\infty\)、\(\infty^0\)、\(0^0\)、\(1^{\infty}\)；题型=直接计算、反求参数、已知某极限求另一极限、无穷小比阶
流程：①化简先行 ②判断类型 ③选择方法（洛必达/泰勒/夹逼等）
化简四板斧：a. 提出极限不为 0 的因子（如 \(\lim\limits_{x\to 0}\cos x\cdot(\cdots)\) 先把 \(\cos x\to 1\) 提走）b. 等价无穷小替换 c. 恒等变形（提公因式如 \(\mathrm{e}^{\sin x}(\mathrm{e}^{\tan x-\sin x}-1)\)、拆项、合并、分子分母同除最高次幂）d. 换元（变量代换/倒代换）
★P55｜拆项示例：\(\lim\limits_{x\to 0}\bigl(\frac{1+\sin x}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}\bigr)\) 拆出 \(\lim\frac{\sin x}{x}=1\) 后剩下的才通分
💡 2023 年考过一道大题，第一步就是化简，不化简复杂到算不出结果
🧠 化简的判断标准：每一步要么让式子变短，要么让类型显形；两者都没有就别动

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0·∞ 型把谁放到分母？¶

★P64｜思路：\(0\cdot\infty\) 改写成 \(\frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\frac{1}{0}}=\frac{\infty}{\infty}\)——简单因式才下放分母
简单因式：\(x^{\alpha}\)、\(\mathrm{e}^{\beta x}\)、\(\sin rx\) 等；复杂因式留分子：\(\arctan x\)、\(\arcsin x\)、\(\ln x\) 等
例：\(\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\)（洛必达得 \(-\lim x=0\)）；反着放 \(\frac{x}{\frac{1}{\ln x}}\) 会越洛越乱
★P67｜★结论直接记：\(\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha}\lvert\ln x\rvert^{\beta}=0\)（\(\alpha,\beta>0\)）——\(x\) 的任意正次幂都能压死对数绝对值的任意正次方
★P67｜例1.28：\(\lim\limits_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)\)——用 \(\ln x\sim x-1\)，令 \(1-x=t\) 化成 \(-\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t=0\)；换元要"二换"：表达式换+极限符号底下换
🧠 "简单"的标准：求导后变简单还是变复杂——\(\ln x\) 导完变 \(\frac{1}{x}\)（变好），\(\frac{1}{\ln x}\) 导完更糟

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无穷减无穷型的两条路各是什么？¶

★P66｜①有分母 ⟹ 通分，加减变乘除（例1.30：\(\lim\limits_{x\to 0}\bigl[\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}\bigr]=\lim\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}\)，用 \(x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}{2}\) 或洛必达/泰勒）
②无分母 ⟹ 提公因式或倒代换造出分母（例1.31：\(\lim\limits_{x\to+\infty}\bigl[x^2(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1)-x\bigr]\)，令 \(u=\frac{1}{x}\) 化为 \(\lim\limits_{u\to 0^+}\frac{\mathrm{e}^u-1-u}{u^2}=\frac{1}{2}\)）
配套等价：\(\mathrm{e}^u-1-u\sim\frac{u^2}{2}\)（\(u\to 0\)）
💡 越是复杂困难的情形，泰勒公式越体现优越性；简单送分的通分题一定要拿到手
🧠 倒代换后极限符号跟着换（\(x\to+\infty\) ⟹ \(u\to 0^+\)，单侧别丢）

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幂指函数的 0⁰ 与 ∞⁰ 型怎么处理？¶

★P61–62｜万能起手式：\(u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\)（"碰到幂指函数，一定用 \(\mathrm{e}\) 抬起来"）⟹ 指数位变成 \(0\cdot\infty\) 型接着处理
★P61｜例1.32：\(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}=\exp\bigl\{\lim\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x}\bigr\}=\mathrm{e}^0=1\)
★P55｜例1.24（高频）：\(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}}{x}=-\frac{\mathrm{e}}{2}\)——把 \((1+x)^{\frac{1}{x}}\) 写成 \(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}\ln(1+x)}\)，提出 \(\mathrm{e}\) 得 \(\mathrm{e}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\frac{\ln(1+x)}{x}-1}-1}{x}\)，指数等价替换后归结为 \(\lim\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=-\frac{1}{2}\)
配套：\(\ln(1+x)-x\sim-\frac{x^2}{2}\)
🧠 三个幂指型的分工：\(1^{\infty}\) 用 \(\mathrm{e}^{\lim(u-1)v}\) 最快；\(0^0\)、\(\infty^0\) 老老实实 \(\mathrm{e}^{v\ln u}\)；结果常是 \(\mathrm{e}^0=1\) 或 \(\mathrm{e}\) 的幂——答案是漂亮数就多半没算错

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已知一个极限求另一个极限的两把钥匙是什么？¶

★P57–58｜例1.27：已知 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan 2x+xf(x)}{\sin x^3}=0\)，求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{2+f(x)}{x^2}\)（答 \(-\frac{8}{3}\)）
方法一脱帽法：设 \(\frac{\tan 2x+xf(x)}{x^3}=\alpha(x)\)，\(\lim\alpha=0\)，解出 \(f(x)=\frac{x^3\alpha(x)-\tan 2x}{x}\) 代入目标，通分后用 \(\tan 2x=2x+\frac{1}{3}(2x)^3+o(x^3)\)
方法二泰勒展开：直接把已知式分子展开 \(2x+\frac{8}{3}x^3+o(x^3)+xf(x)\)，除 \(x^3\) 取极限反解出 \(\lim\frac{2+f(x)}{x^2}\)
配套公式：\(g\to 0\) 时 \(g-\tan g\sim-\frac{1}{3}g^3\)
★P70｜同型习题 1.1：\(\lim\frac{\sin x+xf(x)}{x^3}=0\) ⟹ \(\lim\frac{1+f(x)}{x^2}=\frac{1}{6}\)（三种解法：拆项/泰勒/脱帽）
⚠️ 抽象函数 \(f\) 没说可导，不能对 \(f\) 用洛必达；脱帽法是不需可导性的通用武器
🧠 已知极限=一条方程；把要求的极限也整理成含同一块"未知信息"的式子，解方程——例1.14 的"设 \(A\) 建方程"是同一思想

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簇1H：连续与间断¶

连续在一点的定义是什么？判连续要核对哪两件事？¶

★P64–65｜\(f\) 在 \(x_0\) 的某邻域内有定义，且 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) ⟹ 在 \(x_0\) 连续；等价于左连续+右连续：\(f(x_0^-)=f(x_0^+)=f(x_0)\)
直观：函数存在是"无牵无挂待在那里"，连续是"\(Y\) 们充分靠近 \(y\)"（相依相偎）
连续性运算：连续±、×、÷（分母非零）仍连续；复合连续；单调连续 ⟹ 反函数连续同单调
★连续版保号性：\(f\) 在 \(x_0\) 连续且 \(f(x_0)>0\) ⟹ 存在 \(\delta>0\)，\(\lvert x-x_0\rvert<\delta\) 时 \(f(x)>0\)（整个邻域，不去心——这句话非常重要）
★P73（例1.36）｜定参数套路：\(f(x)=(\cos x)^{x^{-2}}\)（\(x\neq 0\)）在 0 连续 ⟹ \(a=\lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{x^{-2}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\)（\(1^{\infty}\) 公式，\(\lim\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}\)）
🧠 连续=极限计算的"应用题"：判连续、补定义、定参数，本质全是算 \(\lim f\) 再对照 \(f(x_0)\)

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间断点去哪儿找？前提条件是什么？¶

★P65｜前提：\(f\) 在 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义（这是讨论间断的前提）
只需排查两类嫌疑点：①无定义点（必间断）②分段点（未必间断）；初等函数在其定义区间内都连续
⚠️ 区间端点不讨论间断（如 \(\sqrt{x}\) 问 \(x=0\)、定义在 \([0,1]\) 问 \(x=1\) 的间断性：不予回答，一侧根本没定义）
⚠️ 考研数学中没有单侧间断的概念
研究对象三件套：\(f(x_0^-)\)、\(f(x_0^+)\)、\(f(x_0)\)——比较它们的存在性与相等性定类型
🧠 流程图：找嫌疑点 → 算左右极限 → 都存在？相等？→（相等）可去 /（不等）跳跃；有一侧 \(=\infty\) → 无穷；振荡不存在 → 振荡

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四类间断点怎么定义？第一类第二类怎么划分？¶

★P65–66｜可去：\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) 存在但 \(\neq f(x_0)\)（或无定义）；修改/补充 \(f(x_0)=A\) 即连续，又叫可补间断点
跳跃：左右极限都存在但不相等（与 \(f(x_0)\) 的值无关）；可去+跳跃=第一类（考研要求区分这两种）
无穷：左、右极限至少一个为 \(\infty\)（如 \(\frac{1}{x}\) 在 0）；振荡：振荡不存在（如 \(\sin\frac{1}{x}\) 在 0，函数值在 \(-1\) 与 1 间交替）；无穷+振荡=第二类（第二类还有其他，考研不涉及）
⚠️ 无穷间断点说的是"这一点左右两侧至少一个极限趋向无穷大"，不是这点函数值无穷大
★P73（例1.37）｜真题套路：\(f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}\ln\lvert 1+x\rvert}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}\) 的间断点 \(-1,0,1,2\)；算得 \(x=0\) 可去（极限 \(-\frac{1}{2\mathrm{e}}\)）、\(x=-1,2\) 为无穷、\(x=1\) 左极限 0、右极限 \(-\infty\)（原式分母在 \(1^+\) 附近为负），也是第二类 ⟹ 第二类共 3 个，选(C)
💡 \(\mathrm{e}^{\infty}\) 要分 \(\mathrm{e}^{+\infty}\)、\(\mathrm{e}^{-\infty}\)（\(x=1\) 两侧 \(\frac{1}{x-1}\) 异号是本题命门）
★P74（例1.38）｜极限定义的函数 \(f(x)=x^2\)（\(x\) 整数）/ \(x(1-x)\)（其他）：整数分段点处比较 \(x^2\) 与 \(x(1-x)\) 的值——只有第一类间断点，选(B)

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第1讲必背结论速查表¶

等价无穷小 9+5+2 组：见必背的等价无穷小有哪几组？怎么"广义化"？
泰勒 8 式：见泰勒公式必背哪 8 个展开式？
速度链：\(\ln^{\alpha}x\ll x^{\beta}\ll a^x\)；\(\ln^{\alpha}n\ll n^{\beta}\ll a^n\ll n!\ll n^n\)
\(1^{\infty}\)：\(\lim u^v=\mathrm{e}^{\lim(u-1)v}\)；幂指 \(u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\)
★\(\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha}\lvert\ln x\rvert^{\beta}=0\)（\(\alpha,\beta>0\)）；★\((1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}\sim-\frac{\mathrm{e}}{2}x\)（\(x\to 0^+\)）；★\(\lim\limits_{x\to\infty}\bigl(1+\frac{a}{x}\bigr)^{bx+d}=\mathrm{e}^{ab}\)
定参结论：\(\lim\frac{f}{g}=A\) 且 \(g\to 0\) ⟹ \(f\to 0\)；\(\lim\frac{f}{g}=A\neq 0\) 且 \(f\to 0\) ⟹ \(g\to 0\)
保号性：\(\lim f=A>0\) ⟹ 去心邻域 \(f>0\)；\(f\geqslant 0\) ⟹ \(A\geqslant 0\)

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第1讲解题路线图——极限题先问自己四个问题¶

一问类型：代入一下，是七种未定式里的哪种？不是未定式直接算
二问化简：能不能提非零因子/等价替换/恒等变形/换元？（化简先行，2023 大题第一步就是化简）
三问工具：\(\frac{0}{0}\) 优先泰勒（上下同阶），\(\frac{\infty}{\infty}\) 抓大头或洛必达，\(0\cdot\infty\) 简单因式下放，\(\infty-\infty\) 通分或倒代换，幂指 \(\mathrm{e}\) 抬起（\(1^{\infty}\) 走专用公式），取整/振荡走夹逼
四问陷阱：要不要分左右？（\(\mathrm{e}^{\infty}\)、\(\arctan\infty\)、\(\lvert x\rvert\)、\([x]\)、分段点）抽象函数别乱洛必达；加减位置别乱等价替换
🧠 数二考纲内这套流程覆盖第 1 讲全部计算题型；练熟的标准是"三问之内动笔"

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第1讲习题精华——值得单独记住的 6 个结论¶

★P69–75｜习题 1.9：\(\lim\limits_{x\to+\infty}x\bigl(a^{\frac{1}{x}}-b^{\frac{1}{x}}\bigr)=\ln\frac{a}{b}\)（\(a,b>0\)；倒代换+两个 \(\mathrm{e}^t-1\) 型相减）
习题 1.13：若 \(a_i>0\ (i=1,\ldots,n)\)，则 \(\lim\limits_{x\to 0}\bigl(\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\bigr)^{\frac{n}{x}}=a_1a_2\cdots a_n\)（\(1^{\infty}\) 公式+\(\frac{a_i^x-1}{x}\to\ln a_i\)）
习题 1.14：\(\lim\limits_{x\to 0}\bigl[a\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+(1+\lvert x\rvert)^{\frac{1}{x}}\bigr]\) 存在 ⟹ 左右极限分别为 \(2a+\frac{1}{\mathrm{e}}\) 与 \(\mathrm{e}\)，相等解得 \(a=\frac{\mathrm{e}}{2}-\frac{1}{2\mathrm{e}}\)——\(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\) 与 \(\lvert x\rvert\) 双重"分左右"
习题 1.15：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2\) ⟹ \(a=1\)，\(b=-\frac{5}{2}\)（泰勒比对：\(1-a=0\)，\(-\frac{1}{2}-b=2\)）
习题 1.16：\(f(x)=x-(a+b\cos x)\sin x\) 是 \(x\) 的 5 阶无穷小 ⟹ \(\sin x\)、\(\sin 2x\) 分别展到 \(x^5\)，令 \(x\)、\(x^3\) 系数为零：\(a=\frac{4}{3}\)，\(b=-\frac{1}{3}\)
⚠️ 习题 1.12 的错误示范（书专门标注）：\(\lim\limits_{x\to 0}\bigl(\frac{\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x-1}-\frac{1}{x}\bigr)\) 中把分母 \(\mathrm{e}^x-1\) 单独替换成 \(x\) 再通分会得出错误答案 2（正确是 \(\frac{3}{2}\)）——加减未分离前，分母替换要整体通分后再做
🧠 习题 1.11 附赠图像：\(\arcsin(\sin x)\) 是周期 \(2\pi\) 的三角波（\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) 上 \(=x\)，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\) 上 \(=\pi-x\)）——和 \(x-[x]\)、\(\lvert\arcsin(\sin x)\rvert\) 一样是"周期化装置"，二重积分与图像题里会再遇到

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第1讲 函数、极限与连续