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第8讲 积分学的概念与性质

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第8讲 积分学的概念与性质

簇8A：原函数与不定积分

原函数为什么强调"一个"？不定积分是什么？

  • ★P202｜\(F'(x)=f(x)\) 对区间 \(I\) 上每一点成立 ⟹ \(F\) 是 \(f\) 在 \(I\) 上的一个原函数；\(\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\) 是全体原函数（\([F+C]'=f\)，原函数有无穷多个）
  • ⚠️ 谈原函数与不定积分必须指明区间
  • ★P202（例8.1）｜在 \(0<x<1\) 上，\(\int(1-x^2)f(x^2)\mathrm{d}x=\arcsin x+C\) ⟹ 两边求导：\((1-x^2)f(x^2)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ⟹ \(f(x^2)=(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}\) ⟹ \(f(x)=(1-x)^{-\frac{3}{2}}\)，选(B)
  • ★P202–203（例8.2）｜选"分段函数的一个原函数"：\(F'=f\) ⟹ \(F\) 处处可导 ⟹ 处处连续——先用连续性排除拼接处左右极限不等的选项，再对剩余选项求导验证
  • 🧠 两个方向的题：给 \(\int f\mathrm{d}x=\cdots+C\) 求 \(f\)（求导）；给 \(f\) 选 \(F\)（先验连续、再验导数）——原函数的可导性是隐藏的免费条件
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什么函数有原函数？什么函数一定没有？

  • ★P203｜连续函数必有原函数（证明思路：\(F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\)，用积分中值定理证 \(F'=f\)；不作要求但要懂思路）
  • ★P204｜含第一类间断点（可去、跳跃）和无穷间断点的函数，在包含该间断点的区间内必没有原函数——证明用"导数极限定理"逐类导出矛盾
  • 深层原因：导函数必定没有第一类间断点和无穷间断点（若 \(F'\) 在 \(x_0\) 有可去/跳跃/无穷间断，洛必达都会推出 \(F'(x_0)\) 等于极限值或不存在，矛盾）
  • ★P206（注3）｜振荡间断点不确定：\(f=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)（\(x\neq 0\)）、\(f(0)=0\) 有原函数 \(F=x^2\sin\frac{1}{x}\)；而 \(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\) 型没有——要么验证要么背例子
  • ★P207（注5）导函数三性质：①\(f'\) 存在且在一点极限存在 ⟹ \(f'\) 在该点连续（对比：函数极限存在推不出连续）②导函数存在的点不会是导函数的第一类间断点 ③\(f\) 可导 ⟹ \(f'\) 可能连续、也可能含振荡间断点
  • 🧠 一句话记："可导求导出来的东西"很挑剔——只可能连续或振荡断，绝不跳、不可去、不无穷；见到"\(F'\) 在 \(x_0\) 跳跃"这种设定直接判错
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达布定理说了什么？

  • ★P205｜达布定理（导数介值定理）：\(f\) 在 \([a,b]\) 可导，\(f_+'(a)\neq f_-'(b)\) ⟹ 对介于 \(f_+'(a)\) 与 \(f_-'(b)\) 之间任意 \(u\)，存在 \(\xi\in(a,b)\) 使 \(f'(\xi)=u\)
  • 证明：令 \(F=f-ux\) ⟹ \(F'=f'-u\) 两端异号 ⟹ 例6.3 导数零点定理 ⟹ \(F'(\xi)=0\)
  • 推论：\(f'\) 存在且 \(\neq 0\) ⟹ \(f'\) 必保号（恒正或恒负）⟹ \(f\) 单调（反证：若有正有负，介值到 0 矛盾）
  • ⚠️ \(f'\) 未必连续，所以不能用"连续函数介值定理"，达布定理正是绕开连续性的版本
  • 🧠 应用识别：题目说"\(f\) 可导且 \(f'\neq 0\)"就是在暗示单调性；这也是反函数存在的常用铺垫
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簇8B：定积分的定义与存在性

定积分定义的关键词有哪些？凑定义公式长什么样？

  • ★P210–212｜定义：分割（任意）→ 取点（任意 \(\xi_k\)）→ 求和 → \(\lambda=\max\Delta x_k\to 0\) 时极限存在且与分法取法无关 ⟹ 可积，记 \(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum f(\xi_k)\Delta x_k\)（黎曼积分）
  • ⚠️ 是 \(\lambda\to 0\) 不是 \(n\to\infty\)（分割要"越来越细"，不只是"块数多"）
  • 特取（\(n\) 等分+右端点）：\(\int_a^bf\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\bigl(a+\frac{b-a}{n}i\bigr)\frac{b-a}{n}\)；★★★最常用：\(\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\bigl(\frac{i}{n}\bigr)\)
  • 几何意义：\(f\geqslant 0\) 面积；\(f\leqslant 0\) 面积负值；有正有负=上方面积减下方面积（代数和）
  • 定积分的值与积分变量字母无关：\(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^bf(t)\mathrm{d}t\)
  • 🧠 \(\int\) 是拉长的 S（summa 求和），\(f(x)\mathrm{d}x\) 读作"高×底"——记号本身就是"无穷条竖条加起来"
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什么函数可积？可积和有原函数是一回事吗？

  • ★P212–213｜可积充分条件：①\([a,b]\) 连续 ②\([a,b]\) 单调 ③有界且只有有限个间断点 ④有限个第一类间断点；必要条件：可积 ⟹ 有界（无界时某竖条面积可任意大）
  • ★P214–215（例8.3 ★真题级）｜可积性与原函数存在性互相独立，四例辨析：跳跃间断（\(\mathrm{sgn}\) 型）⟹ 无原函数但可积；\(2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}\) ⟹ 有原函数（\(x^2\sin\frac{1}{x^2}\)）但邻域无界不可积；\(\frac{1}{x}\) 型无穷间断 ⟹ 都不存在；\(2x\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}\) 有界振荡间断 ⟹ 都存在——正确 2 个，选(B)
  • 💡 分析栏总结：原函数存在定理管"连续/间断类型"；定积分存在定理管"有界+间断个数"——两套判据分开背
  • 🧠 快查表：跳跃间断→可积✓原函数✗；有界振荡→可积✓原函数？（看例子）；无界→不可积，但完整的函数组合仍可能有原函数（如上一行 \(2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2}\)，不要把其中一项单独当反例）；无穷间断→双✗
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簇8C：定积分性质与积分中值定理

定积分的六条性质哪几条常考？

  • ★P213–216｜规定：\(\int_a^af=0\)；\(\int_a^bf=-\int_b^af\)。性质1 \(\int_a^b\mathrm{d}x=b-a\)；性质2 线性；性质3 可拆：无论 \(a,b,c\) 大小 \(\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf\)
  • 性质4 保号性（以 \(a<b\) 为默认积分方向）：\(f\leqslant g\) ⟹ \(\int_a^bf\leqslant\int_a^bg\)；特别地 \(\bigl\lvert\int_a^bf\mathrm{d}x\bigr\rvert\leqslant\int_a^b\lvert f\rvert\mathrm{d}x\)（"亡羊补牢"≤"来而不往"）
  • ★严格不等版（例8.7）：\(f\) 连续、非负、不恒为零 ⟹ \(\int_a^bf>0\)（保号性给 \(f(x_0)>0\) 邻域 \(\geqslant\eta\)，小区间贡献 \(2\eta\delta>0\)）；推论：连续 \(f\geqslant g\) 且不恒等 ⟹ \(\int f>\int g\)（严格）
  • 性质5 估值：若 \(m\leqslant f(x)\leqslant M\)，则 \(m(b-a)\leqslant\int_a^bf\leqslant M(b-a)\)；★★★性质6 积分中值定理：\(f\) 连续 ⟹ \(\int_a^bf=f(\xi)(b-a)\)，\(\xi\in[a,b]\)
  • ★P218–219（例8.8 注）｜开区间版 \(\xi\in(a,b)\) 也成立且真题考过，可在大题直接使用：方法一 \(F=\int_a^xf\) 用拉格朗日；方法二 常数 \(k\) 法 \(k=\frac{\int_a^bf}{b-a}\) 构造 \(F=\int_a^xf-k(x-a)\) 用罗尔
  • 🧠 见到 \(\int_a^bf\mathrm{d}x\) 两个反应（蓝批注）：①积分中值定理换成 \(f(\xi)(b-a)\) ②改写成 \(\int_a^xf\) 的端点值做辅助函数——第 11 讲积分证明题的两大起手式
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定积分比大小有哪三板斧？

  • ★P219–220（例8.9）｜\(I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x\) vs \(I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x}\mathrm{d}x\)：\((0,\frac{\pi}{4})\) 上 \(\tan x>x\) ⟹ \(\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x}\) ⟹ \(I_1>I_2\)；再用 \(\frac{\tan x}{x}<\frac{4}{\pi}\)（第 2 讲不等式⑦）⟹ \(I_1<1\) ⟹ 选(B) \(1>I_1>I_2\)
  • 板斧一：被积函数逐点比大小（保号性）；板斧二：作差 \(I_2-I_1=\int(\cdots)\) 判被积函数符号；板斧三：背常用不等式（\(\sin x<x<\tan x\)、\(\frac{2}{\pi}x<\sin x\)、\(\tan x<\frac{4}{\pi}x\)）
  • ★P220–221（例8.10）｜\(M=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(\sin x)\mathrm{d}x\)，\(N=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\cos x)\mathrm{d}x\)：由 \(\sin(\sin x)\leqslant\sin x\) 得 \(M<1\)；★关键恒等式 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x\)（令 \(x=\frac{\pi}{2}-t\)）⟹ \(N=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\sin t)\mathrm{d}t>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,\mathrm{d}t=1\) ⟹ \(M<1<N\)，选(A)
  • ★P217（例8.4）｜反函数积分 \(\int_0^af(x)\mathrm{d}x+\int_0^b\varphi(y)\mathrm{d}y\)（\(a<\varphi(b)\)）：画图——两块积分面积合起来盖过矩形 \(ab\) ⟹ \(I>ab\)，选(A)
  • 🧠 抽象积分比大小：逐点比→作差→对称代换→画面积图，四招轮着试；\([0,\frac{\pi}{2}]\) 上 \(\sin\leftrightarrow\cos\) 对称是高频"隐藏通道"
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簇8D：n 项和极限——凑定积分定义

"凑定积分定义"的三步是什么？和夹逼怎么分工？

  • ★P217（例8.6 ★）｜\(\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2}\bigr)\)：夹逼失效（两侧极限 \(\frac{3}{4}\neq\frac{3}{2}\) 卡不住）⟹ 凑定义：①先提 \(\frac{1}{n}\) ②再凑 \(\frac{i}{n}\)：\(\sum\frac{1+\frac{i}{n}}{1+(\frac{i}{n})^2}\cdot\frac{1}{n}\) ③\(\frac{i}{n}\) 读作"0 到 1 上的 \(x\)"、\(\frac{1}{n}\) 读作 \(\mathrm{d}x\) ⟹ \(\int_0^1\frac{1+x}{1+x^2}\mathrm{d}x\)，选(A)
  • ★P233（注）常见三式：\(\sum\frac{1}{n+i}\to\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln 2\)；\(\sum\frac{n}{n^2+i^2}\to\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}\)；\(\sum\frac{1}{\sqrt{n^2+ni}}\to\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x}}=2\sqrt{2}-2\)（习题8.4）
  • 分工判据（蓝批注）：\(n\) 项和极限先提 \(\frac{1}{n}\)，能凑成 \(f(\frac{i}{n})\) 就定积分定义；凑不成（分母差异是低阶量）先放缩再夹逼——夹逼两侧相同用夹逼，不同用定义
  • ★P233–234（习题8.5 混合版）｜\(\sum\frac{\sin\frac{i\pi}{n}}{n+\frac{1}{i}}\)：分母既非全 \(n\) 又凑不出 \(\frac{i}{n}\) ⟹ 先放缩（\(n+1\geqslant n+\frac{1}{i}\geqslant n\)）再各自用定义，两侧都 \(\to\int_0^1\sin\pi x\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\)
  • 🧠 变形 \(\frac{2i-1}{2n}\)（中点）也读作 \(x\)；一切关键在"每项化成 \(\frac{1}{n}\times\)（只含 \(\frac{i}{n}\) 的表达式）"
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簇8E：变限积分——考研最爱的"函数制造机"

变限积分的三条性质是什么？（★★★背到条件反射）

  • ★P221–222｜\(F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\)：(1) \(f\) 在 \(I\) 可积 ⟹ \(F\) 在 \(I\) 连续（\(\lvert F(x+\Delta x)-F(x)\rvert\leqslant M\lvert\Delta x\rvert\)）——变限积分只要存在就连续
  • ★★★(2) \(f\) 在 \(I\) 连续 ⟹ \(F\) 可导且 \(F'(x)=f(x)\)（积分中值定理 \(\frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f=f(\xi)\to f(x)\)）——这就是"连续必有原函数"的证明
  • (3) \(x_0\) 是 \(f\) 唯一的跳跃间断点 ⟹ \(F\) 在 \(x_0\) 不可导，且 \(F_-'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\)、\(F_+'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\)（洛必达）；\(x_0\) 是唯一可去间断点 ⟹ \(F\) 在 \(x_0\) 可导，\(F'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)\)——⚠️ 此时 \(F\) 可导但不是 \(f\) 的原函数（\(F'(x_0)\neq f(x_0)\)）
  • 🧠 一张嘴诀："可积连续、连续可导、跳跃折角、可去照导"——左右导数=左右极限，跟第 3 讲"导数极限定理"同一机制
  • 🧠 与间断点类型联动：\(f\) 跳一下，\(F\) 只折个角（连续不可导）；积分是"抹平器"，每积一次光滑一档
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变限积分的图形题和分段题怎么秒？

  • ★P222–223（例8.11 图形真题）｜给 \(f\) 图形选 \(F=\int_0^xf\) 图形，三要点：①变限积分必连续（排除断开的）②\(f\) 有两个跳跃间断点 ⟹ \(F\) 恰有两个折角（不可导点）③\(F(0)=\int_0^0=0\) 必过原点——选(D)
  • ★P223（例8.12）｜\(f=\cos x\)（\(0\leqslant x<\pi\)）/ \(1\)（\(\pi\leqslant x\leqslant 2\pi\)）：\(x=\pi\) 跳跃 ⟹ \(F\) 连续但不可导，选(C)；亦可分段积出 \(F=\sin x\) / \(x-\pi\) 后验证 \(F_-'(\pi)=-1\neq 1=F_+'(\pi)\)
  • ★P224（例8.13）｜\(f=\mathrm{e}^{x^2}+x^2\)（\(x\neq 0\)）/ \(a\)（\(x=0\)）：\(a=1\) 时 \(f\) 连续 ⟹ \(F'(0)=f(0)=1\)；\(a\neq 1\) 时 \(x=0\) 可去间断 ⟹ \(F\) 仍可导 \(F'(0)=\lim f=1\) ⟹ ①②真，选(B)；注：\(a\neq 1\) 时 \(F'(0)=1\neq a=f(0)\)，\(F\) 不是原函数
  • ★P224（例8.14 有界证明）｜设 \(f\in C[0,+\infty)\) 且 \(\lvert f\rvert\leqslant M\)，\(a>0\)。对 \(x\geqslant0\)，\(y=\mathrm{e}^{-ax}\bigl[\int_0^xf(t)\mathrm{e}^{at}\mathrm{d}t+C\bigr]\) 满足 \(\lvert y\rvert\leqslant\lvert C\rvert+M\mathrm{e}^{-ax}\int_0^x\mathrm{e}^{at}\mathrm{d}t=\lvert C\rvert+\frac{M}{a}(1-\mathrm{e}^{-ax})\leqslant\lvert C\rvert+\frac{M}{a}\)——绝对值不等式+算出积分
  • ★P234（习题8.6）｜\(F=\int_0^x(t-[t])\mathrm{d}t\) 在 \(x=1\)：\(t-[t]\) 在 1 处左极限 1、右极限 0（跳跃）⟹ \(F_-'(1)+F_+'(1)=1+0=1\)
  • 🧠 变限积分题的固定三问：被积函数在哪断？断的类型？→ 查三条性质表——不用真的积出来（能积出来当然更踏实）
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簇8F：反常积分——概念与敛散判别

两类反常积分怎么定义？拆分的铁律是什么？

  • ★P225–226｜无穷区间：\(\int_a^{+\infty}f=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)-F(a)\)，极限存在即收敛；\(\int_{-\infty}^{+\infty}f\) 拆 \(\int_{-\infty}^{x_0}+\int_{x_0}^{+\infty}\)，两个都收敛才收敛
  • ⚠️ \(\int_{-\infty}^{+\infty}x^3\mathrm{d}x\) 发散（不是 0）！不能用对称抵消——只有确认收敛后才有 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f=\lim\limits_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}f\)；"发散+发散=收敛"不存在
  • 无界函数（瑕积分）：瑕点=邻域内无界的点（\(\frac{1}{x}\) 的 0；⚠️ \(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\) 无界振荡，0 也是瑕点）；瑕点在端点用单侧极限，在内部 \(c\) 拆两半、都收敛才收敛
  • ★铁律（注1）：\(\infty\) 和瑕点统称奇点；一个积分中只能有一个奇点，两个及以上必须拆分（例：\(\int_0^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)x^{1-p}}\) 拆 \(\int_0^1+\int_1^{+\infty}\)，习题8.3）
  • 对称区间结论：\(f\) 偶且 \(\int_0^{+\infty}f\) 收敛 ⟹ \(\int_{-\infty}^{+\infty}f=2\int_0^{+\infty}f\)；\(f\) 奇且收敛 ⟹ \(=0\)（前提都是先收敛）
  • 🧠 黎曼可积要求"区间有限+函数有界"；反常积分就是这两条各破一条的"补丁制度"——考题爱问"\(f\) 无界还可积吗"：常义不行，广义可能行
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四个 p 积分结论和比较判别法怎么用？

  • ★P227–231｜★★必背四结论：\(\int_0^1\frac{1}{x^p}\)：\(0<p<1\) 收敛、\(p\geqslant 1\) 发散；\(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\)：\(p>1\) 收敛、\(p\leqslant 1\) 发散；加 \(\ln\) 版：\(\int_0^1\frac{\ln x}{x^p}\)：\(0\leqslant p<1\) 收、\(p\geqslant 1\) 发；\(\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p}\)：\(p>1\) 收、\(p\leqslant 1\) 发（\(\ln\) 不改变敛散分界，\(p=1\) 归发散侧）
  • 记法（蓝批注）：0 端"\(p\) 越小越收敛"、\(\infty\) 端"\(p\) 越大越收敛"；\(p=1\) 两头都发散（\(\ln\) 恰好卡死）
  • 比较判别法：\(0\leqslant f\leqslant g\)，大收小收、小发大发；极限形式（主力）：\(\lim\frac{f}{g}=\lambda\)——\(\lambda\neq 0,\infty\) 同敛散；\(\lambda=0\) 时 \(g\) 收 \(f\) 收；\(\lambda=\infty\) 时 \(g\) 发 \(f\) 发
  • “速度”观点：\(x\to 0^+\) 时 \(\sin x\sim x\) ⟹ \(\int_0^1\frac{1}{\sin^px}\) 与 \(\int_0^1\frac{1}{x^p}\) 同款；\(x\to+\infty\) 时，在 \(a>0\)（从而 \(x\) 充分大时 \(ax+b>0\)）的前提下，\(ax+b\sim ax\) ⟹ \(\int_1^{+\infty}\frac{1}{(ax+b)^p}\) 与 \(\frac{1}{x^p}\) 同款——盯着奇点做等价替换，化归 p 积分
  • 补充结论：\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^pf(x)=\lambda\geqslant 0\) 且 \(p>1\) ⟹ \(\int_1^{+\infty}f\) 收敛
  • 🧠 判敛散标准流程：找全奇点 → 拆到一段一个 → 每段盯着奇点等价/放缩到 p 积分；等价用的就是第 1 讲那套无穷小功夫
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含参数的敛散题怎么定范围？

  • ★P227–228（例8.15）｜\(\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^a+x^b}\)（\(a>b>0\)）：拆 \(\int_0^1+\int_1^{+\infty}\)；\(x\to 0^+\) 时 \(x^a+x^b\sim x^b\) ⟹ 要 \(b<1\)；\(x\to+\infty\) 时 \(\sim x^a\) ⟹ 要 \(a>1\)——选(B) \(a>1\) 且 \(b<1\)（小头听小指数、大头听大指数）
  • ★P228（例8.16）｜\(\int_1^{+\infty}\bigl(\mathrm{e}^{-\cos\frac{1}{x}}-\mathrm{e}^{-1}\bigr)x^k\)：提 \(\mathrm{e}^{-1}\) 后 \(\mathrm{e}^{1-\cos\frac{1}{x}}-1\sim 1-\cos\frac{1}{x}\sim\frac{1}{2x^2}\) ⟹ 同 \(\int\frac{1}{x^{2-k}}\) ⟹ \(2-k>1\) 即 \(k<1\)
  • ★P228–229（例8.17）｜发散的是 \(\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{\sin x}\)（瑕点 0，\(\frac{1}{\sin x}\sim\frac{1}{x}\) 两侧都发散）；(A) 用 \(\frac{1}{1+x}<\ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}\) 放缩 \(0<\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}<\frac{1}{x(x+1)}<\frac{1}{x^2}\) 收敛；(D) \(\bigl\lvert\frac{\sin x}{1+x^2}\bigr\rvert\leqslant\frac{1}{1+x^2}\) 收敛
  • ★P234–235（习题8.7）｜\(\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^px}\)：换元 \(u=\ln x\) 化为 \(\int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}u}{u^p}\) ⟹ \(p>1\) 收敛、\(p\leqslant 1\) 发散——\(\frac{1}{x\ln^px}\) 型条件反射换 \(\ln\)
  • 🧠 参数题口诀：每个奇点各给一个不等式，交集为答案；等价替换时"盯着"奇点方向看谁是主项（低次幂管 \(0\) 端、高次幂管 \(\infty\) 端）
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