第12讲积分应用(三)——物理应用（数二全考，经济应用是数三的）

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第12讲积分应用(三)——物理应用（数二全考，经济应用是数三的）¶

★P301｜方向沿 \(x\) 正向的力 \(F(x)\)（\(a\leqslant x\leqslant b\)），物体从 \(a\) 移到 \(b\)：\(W=\int_a^bF(x)\mathrm{d}x\)，功的微元 \(\mathrm{d}W=F(x)\mathrm{d}x\)——几何上是曲边梯形面积，物理上是变力做功
★P301（例12.1）｜铁锤钉钉：阻力与深度成正比 \(f=kx\)，第一锤入 1 cm，每锤做功相等，问第二锤进多少：\(W_1=\int_0^1kx\mathrm{d}x=\frac{k}{2}\)；\(W_2=\int_{1}^{x_2}kx\mathrm{d}x=\frac{k}{2}x_2^2-\frac{k}{2}\)；\(W_2=W_1\) ⟹ \(x_2=\sqrt{2}\) ⟹ 又击入 \((\sqrt{2}-1)\) cm
💡 解题三步（分析栏模板）：①翻译成数学语言+引入记号（成正比 \(f=kx\)、功相等 \(W_1=W_2\)）②取微元 ③积分
🧠 物理应用没有新数学，全部是"微元 \(\mathrm{d}W\)（或 \(\mathrm{d}P\)）=什么"这一句话的翻译功夫

★P302｜把容器中水全部抽出（抽到容器口）：\(W=\rho g\int_a^bxA(x)\mathrm{d}x\)——微元 \(\mathrm{d}W=\underbrace{\rho gA(x)\mathrm{d}x}_{\text{力（一层水重）}}\cdot\underbrace{x}_{\text{位移}}\)；\(x\) 轴竖直向下、原点在水面/容器口
关键是确定 \(x\) 处的水平截面面积 \(A(x)\)，其余量都是固定搭配
★P302（例12.2）｜倒圆锥（高 \(a\)、上底半径 \(b\)）满水从顶部抽出：相似三角形 \(r=\frac{b(a-x)}{a}\) ⟹ \(A(x)=\frac{\pi b^2(a-x)^2}{a^2}\) ⟹ \(W=\rho g\int_0^ax\cdot\frac{\pi b^2(a-x)^2}{a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{12}\rho ga^2b^2\pi\)
★P308–309（习题12.3 变式 ★）｜半径 4 m 半球水池抽到距原水面 6 m 高的水箱：\(y\) 处水面面积 \(\pi(16-y^2)\)，提升距离是 \((6-y)\) ⟹ \(W=\int_{-4}^{0}(6-y)\rho g\pi(16-y^2)\mathrm{d}y=320\pi\rho g\approx 9847\) kJ
⚠️ 抽到"高处"时位移不是 \(x\) 而是"目标高度−当前高度"——先写清坐标系与位移表达式再积分
🧠 一句话：每一层水单独算运费（重量×路程），再全部加起来；坐标系向下还是向上都行，位移别写反

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★P303｜垂直浸没水中的平板（\(x\) 轴竖直向下表水深，曲线 \(y=f(x)\) 与 \(y=h(x)\) 夹出平板）：\(P=\rho g\int_a^bx[f(x)-h(x)]\mathrm{d}x\)——微元 \(\mathrm{d}P=\rho gx\cdot[f(x)-h(x)]\mathrm{d}x\)（压强 \(\rho gx\) × 水平条面积）
特点：压强随深度改变而改变（同一深度处各方向压强相同）⟹ 必须水平切条；关键是确定水深 \(x\) 处平板的宽度 \(f(x)-h(x)\)
★P303（例12.3）｜斜边 \(2a\) 的等腰直角三角板，斜边与水面相齐：建系（斜边在水面，直角顶点向下），深 \(y\) 处宽度 \(2(a-y)\) ⟹ \(P=\int_0^a2\rho g(a-y)y\mathrm{d}y=\frac{1}{3}a^3\rho g\)
💡 默认不流动水给的压力为静水压力；套路=建系、取微元、积分
🧠 做功竖直切"层"（每层同深度同位移）、压力水平切"条"（每条同深度同压强）——微元方向由"哪一维上物理量恒定"决定

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★P303｜长 \(l\)、线密度 \(\mu\) 的细棒，右端距质点 \(M\)（质量 \(m\)）为 \(a\)：把棒放在 \([-l,0]\)、\(M\) 在 \(x=a\) 处，微段 \(\mathrm{d}x\) 的质量 \(\mu\mathrm{d}x\) 距 \(M\) 为 \((a-x)\) ⟹ \(F=\int_{-l}^{0}\dfrac{Gm\mu}{(a-x)^2}\mathrm{d}x\)
万有引力定律打底：\(\mathrm{d}F=\frac{Gm\cdot\mu\mathrm{d}x}{r^2}\)，\(r\)=微段到质点的距离
🧠 直线情形直接标量积分；平面曲线棒（数一才爱考）要分方向分量——数二把"棒对点"的一维模型练熟即可

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★P304–306｜三心：质心（质量分布中心）、重心（引力分布中心）、形心（几何中心）；均匀重力场+均质（密度常数）⟹ 三心重合
质心公式：\(\bar{x}=\dfrac{\sum x_im_i}{\sum m_i}\)（连续版分子分母换积分）；力矩 \(M_{L_0}=\sum r_im_i\) 刻画绕 \(L_0\) 旋转趋势
★★古鲁金（Guldin）第一定理：曲线段 \(L\)（长 \(l\)）绕不穿过它的直线 \(L_0\) 旋转一周的侧面积 \(A=2\pi l\cdot r(\bar{x},\bar{y})\)——\(r(\bar{x},\bar{y})\) 是 \(L\) 的形心到旋转轴的距离
★P306（注例必背）｜圆 \(x^2+y^2=1\) 绕 \(x=2\) 旋转的表面积：\(A=2\pi\cdot 2\pi\cdot 2=8\pi^2\)（曲线长 \(2\pi\)、形心即圆心、到轴距离 2）——比硬积分快一个数量级
💡 定理来路：侧面积公式 \(\int 2\pi r\mathrm{d}s\) 与形心距离公式 (12-2) 相除即得；平面区域版（体积=面积×形心走过的周长）就是习题10.2 的 \(2\pi^2k^2b\)
🧠 适用信号：旋转对象是圆、线段这类形心一眼可见的图形；形心难求时它反过来用——由侧面积反解形心位置

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