附录精华（配合各讲使用）

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附录精华（配合各讲使用）

附录1：图像变换与对称性判别怎么速查？

• ★P552–554｜平移：\(y=f(x\pm a)\) 左/右移（"左加右减"）；\(y=f(x)\pm b\) 上/下移
• 对称：\(-f(x)\) 关于 \(x\) 轴；\(f(-x)\) 关于 \(y\) 轴；\(-f(-x)\) 关于原点；\(f^{-1}(x)\) 关于 \(y=x\)
• 翻折：\(\lvert f(x)\rvert\)=下方翻上去（\(\lvert\sin x\rvert\)、\(\lvert\ln x\rvert\) 要熟）；\(f(\lvert x\rvert)\)=保留右侧、右翻左（左侧原图丢弃）
• 伸缩：\(f(kx)\)（\(k>1\)）横向压缩到 \(\frac{1}{k}\)；\(kf(x)\)（\(k>1\)）纵向拉伸 \(k\) 倍
• ★对称判别（令曲线写成 \(F(x,y)=0\)，7 条）：\(F(x,y)=F(-x,y)\) ⟹ 关于 \(y\) 轴；\(F(x,y)=F(2a-x,y)\) ⟹ 关于 \(x=a\)；\(F(x,y)=F(x,-y)\) ⟹ 关于 \(x\) 轴；\(F(x,y)=F(x,2b-y)\) ⟹ 关于 \(y=b\)；\(F(x,y)=F(-x,-y)\) ⟹ 关于原点；\(F(x,y)=F(2a-x,2b-y)\) ⟹ 关于点 \((a,b)\) 中心对称；\(F(x,y)=F(y,x)\) ⟹ 关于 \(y=x\)——隐函数曲线也照此代换判别
• 应用示例（蓝批注）：摆线 \(x=t-\sin t\)，\(y=1-\cos t\) 代 \(t\to 2\pi-t\) 得 \(F(x_1,y_1)=F(2\pi-x_1,y_1)\) ⟹ 关于 \(x=\pi\) 对称
• 🧠 第 5 讲作图、第 14 讲二重积分对称性全部吃这张表；判别式方法比"看图感觉"可靠

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附录2：十条常用平面曲线哪几条必须会画？

• ★P555–557｜心形线 \(r=a(1-\cos\theta)\)（尖朝右，还有 \(1+\cos\)、\(1\pm\sin\) 三兄弟，转 90° 区分）；双纽线 \(r^2=a^2\cos 2\theta\)（横 8 字）与 \(r^2=a^2\sin 2\theta\)（斜 45° 的 8 字）
• 阿基米德螺线 \(r=a\theta\)（\(\theta\geqslant 0\)，越转越远）；对数螺线 \(r=\mathrm{e}^{a\theta}\)；双曲螺线 \(r\theta=a\)
• 玫瑰线：\(r=a\sin 3\theta\)/\(a\cos 3\theta\) 三叶；\(r=a\sin 2\theta\)/\(a\cos 2\theta\) 四叶
• 摆线（平摆线） \(x=a(t-\sin t)\)，\(y=a(1-\cos t)\)：一拱 \(t\in[0,2\pi]\)，顶点 \((\pi a,2a)\)——面积 \(3\pi a^2\)、弧长 \(8a\)
• 星形线 \(x=a\cos^3t\)，\(y=a\sin^3t\) 即 \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\)：内摆线，全长 \(6a\)；笛卡儿叶形线 \(x^3+y^3-3axy=0\)
• 🧠 考频排序：摆线＞星形线＞心形线＞双纽线＞玫瑰线；每条都问自己三件事——参数范围、对称性、与坐标轴交点

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附录4：三角公式和代数公式哪些是"隐性考点"？

• ★P561–563｜诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限（\(\frac{k\pi}{2}\pm\alpha\)，\(k\) 奇改名、\(k\) 偶同名）；蓝批注圈出 8 个易熟视无睹的：\(\sin(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\cos\alpha\)、\(\cos(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha\)、\(\sin(\pi\pm\alpha)=\mp\sin\alpha\)、\(\cos(\pi\pm\alpha)=-\cos\alpha\)
• 倍角与降幂：\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)；\(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\)、\(\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\)（积分降幂主力）
• 积化和差（求高阶导、原函数用）：\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\)；\(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\)；和差化积：\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
• 万能公式：\(u=\tan\frac{x}{2}\) ⟹ \(\sin x=\frac{2u}{1+u^2}\)，\(\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\)
• 代数：韦达定理 \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)、\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)；★\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)；\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})\)；二项式定理
• 双阶乘：\((2n)!!=2^nn!\)；\((2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)\)——点火公式的分子分母就是它们
• 🧠 考研不单独考三角，但每年都在积分、高阶导、二重积分里"暗考"；降幂与积化和差是两大主力

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附录5：双曲函数一家该记住什么？

• ★P564–568｜定义：\(\mathrm{sh}\,x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\)（奇、单调增）；\(\mathrm{ch}\,x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\)（偶、悬链线、最小值 1）；\(\mathrm{th}\,x=\frac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x}\)（奇、水平渐近线 \(y=\pm 1\)）
• 基本关系：\(\mathrm{e}^x=\mathrm{ch}\,x+\mathrm{sh}\,x\)；★\(\mathrm{ch}^2x-\mathrm{sh}^2x=1\)（对比 \(\sin^2+\cos^2=1\)，符号反）；\(\mathrm{sh}\,2x=2\,\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{ch}\,x\)；\(\mathrm{ch}\,2x=\mathrm{ch}^2x+\mathrm{sh}^2x\)
• 求导（可自推）：\((\mathrm{sh}\,x)'=\mathrm{ch}\,x\)；\((\mathrm{ch}\,x)'=\mathrm{sh}\,x\)（无负号！与三角不同）
• ★反双曲函数=对数：\(\mathrm{arsh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)（全轴，奇）；\(\mathrm{arch}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)（\(x\geqslant 1\)，取主值支）；\(\mathrm{arth}\,x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\)（\(\lvert x\rvert<1\)）
• 推导锚点：\(y=\mathrm{arsh}\,x\) ⟹ \((\mathrm{e}^y)^2-2x\mathrm{e}^y-1=0\) 解二次方程取正根；化简用 \(\ln(x-\sqrt{x^2-1})=-\ln(x+\sqrt{x^2-1})\)
• 🧠 这就是第 1 讲 \(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\) 三结论的"娘家"：它是 \(\mathrm{sh}\) 的反函数，所以奇、所以导数 \(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)；\(\mathrm{arth}\) 就是 \(\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\)——积分表里的老朋友全在这一家

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附录6：等式变形的十二般武艺是什么？

• ★P569–579｜张宇总纲：解题=在条件与结论间搭桥，每一步都是变形。清单：(1)定义法（回归 \(\varepsilon\)–\(\delta\)、导数定义——\(\lim\frac{f(x)}{x-x_0}=a\) 且 \(f\) 连续 ⟹ \(f(x_0)=0\)、\(f'(x_0)=a\)；\(\lim\frac{f(x)}{(x-x_0)^2}=a\) ⟹ 还多送 \(f'(x_0)=0\)；两曲线相切 ⟹ \(f=g\)、\(f'=g'\) 于切点）
• (2)公式法（认公式特征与成立条件）；(3)换元法：复杂部分代换／平移换元（宏观 \(t=x-1\)、微观"见缝插针" \(c=a+\varepsilon\)）／消元换元（\(x_1=x_2+t\)、\(x_1=tx_2\)、零和 \(x=\frac{a}{2}\pm t\)）／商抵换元（\(x_1x_2=a^2\) ⟹ \(x_1=ta\)，\(x_2=\frac{a}{t}\)）
• (4)相消法：裂项 \(\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})\)、\(\frac{\mathrm{e}^{-n}(\mathrm{e}-1)}{(1-\mathrm{e}^{-n})(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-n})}=\frac{1}{\mathrm{e}^n-1}-\frac{1}{\mathrm{e}^{n+1}-1}\)（同形分解意识）；共轭有理化 \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)；乘除相消 \(a_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdots\frac{a_2}{a_1}a_1\)；错位相消（等比求和的推导）
• (5)同除法或解方程法：对多项式或同类表达式作带余除法，写成“商＋余项/除式”，或在等式两边同除一个已确认非零的因子，以降次、分离主项。(6)倒置法：等式两边均非零时取倒数，把“分母中的和差”转成更熟悉的商式或递推式；取倒数前必须先验非零
• (7)平方开方法：\(x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2\)；\(1+\sin 2\theta=(\sin\theta+\cos\theta)^2\)；\(\lvert a+b\rvert=\sqrt{A+2B}\)（\(a^2+b^2=A\)，\(ab=B\)）
• (8)特殊值法（\(f(1)\)、\(f(-1)\)、\(f'(1)\) 榨系数组合）；(9)因式分解 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)，因而仅当 \(a\neq b\) 时才可写 \(a^2+ab+b^2=\frac{a^3-b^3}{a-b}\)；(10)非负整数幂和（\(p\in\mathbb N_0\)）\(\sum_{k=1}^{n} k^p\sim\frac{n^{p+1}}{p+1}\)（放缩用；⚠️ 例5 的 \(\sum\sin\frac{k}{n^2}\) 不是 \(\sum f(\frac{k}{n})\frac{1}{n}\) 型，不能用定积分定义，要泰勒放缩+夹逼 → \(\frac{1}{2}\)）
• (11)三角公式法 \(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)；(12)共轭法：见 \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) 想 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)、见 \(a\sin x+b\cos x\) 想 \(b\sin x-a\cos x\)、见 \(\cos ax\cos bx\) 想 \(\sin ax\sin bx\)（相加减得积化和差 ⟹ 例6 求 \((\cos ax\cos bx)^{(n)}\) 先化 \(\frac{1}{2}[\cos(a+b)x+\cos(a-b)x]\) 再套高阶导公式）
• 零碎四小技：加项减项 \(a=a+b-b\)；除项乘项；1 的转化（\(1=\sin^2+\cos^2=\mathrm{e}^0\)）；当 \(a,c>0\) 时，取对数可把 \(a^b=c^d\) 化为 \(b\ln a=d\ln c\)
• 🧠 把这页当"卡壳急救包"：题做不动时按 12 条清单逐一过——90% 的卡壳是缺一步变形

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附录6：不等式放缩的"目标导航"怎么用？

• ★P579–584｜蓝批注的精髓是给每条不等式标了放缩方向：对 \(a,b>0\)，见 \(\sqrt{ab}\) 为目标 ⟹ 用 \(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)；见 \(a^2+b^2\) ⟹ \(\geqslant 2ab\)、\(\geqslant\frac{(a+b)^2}{2}\)；见 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) ⟹ \(\geqslant\frac{4}{a+b}\)；见 \((x-a)^2+(b-x)^2\) ⟹ 夹在 \(\frac{(b-a)^2}{2}\) 与 \((b-a)^2\) 之间（\(x\in[a,b]\)）
• 柯西不等式：\((a_1b_1+a_2b_2)^2\leqslant(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\)；若 \(f,g\) 在 \([a,b]\) 上平方可积（连续函数当然满足），则积分版为 \(\bigl[\int_a^bfg\mathrm{d}x\bigr]^2\leqslant\int_a^bf^2\mathrm{d}x\cdot\int_a^bg^2\mathrm{d}x\)
• 条件不等式常用：对 \(a,b>0\)，若 \(ab=A\)，则 \(a+b\geqslant2\sqrt A\)；对任意实数 \(a,b\)，若 \(a+b=A\)，则 \(ab\leqslant\frac{A^2}{4}\)（如 \(x_0(1-x_0)\leqslant\frac{1}{4}\)）；\(0<a<1\) ⟹ \(\frac{a}{2}<\frac{a}{1+a}<a\)、\(\frac{a}{1-a}>a\)；\(a_n>0\) 单调减 ⟹ \(a_{n+1}\leqslant\sqrt{a_na_{n+1}}\)
• ★初等函数链（泰勒魂）：\(\mathrm{e}^x\geqslant x+1\)、\(\mathrm{e}^x\geqslant\mathrm{e}x\)；以下含 \(\ln x\)、\(\ln(1+1/x)\)、\(x\ln x\) 的各式均取 \(x>0\)：\(1-\frac{1}{x}\leqslant\ln x\leqslant x-1\)、\(\frac{x}{x+1}\leqslant\ln(1+\frac{1}{x})\leqslant\frac{1}{x}\)、\(\mathrm{e}^x-\ln x>2\)、\(x\ln x\geqslant-\frac{1}{\mathrm{e}}\)；另有 \(\lvert\cos x\rvert\leqslant\lvert x-\frac{\pi}{2}\rvert\)
• 单调性放缩（考研级技巧）：\(f\) 单调减 ⟹ \(\sum_{k=1}^{n-1}f(k+1)\leqslant\int_1^nf(x)\mathrm{d}x\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\)——由此 \(\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\leqslant\ln n\leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}\)；当 \(n>1\) 时进一步有 \(\ln n>\frac{n-1}{n}\)（\(n=1\) 时为等号）
• 凹凸性放缩：若 \(a<b\)、\(f''>0\)（\(x\in(a,b)\)），则对 \(x\in[a,b]\) 有 \(f(x)\leqslant f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)（曲线在弦下方）；积分比较 \(0<a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\mathrm{d}x<\frac{1}{n+1}\)
• 🧠 用法：先认清要放大还是缩小、目标形状是什么，再来这张地图找对应箭头——放缩不是灵感，是查表

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