第7讲 微分学应用(三)——物理应用与相关变化率（数二只考这部分）
第7讲 微分学应用(三)——物理应用与相关变化率（数二只考这部分）¶
导数的物理意义有哪三件？a=v·dv/ds 有什么用？¶
- ★P192–193｜位移方程 \(s=s(t)\)：速度 \(v(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=s'(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\)；加速度 \(a(t)=v'(t)=s''(t)\)；牛顿第二定律 \(F=ma\)
- ★变形（重要）：\(a=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\cdot\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\)——更利于解含 \(s,v\) 不涉及 \(t\) 的相关微分方程问题（第 15 讲再学习）
- 💡 注：微分学中经济应用较多（数三），积分学中物理应用较多——数二的物理大题主战场在第 12 讲
- ⚠️ 本讲注明"仅数学一、数学二"的就是这部分；复利连续复利、边际弹性是数三专属，数二不用看
- 🧠 \(a=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\) 的记法：把 \(t\) 当中间人踢掉，速度对路程的变化率乘速度本身；见"加速度与位置的关系"题第一反应写它
相关变化率题的两步套路是什么？¶
- ★P193｜原理：在各量局部可微且所用之商有意义时，\(\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}=\dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}C}\cdot\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}B}\)——已知两个变化率求第三个；参数方程版：\(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f'(x)\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)——\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\) 与 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) 由 \(f'(x)\) 联系，即相关变化率
- ★方法总结（P194）：①建立相关变量方程（几何/物理关系式）②两边对 \(t\) 求导找出变化率关系，用已知变化率求未知变化率
- ★P194（例7.1）｜\(P\) 在 \(y=x^3\) 上运动，\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_0\) 常数，求 \(P\) 到 \((1,1)\) 时 \(l=\lvert OP\rvert\) 的变化率：\(l=\sqrt{x^2+x^6}\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}v_0\)，代 \(x=1\) 得 \(\frac{8}{2\sqrt{2}}v_0=2\sqrt{2}v_0\)
- 💡 单独出题不难，常见的是速度、位移、加速度与相关变化率的综合题，难在与微分方程结合
- 🧠 隐式关系照样两边对 \(t\) 导（每个随时间变的量都带出一个 \(\frac{\mathrm{d}\square}{\mathrm{d}t}\)），别急着解出显函数
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b_193_16；PDF 第 194 页 · b_194_6两车距离变化率这类题怎么建模？（习题精华）¶
- ★P199–200（习题7.3）｜甲车以 24 km/h 向北、乙车在正东 10 km 处以 20 km/h 向东，1 小时后两车距离的变化率：设 \(AB=s\)、\(OA=x\)、\(CB=y\)，关系式 \(s^2=x^2+(y+10)^2\)；两边对 \(t\) 求导 \(2s\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=2x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2(y+10)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\)；代 \(t=1\) 时 \(x=24\)、\(y=20\)、\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=24\)、\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=20\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{196}{\sqrt{41}}\approx 30.6\) km/h
- ★P199（习题7.1）｜\(P\) 沿 \(x=y^2\)（\(y>0\)）移动，\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=5\) cm/s，\(x=9\) 时到原点距离的变化率：\(s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x}\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{5(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x}}\big|_{x=9}=\frac{95}{6\sqrt{10}}\) cm/s
- 🧠 三步板书模板：画图设变量（都是 \(t\) 的函数）→ 写几何关系式（勾股/相似/体积公式）→ 平方形式直接隐式求导（免开根号，少错一半）；最后统一代入"这一时刻"的数值
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