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第13讲 多元函数微分学

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第13讲 多元函数微分学

簇13A：二重极限与连续

二重极限和一元极限差在哪？哪些工具能照搬？

  • ★P312｜定义（\(\varepsilon\)–\(\delta\)）：\(0<\lvert PP_0\rvert=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\) 时 \(\lvert f(x,y)-A\rvert<\varepsilon\)；⚠️ 一元只有左右两种趋近，二重极限趋近方式有无穷多种（任意路径、任意曲线）
  • ★判不存在：两条不同路径极限值不相等，或某一路径极限不存在 ⟹ 二重极限不存在（用唯一性反证）
  • ★可照搬的一元工具：唯一性、局部有界、保号、四则、脱帽法（\(f=A+\alpha\)）、等价替换（\(\mathrm{e}^{x^2+y^2}-1\sim x^2+y^2\)）、夹逼；⚠️ 洛必达和单调有界准则不能用（没有"对谁求导"、没有"单调"概念）
  • ★P312–313（例13.1）｜\(\frac{\lvert xy\rvert}{\sqrt{x^2+y^2}}\)：\(\lvert xy\rvert\leqslant\frac{x^2+y^2}{2}\) 夹逼 \(\to 0\) 存在；\(\frac{x\lvert y\rvert}{x^2+y^2}\)：沿 \(y=x\) 得 \(\pm\frac{1}{2}\) 不存在——选(A)；判据=分子分母次数：分子次数高才有机会趋 0
  • ★P338（习题13.1）｜\(\frac{x^2y}{x^4+y^2}\) 型沿 \(y=kx^2\) 得 \(\frac{k}{1+k^2}\) 随 \(k\) 而异——路径要跟着分母结构选（齐次配平）
  • 🧠 速判口诀：夹逼证存在（均值不等式压分子）、选路证不存在（让分子分母同次）；连续的定义=极限值等于函数值，二元初等函数在定义区域上连续（例13.2 定 \(a=-\frac{1}{3}\) 就是算一个二重极限）
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簇13B：偏导数——本质是一元导数

偏导数的定义式和几何意义是什么？什么时候必须用定义？

  • ★P314–316｜\(f_x'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\)（增量式+函数差值式都要熟）；对 \(x\) 求偏导=把 \(y\) 冻住当常数
  • 几何意义：\(f_x'(x_0,y_0)\) 是曲面被平面 \(y=y_0\) 截出的曲线在该点切线对 \(x\) 轴的斜率
  • 高阶：\(f_{xx}''\)、\(f_{xy}''\)（先 \(x\) 后 \(y\)）、\(f_{yx}''\)、\(f_{yy}''\)；★两个混合偏导连续 ⟹ 相等（\(f_{xy}''=f_{yx}''\)，与次序无关）
  • ★P316（例13.3）｜\(f=\ln(y+\lvert x\sin y\rvert)\) 在 \((0,1)\)：含绝对值 ⟹ 用定义——由 \(\ln(1+u)\sim u\)，\(f_x'\) 的差商与 \(\frac{\lvert x\sin 1\rvert}{x}\) 等价，右极限为 \(\lvert\sin1\rvert\)、左极限为 \(-\lvert\sin1\rvert\)，故不存在；\(f_y'=\lim\frac{\ln y}{y-1}=1\) 存在，选(A)
  • ★P317（例13.5 ★"先代后求"）｜\(f(x,y)=\int_0^{xy}\mathrm{e}^{-xt^2}\mathrm{d}t\) 求 \(f_x'(1,+\infty)\)：不可拆时先换元 \(u=\sqrt{x}t\)，先算 \(f(x,+\infty)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}\) 再对 \(x\) 求导 \(=-\frac{\sqrt{\pi}}{4}\)——比"先求 \(f_x'(x,y)\) 再代值"简便得多
  • 🧠 求 \(f_x'(x_0,y_0)\) 双通道：能先代 \(y=y_0\) 就先代（变一元函数再导）；分段点/绝对值/给不出表达式时回定义——与一元第 3 讲的纪律完全同构
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簇13C：可微——三步判别法与关系图

可微的定义和判别三步是什么？

  • ★P319–321｜定义：\(\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\) 可写成 \(A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)）⟹ 可微，\(\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y\)
  • ★判别三步：①写全增量 \(\Delta z\) ②写线性增量 \(A\Delta x+B\Delta y\)（\(A=f_x'\)，\(B=f_y'\)）③作极限 \(\lim\limits_{\substack{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}}\dfrac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\)——等于 0 即可微，否则不可微
  • 必要条件：可微 ⟹ 偏导数存在（⚠️ 一元"可微⟺可导"，二元只是单向）；常用充分条件：两个一阶偏导数在该点的某邻域内存在且在该点连续 ⟹ 该点可微
  • ★关系图（图13-6 必背）：偏导连续 ⟹ 可微 ⟹ 连续 + 偏导存在；可微 ⟹ 极限存在；偏导存在推不出连续、推不出极限存在（每条单向箭头都是一道选择题）
  • ★P321–322（例13.8 ★★）｜\(z_1=\lvert xy\rvert\)：偏导都为 0，\(\frac{\Delta z}{\rho}=\frac{\lvert xy\rvert}{\sqrt{x^2+y^2}}\to 0\)（例13.1）⟹ 可微；\(z_2=\frac{x\lvert y\rvert}{\sqrt{x^2+y^2}}\)（补 0）：偏导都为 0 但 \(\frac{\Delta z}{\rho}\) 极限不存在 ⟹ 不可微——选(C)
  • ★P339（习题13.3）｜\(\sqrt{\lvert xy\rvert}\)：偏导存在（都为 0）但 \(\frac{\sqrt{\lvert\Delta x\Delta y\rvert}}{\rho}\) 沿 \(\Delta y=\Delta x\) 为 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\neq 0\) ⟹ 不可微，选(B)
  • 🧠 绝对值型三兄弟结论顺手背：\(\lvert xy\rvert\) 可微、\(\sqrt{\lvert xy\rvert}\) 不可微、\(\lvert x+y\rvert\) 偏导不存在（习题13.5）——考场直接当反例库用
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簇13D：多元链式法则——复合结构图定天下

链式求导的口诀和"1、2 号位置"记号是什么？

  • ★P323｜\(z=f(u,v)\)，\(u=\varphi(x,y)\)，\(v=\psi(x,y)\)：\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}\)——画复合结构图（\(z\)—\((u,v)\)—\((x,y)\)），沿每条路径乘、路径之间加
  • 全导数：\(u=\varphi(t)\)，\(v=\psi(t)\) ⟹ \(\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\)
  • 抽象复合函数记号：\(f_1'\)=对第 1 个位置求导（与位置里装的是什么无关），\(f_2'\) 同理；⚠️ 有时记 \(f_x'\) 表示 \(f_1'\)，但主流用 \(f_1'\)、\(f_2'\)
  • ★核心纪律（注(2)）：求导后的新函数仍具有与原函数完全相同的复合结构——\(f_1'(\mathrm{e}^x\sin y,x^2+y^2)\) 还要继续按同一张结构图求导
  • ★P324–325（例13.9）｜\(z=f(\mathrm{e}^x\sin y,x^2+y^2)\) 求 \(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\Big|_{(0,0)}\)：先 \(\frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{e}^x\sin y\,f_1'+2xf_2'\)，再对 \(y\) 逐项展开（\(f_1'\)、\(f_2'\) 各自再走结构图）……代 \((0,0)\) 后大量项为 0，只剩 \(f_1'(0,0)=1\)，选(B)
  • 🧠 二阶混合偏导的实战顺序：先把一阶写整齐 → 逐项乘积法则 → \(f_{11}''\)、\(f_{12}''\) 按图展开 → 最后才代点（先代点会漏掉"结构不变"的项）
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例13.10 的 f(x,eˣ) 陷阱是什么？

  • ★P325–326（例13.10）｜\(f(x,\mathrm{e}^x)=x+\mathrm{e}^x\) 且 \(f_x'(x,y)\big|_{y=\mathrm{e}^x}=1+2\mathrm{e}^x\)，求 \(f_y'(x,y)\big|_{y=\mathrm{e}^x}\)：⚠️ \(f(x,\mathrm{e}^x)=x+\mathrm{e}^x\) 不能推出 \(f(x,y)=x+y\)！
  • 正解：对恒等式全导数 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,\mathrm{e}^x)=f_1'\cdot 1+f_2'\cdot\mathrm{e}^x\) ⟹ \(1+\mathrm{e}^x=(1+2\mathrm{e}^x)+f_y'\big|_{y=\mathrm{e}^x}\cdot\mathrm{e}^x\) ⟹ \(f_y'\big|_{y=\mathrm{e}^x}=-1\)
  • 注：\(f_y'(x,y)\big|_{y=\mathrm{e}^x}=f_2'(x,\mathrm{e}^x)\)——"对第二个位置求导再代值"
  • ★P326–327（例13.11 变量代换）｜\(x=uv\)，\(y=\frac{u^2-v^2}{2}\) 把 \(\bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\bigr)^2+\bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\bigr)^2=4\) 变换成 \(a\bigl(\frac{\partial g}{\partial u}\bigr)^2-b\bigl(\frac{\partial g}{\partial v}\bigr)^2=u^2+v^2\)：老实展开 \(g_u=f_x v+f_y u\)、\(g_v=f_x u-f_y v\)，代入比较得 \(a=\frac{1}{4}\)，\(b=-\frac{1}{4}\)
  • 🧠 "恒等式两边求（全）导"是抽象函数题的万能起手；哪个变量是自变量、哪个是"披着马甲的复合"，动笔前先标清楚
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簇13E：隐函数——公式法·全微分不变性·复合求导三选一

隐函数存在定理的公式和前提是什么？

  • ★P327｜二维情形：先有基点 \(F(x_0,y_0)=0\)，并要求 \(F_x',F_y'\) 在其邻域连续且 \(F_y'(x_0,y_0)\neq0\)，才可在基点附近唯一确定连续可导的 \(y=y(x)\)，并有 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x'}{F_y'}\)；三维情形同理，若 \(F(x_0,y_0,z_0)=0\)、一阶偏导在邻域连续且 \(F_z'(x_0,y_0,z_0)\neq0\)，则局部确定 \(z=z(x,y)\)，且 \(\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x'}{F_z'}\)、\(\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y'}{F_z'}\)
  • ⚠️ 公式法求 \(F_x'\)、\(F_y'\)、\(F_z'\) 时 \(x,y,z\) 当作三个独立变量（这正是公式法比"两边求导"省心的地方）
  • ★P328（例13.13）｜\(F_x',F_y',F_z'\) 哪个非零就能解出哪个变量：\(xy-z\ln y+\mathrm{e}^{xz}=1\) 在 \((0,1,1)\) 处 \(F_x'=2\neq 0\)、\(F_y'=-1\neq 0\)、\(F_z'=0\) ⟹ 只能确定 \(x=x(y,z)\) 和 \(y=y(x,z)\)，不能确定 \(z=z(x,y)\)，选(D)
  • ★P328（例13.14）｜\(F_y'(x_0,y_0)\neq 0\) 是"能确定连续可导 \(y=y(x)\)"的充分非必要条件，选(B)——反例 \(F=(y-x)^2\)：\(F_y'(0,0)=0\) 但确定 \(y=x\)
  • ★P335（习题13.9 幂指隐函数）｜\((z+y)^x=x^2\)：令 \(F=(z+y)^x-x^2=\mathrm{e}^{x\ln(z+y)}-x^2\) 再套公式（幂指函数先 \(\mathrm{e}\) 抬起）⟹ \(\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,1)}=2\)（先由原方程定 \(z(1,1)=0\)）
  • 🧠 老三样依旧成立：先代点定 \(z_0\)、公式里代的是 \((x_0,y_0,z_0)\) 三件套、验非零条件
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求 dz 的最快路线是什么？（例13.15/13.16）

  • ★P327–329（例13.12=13.15 ★）｜\(\mathrm{e}^{x+2y+3z}+xyz=1\) 求 \(\mathrm{d}z\big|_{(0,0)}\)：全微分形式不变性——两边求全微分 \(\mathrm{e}^{x+2y+3z}(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z)+(yz\mathrm{d}x+xz\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}z)=0\)，代 \(x=0,y=0,z=0\) ⟹ \(\mathrm{d}z\big|_{(0,0)}=-\frac{1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y\)——一次拿到两个偏导
  • 先定 \(z(0,0)\)：原方程代 \(x=y=0\) 得 \(\mathrm{e}^{3z}=1\) ⟹ \(z=0\)（每次都先干这件事）
  • ★P330–331（例13.16 三法通吃）｜\(F(x+\frac{z}{y},y+\frac{z}{x})=0\) 证 \(x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z-xy\)：法一公式法（令 \(G=F\)，三变量独立）；法二复合求导（两边对 \(x\) 求偏导，\(z\) 是 \(x,y\) 的函数）；法三全微分不变性（\(F_1'\mathrm{d}(x+\frac{z}{y})+F_2'\mathrm{d}(y+\frac{z}{x})=0\) 解出 \(\mathrm{d}z\)）
  • 🧠 选择器：只要"某一点的 \(\mathrm{d}z\)"→全微分不变性最快；要"偏导的关系式"→公式法或复合求导；心里认准一条：三种方法答案必然一致，用最顺手的
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簇13F：二元函数的拉格朗日定理——每一格都有坑

fx≡0 能推出什么？不能推出什么？

  • ★P331–332｜定理：区域 \(D\) 上 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\equiv 0\) 且 \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\equiv 0\) ⟹ \(f(x,y)\equiv C\)（用折线连接+一元拉格朗日证明）
  • ⚠️ 仅 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\equiv 0\) 推不出 \(f=g(y)\)（只与 \(y\) 有关）！反例：\(D=\mathbf{R}^2\) 挖去射线 \(\{x=0,y\geqslant 0\}\)，\(f=y^2\)（\(x>0,y\geqslant 0\)）/ \(0\)（其他）——\(f_x'\equiv 0\) 但 \(f(1,1)=1\neq 0=f(-1,1)\)
  • 成立条件：需 \(D\) 满足"任意两点 \(x_1<x_2\) 的水平线段含于 \(D\)"（凸区域、矩形都行）
  • 同理 \(u(r,\theta)\) 有连续偏导且 \(\frac{\partial u}{\partial\theta}\equiv 0\) 不能直接写 \(u=g(r)\)——初学者把一元"\(f'=0\Rightarrow C\)"简单推广就中招
  • 🧠 这个坑的本质：二元的"常数性"是区域整体性质，路径绕不过去的洞会把函数值分裂；判断时先看区域形状
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已知偏导数反求 f(x,y) 的模板是什么？（例13.6/习题13.13）

  • ★P318（例13.6 ★模板）｜\(f_y'=\mathrm{e}^{-x}\cos y\) ⟹ 对 \(y\) 积分 \(f=\mathrm{e}^{-x}\sin y+\varphi(x)\)（积分常数是 \(\varphi(x)\)）；再代 \(f_x'=-f\) 得 \(\varphi'+\varphi=0\) ⟹ \(\varphi=C\mathrm{e}^{-x}\)；由 \(f(0,0)=0\) 定 \(C=0\) ⟹ \(f=\mathrm{e}^{-x}\sin y\)
  • ★P341–342（习题13.13 二阶版）｜\(f_{xy}''=2(y+1)\mathrm{e}^x\) ⟹ 对 \(y\) 积分得 \(f_x'=(y^2+2y)\mathrm{e}^x+\varphi(x)\)；用 \(f_x'(x,0)=(x+1)\mathrm{e}^x\) 定 \(\varphi\)；再对 \(x\) 积分得 \(f=(y^2+2y)\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x+\phi(y)\)；用 \(f(0,y)=y^2+2y\) 定 \(\phi\equiv 0\) ⟹ \(f=(x+y^2+2y)\mathrm{e}^x\)，再求极值（极小 \(f(0,-1)=-1\)）
  • 🧠 口诀：对谁积分，常数就是"另一个变量的函数"；每积一层用一个题给条件定一层——条件个数和积分层数一定刚好配平
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簇13G：无条件极值——AC−B² 判别法

二元极值的必要条件和充分条件各是什么？

  • ★P332–333｜必要：\((x_0,y_0)\) 是定义域内点，两个偏导存在且在该点取极值 ⟹ \(f_x'(x_0,y_0)=0\) 且 \(f_y'(x_0,y_0)=0\)；⚠️ 偏导不存在的点也可能是极值点（锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 在 \((0,0)\) 极小）⟹ 内部可疑点=驻点+偏导不存在点；边界点要在边界上另行比较
  • 充分（\(\Delta\) 判别法）：设二阶偏导在驻点的某邻域内连续，记 \(A=f_{xx}''\)、\(B=f_{xy}''\)、\(C=f_{yy}''\)（驻点处），\(\Delta=AC-B^2\)：\(\Delta>0\) ⟹ 极值（\(A<0\) 极大、\(A>0\) 极小）；\(\Delta<0\) ⟹ 非极值；\(\Delta=0\) ⟹ 方法失效另谋他法
  • 记忆（书上漫画）："开不开心少年团"：\(\Delta>0,A>0\) 开心=极小；\(\Delta>0,A<0\) 不开心=极大；\(\Delta<0\) 小哑巴猪=不是极值；\(\Delta=0\) 大鼻子爷爷=失效
  • ★P333（例13.17）｜若二元函数在一点取极值，则固定一个变量后得到的两个一元函数也分别在该点取同类极值；这是必要而非充分的条件（选A）。反例 \(x^4+y^4-(x+y)^2\)：两个坐标切片都取极大，二元函数却不取极值
  • ★P333–334（例13.18 当结论记）｜二阶连续偏导+极大 ⟹ \(a=f_{xx}''\leqslant 0\) 且 \(b=f_{yy}''\leqslant 0\)（选D）——取 \(-(x^2+y^2)\) 与 \(-(x^4+y^4)\) 两例排除；本质=一元 \(g(x)=f(x,y_0)\) 的例5.2
  • 🧠 与一元对照记：\(f'=0\) ↔ \(f_x'=f_y'=0\)；\(f''>0\) 极小 ↔ \(\Delta>0,A>0\) 极小；\(f''=0\) 失效 ↔ \(\Delta=0\) 失效
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隐函数的极值怎么求？（例13.19 高频考题）

  • ★P334–335（例13.19 ★完整流程）｜\((x^2+y^2)z+\ln z+2(x+y+1)=0\) 求 \(z(x,y)\) 极值：
  • ①两端分别对 \(x\)、\(y\) 求偏导（\(z\) 是函数）得方程组(*)；②令 \(z_x=z_y=0\) ⟹ \(x=-\frac{1}{z}\)，\(y=-\frac{1}{z}\)；③代回原方程得 \(h(z)=\ln z-\frac{2}{z}+2=0\)。在 \(z>0\) 上 \(h'(z)=\frac1z+\frac{2}{z^2}>0\)，且 \(h(1)=0\)，故唯一解为 \(z=1\)，驻点是 \((-1,-1)\)；④(*) 再对 \(x,y\) 求偏导，代点（此时 \(z_x=z_y=0\) 大量消项）得 \(A=-\frac{2}{3}\)、\(B=0\)、\(C=-\frac{2}{3}\)；⑤\(\Delta>0\)，\(A<0\) ⟹ 极大值 \(z(-1,-1)=1\)
  • 💡 与一元隐函数极值（例5.3）完全同构：隐导→令导数为零→联立原方程定点→二阶判型
  • 🧠 二阶求导时别展开成通式——先代入 \(z_x=z_y=0\) 和具体点，能少写一半；\(B\) 常等于 0（对称结构）
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簇13H：条件最值与闭区域最值

拉格朗日乘数法的四步是什么？什么时候要查端点？

  • ★P335–336｜设目标与约束函数可微。在单约束正则点 \(\nabla\varphi\neq0\)（多约束时各约束梯度线性无关）求条件最值：①构造 \(F=f+\lambda\varphi+\mu\psi\) ②令 \(F\) 对所有自变量和乘子的偏导为 0 ③解方程组得备选点 \(P_i\) ④比较 \(f(P_i)\) 定最大最小；若 \(\nabla\varphi=0\)、多约束梯度相关，或约束有端点/分段点，这些奇异候选必须另行检查，不能被乘数方程漏掉
  • 注：约束能解出 \(z=z(x,y)\) 时代入化为无条件极值更省事
  • ★P336–337（例13.20 综合真题）｜由题意 \(a\leqslant0\leqslant b\)，\(\int_a^b\lvert x\rvert\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\) ⟹ 约束 \(a^2+b^2=1\)；面积 \(S=\frac{1}{6}(b-a)^3\) ⟹ 目标转化为 \(S^*=b-a\)；拉格朗日解得 \((-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\) 给 \(S=\frac{\sqrt{2}}{3}\)；⚠️ 约束曲线是四分之一圆弧（不封闭）⟹ 必须补查端点 \((0,1)\)、\((-1,0)\) 各给 \(S=\frac{1}{6}\) ⟹ 最大 \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)、最小 \(\frac{1}{6}\)
  • ★最远（近）点垂线原理（考纲没有，可直接用提效）：光滑闭曲线 \(\Gamma\) 外一点 \(Q\) 的最远/最近点 \(P\) 满足 \(PQ\) 与 \(\Gamma\) 在 \(P\) 处的切线垂直；两曲线间最远（近）点连线是公垂线
  • ★P337–338（例13.21）｜椭圆 \(x^2+4y^2=4\) 上到直线 \(2x+3y-6=0\) 最近的点：法一拉格朗日（目标 \(d^2\)）；法二垂线原理——切向量 \((1,-\frac{x}{4y})\) 与直线法向量 \((2,3)\) 垂直 ⟹ \(x=\frac{8}{3}y\) 代入椭圆 ⟹ \((\frac{8}{5},\frac{3}{5})\)（距离公式验证取近者）
  • 🧠 目标函数取 \(d^2\) 不取 \(d\)（免根号）；乘数 \(\lambda\) 的值不用求出来——它只是"过路的"
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有界闭区域上的最值三步怎么走？（例13.22）

  • ★P340｜理论：有界闭区域 \(D\) 上连续 ⟹ 必有最大最小值。三步：①\(f_x'=f_y'=0\) 或偏导不存在 ⟹ 内部可疑点；②边界上用拉格朗日或代入法（相当于一元的区间端点）；③全部函数值比大小
  • ★P340–341（例13.22）｜\(\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y\)，\(f(1,1)=2\) ⟹ 先还原 \(f=x^2-y^2+2\)；椭圆域 \(x^2+\frac{y^2}{4}\leqslant 1\)：内部驻点 \((0,0)\) 给 \(f=2\)；边界代入 \(y^2=4-4x^2\) ⟹ \(z=5x^2-2\)（\(-1\leqslant x\leqslant 1\)）max 3 min \(-2\)；比较 ⟹ 最大 3、最小 \(-2\)
  • 边界亦可拉格朗日：\(M(0,\pm 2)\) 给 \(-2\)、\(M(\pm 1,0)\) 给 3——两法核对答案
  • 🧠 边界代入后别忘一元变量的取值范围（\(-1\leqslant x\leqslant 1\) 这一步丢了就漏端点）；"还原 \(f\)"环节常由 \(\mathrm{d}z\) 或偏导条件给出，是前面簇13F 模板的前菜
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第13讲习题精华与解题路线

  • ★P338–343｜习题13.2：\(f_x'>0\)、\(f_y'<0\) 的翻译——沿 \(x\) 增、沿 \(y\) 减 ⟹ \(f(0,1)<f(1,1)<f(1,0)\)，选(D)（(A)(B) 用 \(f=x-y\) 排除）
  • 习题13.4：\(z=f[xy,\ln x+g(xy)]\) ⟹ \(x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=f_2'\)——两条路径展开后 \(xy\) 项对消，只剩 \(\ln x\) 贡献
  • 习题13.5：\(z_1=\lvert x+y\rvert\) 偏导不存在 ⟹ 定义判：\(z_1\geqslant 0=z_1(0,0)\) 极小；\(z_2\) 由 \(\mathrm{d}z_2\) 读出偏导并验证 \((0,0)\) 是驻点，\(A=6,B=0,C=6\)，\(\Delta>0,A>0\) 极小 ⟹ 选(D)
  • 习题13.11（三层链）：\(u=f(x^2,xy,xz)\)，\(y,z\) 又由 \(\sin xy=y\)、\(\mathrm{e}^z=\int_0^{xz}\sin t\mathrm{d}t\) 隐定 ⟹ \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2xf_1'+(y+xy')f_2'+(z+xz')f_3'\)，\(y'\)、\(z'\) 各自隐求导代入——分层处理，最后组装
  • 解题路线：概念题背关系图+反例库；计算题=链式（画结构图）/隐函数（三法）/反求 \(f\)（分层积分）；极值题=可疑点（驻点+偏导不存在）→ \(\Delta\) 判别 → 隐函数极值走五步；最值题=内部+边界+比较，约束不封闭查端点
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