第10讲积分应用(一)——几何应用

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第10讲积分应用(一)——几何应用¶

簇10A：平面图形的面积¶

直角坐标和极坐标的面积公式各是什么？¶

★P270｜直角坐标：\(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 及 \(x=a\)、\(x=b\) 围成 \(S=\int_a^b\lvert y_1(x)-y_2(x)\rvert\mathrm{d}x\)——本质是"算一个带绝对值函数的定积分"；微元 \(\Delta S=\lvert y_1-y_2\rvert\mathrm{d}x\)（大面积减小面积）
极坐标：\(r_1(\theta)\)、\(r_2(\theta)\) 与射线 \(\theta=\alpha\)、\(\theta=\beta\) 围成 \(S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\lvert r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)\rvert\mathrm{d}\theta\)——微元=大"三角形"减小"三角形"：\(\frac{1}{2}r\cdot r\mathrm{d}\theta\)
公式可推广到收敛的反常积分（无界区域也能算面积）
★P270–271（例10.1）｜\(y=x^n\) 与 \(y=x^{n+1}\) 围成 \(A_n=\int_0^1(x^n-x^{n+1})\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\)，故 \(2\sum_{k=1}^{n}A_k=1-\frac{2}{n+2}\)，从而 \(\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(2\sum_{k=1}^{n}A_k\bigr)^n=\mathrm{e}^{-2}\)
★P272（例10.3）｜伯努利双纽线 \(r^2=a^2\cos 2\theta\) 面积：对称性×4，\(S=4\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}a^2\cos 2\theta\mathrm{d}\theta=a^2\)
★P272–273（例10.4）｜\(y=\mathrm{e}^{-x}\sin x\)（\(x\geqslant 0\)）与 \(x\) 轴围成全部面积：\(S=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x}\lvert\sin x\rvert\mathrm{d}x=\sum\) 每半拱 \(\bigl\lvert\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\bigr\rvert\)——循环积分公式算单拱 \(\frac{(-1)^k}{2}\mathrm{e}^{-k\pi}(\mathrm{e}^{-\pi}+1)\)，等比级数求和 \(=\frac{\mathrm{e}^{-\pi}+1}{2(1-\mathrm{e}^{-\pi})}\)
🧠 面积题四步：求交点 → 画图 → 套公式 → 做计算；"所围图形面积恒正"，绝对值靠分段或对称性拆掉

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参数面积公式使用前先核对什么条件？¶

★P362｜本质是直角坐标公式的换元法：在参数曲线至少一阶连续可导、该段 \(x(t)\) 单调，且 \(t:\alpha\to\beta\) 与 \(x:a\to b\) 方向对应时，带符号积分为 \(\int_a^by(x)\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x'(t)\mathrm{d}t\)
求普通面积要按方向调整符号，或在各单调段积分 \(\lvert y(t)x'(t)\rvert\)；不能把一个具体例题的正向公式无条件推广到任意参数曲线

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参数方程下的面积怎么算？（摆线一拱=必背）¶

★P271–272（例10.2 ★★★）｜摆线 \(x=a(t-\sin t)\)、\(y=a(1-\cos t)\) 在 \(0\leqslant t\leqslant2\pi\) 上满足 \(x'(t)=a(1-\cos t)\geqslant0\)、\(y(t)\geqslant0\)，所以可直接按正向面积公式积分
摆线 \(x=a(t-\sin t)\)，\(y=a(1-\cos t)\) 一拱：\(S=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)\mathrm{d}t=a^2\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)\mathrm{d}t=2\pi a^2+4a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\mathrm{d}t=3\pi a^2\)（末步点火）
⚠️ 考试不会给图——摆线一拱（\(0\to 2\pi a\)，峰高 \(2a\)）必须自己画得出
💡 记忆：摆线一拱面积 \(3\pi a^2\)（滚动圆面积的 3 倍）、一拱弧长 \(8a\)（第 12 讲用）
🧠 参数方程三件套换：\(y\) 换 \(y(t)\)、\(\mathrm{d}x\) 换 \(x'(t)\mathrm{d}t\)、上下限换 \(t\) 的范围——和定积分换元完全同构

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簇10B：旋转体的体积¶

绕 x 轴和绕 y 轴的体积公式怎么记？¶

★P273｜绕 \(x\) 轴（小硬币/圆片微元）：\(V_x=\int_a^b\pi y^2(x)\mathrm{d}x\)——微元 \(\mathrm{d}V=\pi y^2\mathrm{d}x\)
★绕 \(y\) 轴（柱壳微元，\(0\leqslant a<b\)）：\(V_y=2\pi\int_a^bx\lvert y(x)\rvert\mathrm{d}x\)——竖条绕 \(y\) 轴成"圆柱壳"，切开展平是长方体 \(\mathrm{d}V=2\pi x\lvert y\rvert\mathrm{d}x\)
总结口诀（书上原图）：\(V_x=\pi\int_a^b\square^2\mathrm{d}x\)，\(V_y=2\pi\int_a^bx\lvert\square\rvert\mathrm{d}x\)——往 \(\square\) 里代
★P273–274（例10.5 定义域陷阱）｜\(y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\sqrt{\sin x}\) 在 \([0,2\pi]\)：\(\sqrt{\sin x}\) 要求 \(\sin x\geqslant 0\) ⟹ 实际只在 \([0,\pi]\) 存在 ⟹ \(V=\pi\int_0^{\pi}\mathrm{e}^{-x}\sin x\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}(1+\mathrm{e}^{-\pi})\)（循环积分）
★P284（习题10.2）｜圆域 \(x^2+(y-b)^2\leqslant k^2\)（\(0<k<b\)）绕 \(x\) 轴：上下半圆 \(y_2=b+\sqrt{k^2-x^2}\)、\(y_1=b-\sqrt{k^2-x^2}\)，\(\mathrm{d}V=\pi(y_2^2-y_1^2)\mathrm{d}x=4\pi b\sqrt{k^2-x^2}\mathrm{d}x\) ⟹ \(V=2\pi^2k^2b\)（圆面积 \(\times\) 圆心走过的周长——帕普斯定理的实例）
🧠 选公式看"谁转谁"：绕 \(x\) 轴切竖片（圆盘/圆环），绕 \(y\) 轴优先柱壳（免反解函数）；两法都行时挑不用反解、不用拆段的

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绕 x 轴旋转却用 y 做积分变量是什么操作？（例10.6）¶

★P274–275（例10.6）｜先由 \(2f(x)+x^2f(\frac{1}{x})=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}\) 解出 \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)（方程组消元，同例1.2）；求 \(y=f(x)\)、\(y=\frac{1}{2}\)、\(y=\frac{\sqrt{3}}{2}\) 及 \(y\) 轴围图形绕 \(x\) 轴旋转的体积
关键：图形是"横条"（\(y\) 区间 \([\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]\)），绕 \(x\) 轴转即"横条绕平行于自己的轴"⟹ \(x,y\) 地位交换，反解 \(x=\varphi(y)=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\)，套柱壳公式 \(V=2\pi\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}y\cdot\varphi(y)\mathrm{d}y\) 令 \(y=\sin t\) ⟹ \(\frac{\pi^2}{6}\)
💡 方法总结：学会利用反函数，将绕 \(x\) 轴旋转用 \(V_y\) 的体积公式表示出来
🧠 判别信号：区域的"自然描述方向"（横条/竖条）与旋转轴平行 ⟹ 柱壳；垂直 ⟹ 圆盘——跟着微元的几何走，别死记轴

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绕任意直线旋转的公式长什么样？¶

★P275（公式10-1 ★）｜\(L\)：\(y=f(x)\)（\(a\leqslant x\leqslant b\)），定直线 \(L_0\)：\(Ax+By+C=0\) 且过 \(L_0\) 的任一垂线与 \(L\) 至多一个交点：\(V=\dfrac{\pi}{(A^2+B^2)^{\frac{3}{2}}}\displaystyle\int_a^b[Ax+Bf(x)+C]^2\,\lvert Af'(x)-B\rvert\mathrm{d}x\)
检验特例：\(A=C=0\)、\(B\neq 0\)（绕 \(x\) 轴）⟹ \(V=\pi\int_a^bf^2\mathrm{d}x\) ✓（掌握住此结论，会套公式即可）
★P276–277（例10.7 综合题）｜过原点作 \(y=\mathrm{e}^x\) 的切线（切点 \((1,\mathrm{e})\)，切线 \(y=\mathrm{e}x\)）；\(D\) 为切线、曲线与 \(x\) 轴负向无限区域：(1) 水平条微元 \(A=\int_0^{\mathrm{e}}(\frac{y}{\mathrm{e}}-\ln y)\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{e}}{2}\)（收敛反常积分，\(\lim\limits_{y\to 0^+}y\ln y=0\)）；(2) 绕 \(x=1\) 旋转：\(\mathrm{d}V=[\pi(1-\ln y)^2-\pi(1-\frac{y}{\mathrm{e}})^2]\mathrm{d}y\) 大减小 ⟹ \(\frac{5\pi\mathrm{e}}{3}\)（或直接套公式10-1）
★P287（习题10.9 平移思想）｜\(y=3-\lvert x^2-1\rvert\) 与 \(x\) 轴围图形绕 \(y=3\) 旋转：\(\mathrm{d}V=\pi[3^2-(3-y)^2]\mathrm{d}x\) 型 ⟹ \(\frac{448}{15}\pi\)
🧠 绕非坐标轴三条路：套公式10-1（最快）／大减小微元／坐标平移把轴变成坐标轴——先画图定"内外半径"再动笔

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簇10C：平均值·形心·截面法体积¶

函数平均值怎么定义？例10.8 的联想套路是什么？¶

★P277｜\(y(x)\) 在 \([a,b]\) 上的平均值 \(\bar{y}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^by(x)\mathrm{d}x\)；由积分中值定理 \(\bar{y}=y(\xi)\)，\(\xi\in[a,b]\)
★P277–278（例10.8 ★）｜\(f\) 连续，\(f(x+2)-f(x)=x\)，\(\int_0^2f=0\)，求 \([1,3]\) 上平均值：反写联想变限积分——令 \(F(x)=\int_x^{x+2}f(t)\mathrm{d}t\)，则 \(F'(x)=f(x+2)-f(x)=x\) ⟹ \(F(x)=\frac{x^2}{2}+C\)；\(F(0)=\int_0^2f=0\) ⟹ \(C=0\) ⟹ \(\int_1^3f=F(1)=\frac{1}{2}\) ⟹ \(\bar{f}=\frac{1}{2}F(1)=\frac{1}{4}\)
💡 方法总结：学会观察条件（区间长度都是 2）、产生联想（\(f(x+2)-f(x)\) 恰是 \(\bigl[\int_x^{x+2}f\bigr]'\)）
🧠 "差分条件+积分条件"= 变限积分的一阶信息+初值——把它当微分方程解

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形心坐标公式是什么？（仅数一数二）¶

★P278｜曲边梯形 \(D=\{0\leqslant y\leqslant f(x),a\leqslant x\leqslant b\}\)：\(\bar{x}=\dfrac{\int_a^bxf(x)\mathrm{d}x}{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}\)，\(\bar{y}=\dfrac{\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x}{\int_a^bf(x)\mathrm{d}x}\)——套公式、记住结论即可（由二重积分 \(\frac{\iint x\mathrm{d}\sigma}{\iint\mathrm{d}\sigma}\) 累次化推出）
★P278–279（例10.9）｜\(y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}\ln x\)（\(1\leqslant x\leqslant\mathrm{e}\)）与三线围成 \(D\) 的 \(\bar{x}=\frac{3(\mathrm{e}^2+1)(\mathrm{e}^2-3)}{4(\mathrm{e}^3-7)}\)——分子分母分别老实算
💡 蓝批注：考研题答案未必简洁，要多做计算，别因数字丑怀疑人生
🧠 一般区域（两条曲线夹的）分子分母都改成"上减下"版本；形心=面积加权平均位置，公式忘了就回二重积分现推

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平行截面面积已知的立体怎么求体积？（例10.14 绕 y=x）¶

★P281｜垂直于 \(x\) 轴的截面面积为连续函数 \(A(x)\) ⟹ \(V=\int_a^bA(x)\mathrm{d}x\)（微元 \(\mathrm{d}V=A(x)\mathrm{d}x\)；旋转体 \(\pi f^2\) 是特例）
★P281–282（例10.14 ★★）｜\(y=\sqrt{x}\) 与 \(y=x\) 围区域绕 \(y=x\) 旋转：曲线上点到轴的距离 \(r=\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{2}}\)，斜轴方向的厚度为 \(\mathrm{d}s=\sqrt{2}\,\mathrm{d}x\)，故 \(\mathrm{d}V=\pi r^2\mathrm{d}s=\frac{\pi}{\sqrt{2}}(x-2x^{\frac{3}{2}}+x^2)\mathrm{d}x\)；积分得 \(V=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\int_0^1(x-2x^{\frac{3}{2}}+x^2)\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}\)
注：这种"以 \(\Delta x\) 代斜向厚度"的处理做了等价变换（\(\alpha=\beta\) 误差抵消），需要数学"直觉"，不能一味套公式，供参考——稳妥路线仍是公式10-1
🧠 数二真题的"绕斜线"基本都能用公式10-1 兜底；截面法真正的用武之地是"给你截面形状"的非旋转立体（考研历史上未考过大题，但要会套 \(V=\int A\)）

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簇10D：弧长与侧面积（仅数一数二）¶

弧长三公式和弧微分怎么统一记？¶

★P279｜统一源头：弧微分 \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}\)，\(s=\int\mathrm{d}s\)——提出不同的"\(\mathrm{d}\)谁"就得三公式
直角坐标：\(s=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}\mathrm{d}x\)；参数方程：\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}t\)；极坐标：\(s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}\mathrm{d}\theta\)
★P279–280（例10.10）｜\(y=\ln(1-x^2)\) 在 \([0,\frac{1}{2}]\)：\(\sqrt{1+y'^2}=\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}-1\) 拆部分分式 ⟹ \(s=\ln 3-\frac{1}{2}\)
★P280（例10.11）｜阿基米德螺线 \(r=\theta\)（\(0\to 2\pi\)）：\(s=\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\theta^2}\mathrm{d}\theta=\pi\sqrt{1+4\pi^2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2})\)——\(\int\sqrt{1+\theta^2}\mathrm{d}\theta\) 用 \(\theta=\tan t\) 化 \(\int\sec^3t\)（分部循环）
★P285（习题10.3 完全平方技巧）｜\(x=\frac{y^2}{4}-\frac{\ln y}{2}\)（以 \(y\) 为积分变量）：\(\sqrt{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y})^2+1}=\sqrt{(\frac{y}{2}-\frac{1}{2y})^2+1}=\frac{1}{2}(y+\frac{1}{y})\) 恰成完全平方 ⟹ \(s=\frac{1}{4}(\mathrm{e}^2+1)\)；习题10.4：星形线全长 \(=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\lvert\sin t\cos t\rvert\mathrm{d}t=6\)
🧠 考研弧长题的被积函数几乎总能开出完全平方（\(1+(\frac{a}{2}-\frac{b}{2})^2=(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})^2\) 型）；开不出来就检查求导

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旋转曲面的侧面积公式和体积公式差在哪？¶

★P280｜绕 \(x\) 轴的侧面积：在弧长公式基础上多乘 \(2\pi\lvert y\rvert\)——\(S=2\pi\int_a^b\lvert y\rvert\sqrt{1+(y_x')^2}\mathrm{d}x\)；参数：\(S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}\lvert y(t)\rvert\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2}\mathrm{d}t\)；极坐标：\(S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}\lvert r\sin\theta\rvert\sqrt{r^2+(r')^2}\mathrm{d}\theta\)
★口诀（蓝批注）：算体积用 \(\mathrm{d}x\)（圆片），算侧面积用 \(\mathrm{d}s\)（斜条）——\(S=\int 2\pi\lvert f\rvert\mathrm{d}s\)
★P280–281（例10.12）｜\(y=\sqrt{x-1}\)（\(1\leqslant x\leqslant 2\)）绕 \(x\) 轴表面积：\(S=\pi\int_1^2\sqrt{4x-3}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)\)——"算出来多少就是多少，不用担心结果古怪"
★P281（例10.13）｜星形线 \(x=2\cos^3t\)，\(y=2\sin^3t\) 绕 \(x\) 轴表面积：对称×2 只算 \([0,\frac{\pi}{2}]\)，\(\sqrt{(x')^2+(y')^2}=6\sin t\cos t\) ⟹ \(S=4\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin^3t\cdot 6\sin t\cos t\mathrm{d}t=48\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t\mathrm{d}(\sin t)=\frac{48}{5}\pi\)
🧠 三兄弟对照表：弧长 \(\int\mathrm{d}s\)／侧面积 \(\int 2\pi\lvert y\rvert\mathrm{d}s\)／体积 \(\int\pi y^2\mathrm{d}x\)——微元分别是线段、腰带、硬币；侧面积忘乘 \(2\pi\lvert y\rvert\) 是最常见丢分

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第10讲习题精华与解题路线¶

★P284–287｜习题10.1：无界区域旋转体照样算（收敛反常积分）\(V=\pi\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\frac{\pi^2}{2}\)
习题10.6（最优化+几何）：\(y=\sqrt{x}\) 在 \((t,\sqrt{t})\) 的切线与 \(x=0\)、\(x=2\) 围面积 \(S(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt{t}-\frac{4\sqrt{2}}{3}\)，\(S'=0\) ⟹ \(t=1\)，切线 \(y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\)——"面积/体积作为目标函数"再回第 5 讲求最值
习题10.7：\(V_1=\frac{4}{5}\pi(32-a^5)\)（绕 \(x\) 轴）、\(V_2=\pi a^4\)（绕 \(y\) 轴，柱壳或圆盘）⟹ \(V'=4\pi a^3(1-a)=0\) ⟹ \(a=1\) 唯一驻点且 \(V''(1)<0\) ⟹ \(V_{\max}=\frac{129}{5}\pi\)
习题10.8（摆线绕 \(y\) 轴 ★）：方法一 \(V_y=\pi[\int x_2^2\mathrm{d}y-\int x_1^2\mathrm{d}y]\) 拆左右支；方法二柱壳一步 \(V_y=2\pi\int_0^{2\pi a}xy\mathrm{d}x=2\pi a^3\int_0^{2\pi}(t-\sin t)(1-\cos t)^2\mathrm{d}t=6\pi^3a^3\)——柱壳法对参数曲线尤其省事
解题路线：面积（画图→上减下/大扇小扇）→ 体积（圆盘 \(\pi\square^2\mathrm{d}x\) vs 柱壳 \(2\pi x\lvert\square\rvert\mathrm{d}x\) vs 绕斜线公式10-1）→ 弧长/侧面积（\(\mathrm{d}s\) 家族，找完全平方）→ 平均值/形心（套公式做计算）；全讲总纲="套公式，做计算"，计算量就是难度本身

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第10讲 积分应用(一)——几何应用