第2讲数列极限

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第2讲数列极限¶

簇2A：数列与子列——发散的"证人"怎么找¶

数列的本质是什么？要背哪些求和公式？¶

★P85｜数列=整标函数 \(x_n=f(n)\)，\(n\in\mathbf{N}_+\)；几何上是数轴上的动点列；数列一定有无穷多项
等差：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)
等比：\(a_n=a_1r^{n-1}\)，\(S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\)（\(r\neq 1\)）；常用 \(1+r+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}\)
前 \(n\) 项和：\(\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\)；\(\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)；★\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\)（裂项 \(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\) 相消）
证数列有界四法：找 \(M\)／放缩／找最值／基本不等式（★P85，例2.1：\(0<x_1<3\)，\(x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}\leqslant\frac{x_n+3-x_n}{2}=\frac{3}{2}\)，归纳得 \(n>1\) 时 \(0<x_n\leqslant\frac{3}{2}\)）
💡 \(\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n\) 单调增有上界，极限即 \(\mathrm{e}\)——单调有界准则的"官方示范"
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数列极限的定义与函数极限有哪三点不同？¶

★P85–86｜定义：任给 \(\varepsilon>0\)，存在正整数 \(N\)，\(n>N\) 时恒有 \(\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon\)；不存在这样的 \(a\) 就叫发散
\(n\to\infty\) 只指 \(n\to+\infty\)（离散地趋于正无穷）——与函数 \(x\to\infty\) 的"双向"不同
有界性：数列极限存在 ⟹ 全局有界（任一项 \(\lvert x_n\rvert\leqslant M\)）；函数极限只给局部有界
保号性：数列版没有"局部"，说的是存在 \(N\)，\(n>N\) 后 \(x_n>0\)（或 \(<0\)）
💡 卷面不考 \(\varepsilon\)–\(N\) 证明解答题，只在选择填空考对定义的理解（见数列极限定义里的 ε 为什么不能与 n 有关？）
🧠 \(N\) 未必取整数，\(n>10000\) 与 \(n>10000.1\) 表达相同的意思——定义抠的是"从某项起"，不是那个具体编号

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子列定理怎么用来判收敛、判发散？¶

★P86–87｜定理1：\(\{a_n\}\) 收敛 ⟹ 任何子列 \(\{a_{n_k}\}\) 收敛且同极限
推论（充要）：\(\lim a_n=a\Leftrightarrow\lim a_{2k}=\lim a_{2k-1}=a\)（奇偶两支交错覆盖全列）
⚠️ \(\lim a_{3k}=\lim a_{3k+1}=a\) 推不出 \(\lim a_n=a\)——\(a_{3k+2}\) 缺失，没盖住全列（书上蓝批注专门提醒）
判发散两招：①找到一个发散子列；②找到两个收敛到不同极限的子列（\((-1)^n\)：偶子列 \(\to 1\)，奇子列 \(\to-1\)）
★P87｜例2.3：\(\{n^{(-1)^n}\}\) 取子列 \(\{2n\}\) 无界发散 ⟹ 原数列发散；⚠️ 它同时有收敛子列 \(\frac{1}{2n-1}\to 0\)——某个子列收敛保证不了原数列收敛
★P87–88｜例2.4：\(x_n\) 奇偶分段（奇 \(\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}\to+\infty\)，偶 \(\frac{1}{n}\to 0\)）⟹ 极限不存在，且是无界变量但不是无穷大量，选(D)
🧠 "无穷大量"要求整列一致跑向无穷；有一支被摁在 0 附近就只配叫"无界"——和第 1 讲 \(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\) 同款

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绝对值数列的极限有什么关系？¶

★P86｜例2.2：\(\lim a_n=A\) ⟹ \(\lim\lvert a_n\rvert=\lvert A\rvert\)（由 \(\bigl\lvert\lvert a_n\rvert-\lvert A\rvert\bigr\rvert\leqslant\lvert a_n-A\rvert\) 夹逼）
⚠️ 反过来不对：\(a_n=(-1)^n\)，\(\lvert a_n\rvert\to 1\) 但 \(a_n\) 发散
★特例（常用）：\(\lim a_n=0\Leftrightarrow\lim\lvert a_n\rvert=0\)——证 \(\lim a_n=0\) 可转证 \(\lvert a_n\rvert\leqslant b_n\)，\(\lim b_n=0\)（省一半力气）
应用：\(\lim\frac{\sin n}{n^2}=0\)（\(0\leqslant\bigl\lvert\frac{\sin n}{n^2}\bigr\rvert\leqslant\frac{1}{n^2}\)）
对函数同样成立：\(\lim f=A\Rightarrow\lim\lvert f\rvert=\lvert A\rvert\)；\(\lim f=0\Leftrightarrow\lim\lvert f\rvert=0\)

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簇2B：收敛数列的性质与四则¶

收敛数列三大性质怎么考？¶

★P88｜定理2 唯一性；定理3 有界性（收敛⟹有界；逆命题假：\((-1)^n\)）；定理4 保号性：\(\lim x_n=a>b\) ⟹ 存在 \(N\)，\(n>N\) 时 \(x_n>b\)；反向 \(x_n\geqslant b\) ⟹ \(a\geqslant b\)
脱帽严格（\(\lim x_n>a\Rightarrow x_n>a\)）、戴帽非严格（\(x_n\geqslant a\Rightarrow\lim x_n\geqslant a\)，前提极限存在）——与函数版同款，常考 \(b=0\)
★P88｜例2.5：\(a_n=1-\frac{(-1)^n}{n}\) 有最大值 \(a_1=2\)、最小值 \(a_2=\frac{1}{2}\)，选(A)——用保号性说明 \(n>N\) 后的项在 1 附近"没资格"参与最值比较，前有限项必出最大最小
💡 最值是比较出来的；极限只管尾巴，最值常在开头几项
🧠 例2.18 同思想：\(\lim a_n=a\neq 0\) ⟹ \(n\) 充分大时 \(\lvert a_n\rvert>\frac{\lvert a\rvert}{2}\)（把 \(\lvert a_n\rvert\) 与 \(\lvert a\rvert\) 无限靠近翻译成不等式）——选项里凡是规定了"靠近速度"的（\(a-\frac{1}{n}\)、\(a+\frac{1}{n}\)）都不能选

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数列四则运算的"半和半差"技巧是什么？¶

★P88–89｜规则：\(\lim x_n=a\)，\(\lim y_n=b\) ⟹ 和差积商极限=极限的和差积商（商要 \(b\neq 0\)）；可推广到有限个
★P89｜例2.6：已知 \(\lim(a_n+b_n)=1\)，\(\lim(a_n-b_n)=3\) ⟹ \(a_n=\frac{1}{2}[(a_n+b_n)+(a_n-b_n)]\)，\(b_n=\frac{1}{2}[(a_n+b_n)-(a_n-b_n)]\) ⟹ \(\lim a_n=2\)，\(\lim b_n=-1\)，选(B)
⚠️ \(\lim(a_n+b_n)\) 存在不意味 \(\lim a_n\)、\(\lim b_n\) 各自存在：\(\sin n+(-\sin n)\equiv 0\)
速记：存在±存在=存在；存在±不存在=不存在；不存在±不存在=不确定
🧠 "已知两个组合的极限，反解单个的极限"=解线性方程组的思路，跟第 1 讲例1.27"已知一求另一"同宗

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簇2C：海涅定理——数列极限与函数极限的桥¶

归结原则说了什么？正用与逆用各干什么？¶

★P89–90｜设 \(f\) 在 \(\mathring{U}(x_0,\delta)\) 内有定义，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) 存在 ⟺ 对任何以 \(x_0\) 为极限的数列 \(\{x_n\}\)（\(x_n\neq x_0\)），\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\)
正用（数列→函数）：数列极限不能用洛必达（离散不可导），先转成函数极限再洛——\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\)
常考三形式：①\(x\to 0\) 取 \(x_n=\frac{1}{n}\)：\(\lim\limits_{x\to 0}f=A\Rightarrow\lim f\bigl(\frac{1}{n}\bigr)=A\)；②\(x\to+\infty\) 取 \(x_n=n\)；③\(x_n\to a\)（\(x_n\neq a\)）：\(\lim\limits_{x\to a}f=A\Rightarrow\lim f(x_n)=A\)
逆用（判不存在）：找两个趋于 \(x_0\) 的数列，函数值极限不同 ⟹ 函数极限不存在
★P90｜例2.7：\(\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\)（\(x\to 0\)）取 \(x_n=\frac{1}{n\pi}\) 得 \(f(x_n)=0\)；取 \(x_n'=\frac{1}{(2n+\frac{1}{2})\pi}\) 得 \(f(x_n')\to+\infty\) ⟹ 极限不存在，是无界量非无穷大量，选(B)
★P91｜例2.8：\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl(\cos\frac{1}{\sqrt{n}}\bigr)^{n^2}}\)——先算函数极限 \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln\cos\frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{2}\)（\(\ln(1+u)\sim u\)，\(\cos t-1\sim-\frac{t^2}{2}\)），由归结原则得 \(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\)
🧠 一句话：离散没工具，借道连续；反着用则是"发散证人"的加强版（子列证人从数列里挑，归结原则的证人从整条实轴上挑）

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\(x^2D(x)\) 为什么只在 \(x=0\) 连续？¶

★P90（注）｜\(f(x)=x^2D(x)\)，\(D(x)\) 为狄利克雷函数（有理数 1、无理数 0）
在 \(x=0\) 连续：\(\lvert D\rvert\leqslant 1\) 有界 × \(x^2\) 无穷小 ⟹ \(\lim\limits_{x\to 0}f=0=f(0)\)（或夹逼 \(0\leqslant\lvert f\rvert\leqslant x^2\)）
在 \(x_0\neq 0\) 处处不连续：归结原则——取趋于 \(x_0\) 的有理数列（\(f\to x_0^2\)）与无理数列（\(f\to 0\)），极限不同
💡 "在一点连续"不意味着"在该点附近连续"——这个反例就是为打破这个直觉
★P91｜配套注：\(\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n-\mathrm{e}\sim-\frac{\mathrm{e}}{2}\cdot\frac{1}{n}\)（\(n\to\infty\)）——由例1.24 的 \((1+x)^{\frac{1}{x}}-\mathrm{e}\sim-\frac{\mathrm{e}}{2}x\) 取 \(x=\frac{1}{n}\)，正是归结原则

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簇2D：夹逼准则与放缩工具箱¶

数列夹逼准则怎么用？n 项和的放缩口诀是什么？¶

★P91–92｜从某项起 \(y_n\leqslant x_n\leqslant z_n\) 且 \(\lim y_n=\lim z_n=a\) ⟹ \(\lim x_n=a\)（等号不需验证；对 \(\pm\infty\) 也适用）
无穷项相加：\(n\cdot u_{\min}\leqslant u_1+u_2+\cdots+u_n\leqslant n\cdot u_{\max}\)（项数×最小/最大）
有限项相加（\(u_i\geqslant 0\)）：\(1\cdot u_{\max}\leqslant u_1+\cdots+u_n\leqslant n\cdot u_{\max}\)（最大项本身/项数×最大）
★P93–94｜例2.9：\(\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2+n+i}\)——分子不动，分母统一放缩成 \(n^2+n+1\) 与 \(n^2+n+n\)，两侧都 \(\to\frac{1}{2}\)
💡 放缩后"找带头大哥"（最高次项）验证两侧极限相同，不同就放缩过头了
🧠 n 项和三兄弟分工：项数固定比值不齐→夹逼；能裂项→先求和；夹逼失效（两侧极限不同）→定积分定义（第 8 讲）

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必背的放缩不等式有哪几组？¶

★P92–93｜绝对值：\(\lvert a\pm b\rvert\leqslant\lvert a\rvert+\lvert b\rvert\)；\(\bigl\lvert\lvert a\rvert-\lvert b\rvert\bigr\rvert\leqslant\lvert a-b\rvert\)；推广 \(\lvert a_1\pm\cdots\pm a_n\rvert\leqslant\lvert a_1\rvert+\cdots+\lvert a_n\rvert\)
均值：\(\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)（\(a,b\geqslant 0\)）；\(\lvert ab\rvert\leqslant\frac{a^2+b^2}{2}\)（例：\(\frac{u_n}{n}\leqslant\frac{u_n^2+\frac{1}{n^2}}{2}\)）；当 \(a,b,c\geqslant0\) 时，三元均值链为 \(\sqrt[3]{abc}\leqslant\frac{a+b+c}{3}\leqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\)
幂：\(a\geqslant b\geqslant 0\) 时，\(m>0\) ⟹ \(a^m\geqslant b^m\)；\(a\geqslant b>0\) 时，\(m<0\) ⟹ \(a^m\leqslant b^m\)
分式（考过）：\(0<a<x<b\)，\(0<c<y<d\) ⟹ \(\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}\)（注例：\(n\leqslant x<n+1\)，\(2n\leqslant f(x)<2(n+1)\) ⟹ \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=2\)）
三角与对数：⑤\(\sin x<x<\tan x\)（\(0<x<\frac{\pi}{2}\)）⑥\(\sin x<x\)（\(x>0\)）⑦\(x<\tan x<\frac{4}{\pi}x\)（\(0<x<\frac{\pi}{4}\)）⑧\(\sin x>\frac{2}{\pi}x\)（\(0<x<\frac{\pi}{2}\)）⑨\(\arctan x\leqslant x\leqslant\arcsin x\)（\(0\leqslant x\leqslant 1\)）⑫\(\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\)（\(x>0\)）
指对：⑩\(\mathrm{e}^x\geqslant x+1\)（任意 \(x\)）⑪\(x-1\geqslant\ln x\)（\(x>0\)）
🧠 ⑤–⑫ 的真正考法是递推数列判单调：\(x_{n+1}=\sin x_n<x_n\) 减；\(x_{n+1}=\mathrm{e}^{x_n}-1\geqslant x_n\) 不减；\(x_{n+1}=\ln x_n+1\leqslant x_n\) 不增；\(x_{n+1}=\arctan x_n<x_n\) 减——一条不等式对应一个"送分"的单调性证明
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n 次根号极限的 max 结论是什么？¶

★P94｜例2.10：\(a_i\geqslant 0\) ⟹ \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=\max\{a_1,\cdots,a_m\}\)（记 \(a=\max\)，则 \(a^n\leqslant\sum\leqslant m\cdot a^n\)，\(\sqrt[n]{m}\to 1\) 夹逼）
应记住的推论：\(0<a<b\) 时 \(\lim(a^{-n}+b^{-n})^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{a}\)（倒数变大取 \(\frac{1}{a}\)）
定义函数的方法之一：\(\lim\sqrt[n]{\sin^n x+\cos^n x}\) 在 \([0,\frac{\pi}{2}]\) 上=\(\cos x\)（\(0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{4}\)）/ \(\sin x\)（\(\frac{\pi}{4}<x\leqslant\frac{\pi}{2}\)）——谁大听谁的，结合图像
同款：\(\lim\sqrt[n]{1+\lvert x\rvert^{3n}}=\max\{1,\lvert x\rvert^3\}\)=1（\(\lvert x\rvert\leqslant 1\)）/ \(\lvert x\rvert^3\)（\(\lvert x\rvert>1\)）
🧠 和第 1 讲例1.26（\(\lim\limits_{n\to\infty}\) 定义分段函数）是一路货：极限作为"函数制造机"，分段点就是"势力交界处"，间断性在交界处排查

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约束式、关系式、定义式的题怎么拆？¶

★P94–95｜例2.11：\(0<a_n<\frac{\pi}{2}\)，\(0<b_n<\frac{\pi}{2}\)（约束式），\(\cos a_n-\cos b_n=a_n\)（关系式），\(\lim b_n=0\)，求 \(\lim a_n\) 与 \(\lim\frac{a_n}{b_n^2}\)
第一问：\(a_n=\cos a_n-\cos b_n>0\) 且 \(\cos\) 在 \((0,\frac{\pi}{2})\) 单调减 ⟹ \(0<a_n<b_n\)，夹逼得 \(\lim a_n=0\)
第二问：\(\frac{a_n}{b_n^2}=\frac{1-\cos b_n}{b_n^2}\cdot\frac{a_n}{1-\cos b_n}\) 变形整理得 \(\lim\frac{a_n}{b_n^2}=\frac{1}{2}\)（用 \(1-\cos b_n\sim\frac{1}{2}b_n^2\)）
💡 分析三步：①分清约束式、关系式和定义式 ②做一至两步逆运算 ③联想经典形式（\(1-\cos\square\sim\frac{\square^2}{2}\)）
🧠 数列版等价替换合法性：\(b_n\to 0\) 就能用 \(x\to 0\) 的等价（归结原则背书）
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簇2E：单调有界准则与递推数列——大题模板¶

单调有界准则怎么减半工作量？单调性有哪五招？¶

★P95–96｜准则：单调增有上界（或单调减有下界）⟹ \(\lim x_n\) 存在；证出增就只用找上界，证出减就只用找下界，另一半不用证
记法：\(x_n\leqslant x_{n+1}\leqslant a\) ⟹ 存在；\(a\leqslant x_{n+1}\leqslant x_n\) ⟹ 存在（学会用结论即可，不必证准则本身）
证单调五招：★a. 作差 \(x_{n+1}-x_n\) 与 0 比（用得最多）或同号时作比与 1 比；★b. 数学归纳法（验 \(n=1\)／设 \(n=k\)／证 \(n=k+1\)）；★c. 重要不等式（上一张卡的 ⑤–⑫）；d. \(x_n-x_{n-1}\) 与 \(x_{n-1}-x_{n-2}\) 同号；★e. 递推 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 看 \(f'\)
★P96｜招 e 细则：先确认所有迭代项都留在区间 \(I\)。若 \(f'>0\)（\(x\in I\)），则 \(x_2>x_1\) 时递增、\(x_2<x_1\) 时递减、\(x_2=x_1\) 时为常数列；若 \(f'<0\)，除初值恰为不动点而形成常数列外，相邻项通常在不动点两侧交替，不能据此直接判整个数列单调
★P97（例2.13）｜四命题辨析：在迭代始终留于考察区间的前提下，\(f\) 增+\(x_1<x_2\) ⟹ 增；\(f\) 增+\(x_1>x_2\) ⟹ 减；\(f\) 减时非不动点轨道通常摆动——选(A)（①②对）
🧠 蛛网图直觉：\(f\) 增时轨迹沿 \(y=x\) 单侧爬（楼梯）；\(f\) 减时绕交点转圈（蜘蛛网）——判型 3 秒钟，写卷面还得用 a/b 招

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递推数列大题的标准三步走是什么？¶

★P96（例2.12）｜模板题：\(0<x_1<3\)，\(x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}\)
第一步有界：基本不等式 \(x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}\leqslant\frac{x_n+(3-x_n)}{2}=\frac{3}{2}\)（\(n\geqslant 1\)），且显然 \(x_n>0\)
第二步单调：\(x_{n+1}-x_n=\sqrt{x_n}(\sqrt{3-x_n}-\sqrt{x_n})=\sqrt{x_n}\cdot\frac{3-2x_n}{\sqrt{3-x_n}+\sqrt{x_n}}\geqslant 0\)（\(n>1\) 时 \(x_n\leqslant\frac{3}{2}\) 保证 \(3-2x_n\geqslant 0\)，分子有理化是关键）⟹ 单调增
第三步取极限：设 \(\lim x_n=a\)，对 \(x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}\) 两边取极限得 \(a=\sqrt{a(3-a)}\) ⟹ \(a=\frac{3}{2}\)（\(a=0\) 舍：数列单调增，故 \(x_n\geqslant x_1>0\)，从而 \(a\geqslant x_1>0\)）
⚠️ 舍根要给理由（单调性/保号性），不能"显然"
⚠️ 单调有界还没证之前，不许先"设 \(\lim x_n=a\)"——顺序颠倒是零分逻辑
🧠 卷面顺序=有界→单调→方程→舍根；草稿顺序常反着来：先解 \(a=f(a)\) 猜出极限，再据 \(a\) 设计放缩

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f 不单调时怎么办？压缩映射两原理¶

★P93｜原理一：存在 \(0<k<1\) 使 \(\lvert x_{n+1}-a\rvert\leqslant k\lvert x_n-a\rvert\) ⟹ \(\lvert x_{n+1}-a\rvert\leqslant k^n\lvert x_1-a\rvert\to 0\) ⟹ \(x_n\to a\)（夹逼）
原理二：\(x_{n+1}=f(x_n)\)；若在包含全部迭代项及不动点 \(a\) 的区间 \(I\) 上，\(f\) 可导、\(f(I)\subseteq I\)、\(a\) 是 \(f(x)=x\) 的唯一解，且 \(\lvert f'(x)\rvert\leqslant k<1\)，则 \(x_n\to a\)（若导数界对任意 \(x\in\mathbf R\) 成立，可直接取 \(I=\mathbf R\)）
⚠️ 考生使用时要写出证明过程（不能直呼其名当定理引用）
★P97–98（例2.15）｜示范：题设 \(-1\leqslant x_1\leqslant1\)，\(x_{n+1}=\cos x_n\)。先证 \(0<x_n\leqslant1<\frac{\pi}{3}\)（\(n>1\)），不动点 \(a\in(0,\frac{\pi}{3})\)；再用拉格朗日定理估计 \(\lvert x_{n+1}-a\rvert=\lvert\cos x_n-\cos a\rvert=\lvert\sin\xi\rvert\lvert x_n-a\rvert\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}\lvert x_n-a\rvert\)，递推得 \(x_n\to a\)
前置第一问：\(x=\cos x\) 在 \((0,\frac{\pi}{3})\) 唯一实根（\(F=\cos x-x\)，\(F(0)=1>0\)，\(F(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{3}<0\)，\(F'=-\sin x-1<0\) 单调减）
🧠 识别信号：递推函数是 \(\cos\)、\(\frac{1}{1+x}\) 这类减函数时，除初值恰为不动点的常数列外，轨道通常交替摆动，可转向“\(\lvert x_n-a\rvert\) 打折”套路；题目常把“证唯一根”设成第(1)问喂给你 \(a\)

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例2.14 这道"要背诵"的真题套路长什么样？¶

★P97–98｜(1) 证 \(x=2\ln(1+x)\) 在 \((0,+\infty)\) 唯一实根 \(\xi\)：令 \(F(x)=x-2\ln(1+x)\)，\(F'=\frac{x-1}{1+x}\)，\(x=1\) 唯一驻点；\(F(0)=0\)，\(F(1)=1-2\ln 2<0\)，\(F(+\infty)=+\infty\) ⟹ \((0,1)\) 内无零点、\((1,+\infty)\) 上唯一零点
(2) 任取 \(x_1>\xi\)，\(x_{n+1}=2\ln(1+x_n)\)：归纳证 \(x_n>x_{n+1}>\xi\)（用 \(2\ln(1+x)\) 单调增+\(\xi\) 是不动点），单调减有下界 ⟹ 收敛；取极限 \(a=2\ln(1+a)\)，由唯一性 \(a=\xi\)
⚠️ \(F(0)=0\) 意味着 \(x=0\) 也满足方程——题干"\((0,+\infty)\) 内"把它排除了，读题要细
💡 书原话："题目解答过程需要背诵"；蛛网图 2-3（\(x_1>\xi\) 从右侧滑向 \(\xi\)）、图 2-4（\(x_1<\xi\) 从左侧爬向 \(\xi\)）帮助理解
🧠 这套"(1)唯一根 (2)递推收敛于该根"的双问结构是考研大题的高频骨架，第 6 讲零点定理+本讲单调有界在一道题里会师

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簇2F：收敛速度与定义理解题¶

数列极限定义里的 ε 为什么不能与 n 有关？¶

★P100–101｜收敛速度：\(u_n=\lvert x_n-a\rvert\)，\(v_n=\lvert y_n-a\rvert\)，\(I=\lim\frac{u_n}{v_n}\)：\(I=0\) ⟹ \(x_n\) 收敛快（高阶）；\(I=b>0\) 同阶；\(I=\infty\) 慢（低阶）——\(\frac{1}{n}\) 比 \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) 快
定义只体现收敛目标，不体现收敛速度——这是命制选择题的理论依据
★P100（例2.16）｜"对任给 \(k\in\mathbf{N}_+\)，存在 \(N\)，\(n>N\) 时 \(\lvert x_n-a\rvert\leqslant\frac{1}{2^k}\)"是收敛于 \(a\) 的充要条件，选(C)——\(\frac{1}{2^k}\) 可任意小，就是换装的 \(\varepsilon\)
★P101–102（例2.17）｜"存在 \(N\)，\(n\geqslant N\) 时 \(\lvert x_n-a\rvert\leqslant\frac{1}{n}\)"是充分不必要，选(A)——它额外要求了"以 \(\frac{1}{n}\) 的速度靠近"；反例 \(x_n=a+\frac{1}{\sqrt{n}}\) 收敛但速度更慢
判据：合法的 \(\varepsilon\) 替身必须是"不依赖 \(n\) 的任意小正数"；绑定 \(n\) 的（\(\frac{1}{n}\)）都在提速度要求 ⟹ 只充分不必要
🧠 例2.18 的注值得抄下：靠别人给的反例排除选项后要自问"为什么是这样的反例？我举得出来吗？"——举反例的能力就是这类题的全部

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第2讲习题精华——4 个高频套路¶

★P102–104｜习题 2.2 ★：\(x_n>0\) 且 \(\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1}{2}<1\) ⟹ 由保号性存在 \(N\)，\(n>N\) 后 \(\frac{x_{n+1}}{x_n}<1\) 即单调减，且有下界 0 ⟹ 收敛；再设 \(\lim x_n=A>0\) 则 \(\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{A}{A}=1\neq\frac{1}{2}\) 矛盾 ⟹ \(A=0\)，选(A)——"比值极限<1 ⟹ 趋于 0"整条链要会写
习题 2.4：\(\lim\frac{n^{99}}{n^k-(n-1)^k}\) 存在且非零 ⟹ 分母 \(n^k[1-(1-\frac{1}{n})^k]\sim n^k\cdot\frac{k}{n}=kn^{k-1}\) ⟹ \(99=k-1\)，\(k=100\)（\((1-\frac{1}{n})^k-1\sim-\frac{k}{n}\) 广义化）
习题 2.3：\(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\) 有理化后同除 \(\sqrt{n}\) ⟹ 1；习题 2.5：\(\sum\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\) 分母放缩 ⟹ 1；习题 2.6：\(1\leqslant\sqrt[n]{1+\sum\frac{1}{k}}\leqslant\sqrt[n]{n}\to 1\)
习题 2.7：\(f\) 在 \([a,b]\) 连续 ⟹ \(\mathrm{e}^{f(x)}\) 有最大 \(M\) 最小 \(m\) ⟹ \(\sqrt[n]{m}\leqslant\sqrt[n]{\frac{1}{n}\sum\mathrm{e}^{f(x_k)}}\leqslant\sqrt[n]{M}\)…极限=1（⚠️ 结合 \(\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\to 1\)）
习题 2.8（完整三步走）：\(x_1=2\)，\(x_n=\frac{3+4x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\)——作差+归纳证增，\(x_n=3+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}<4\) 有上界，取极限 \(A=\frac{3+4A}{1+A}\) ⟹ \(A=\frac{3+\sqrt{21}}{2}\)（负根由保号性舍去）
🧠 分式线性递推 \(x_{n+1}=\frac{ax_n+b}{cx_n+d}\) 判有界的小抄：拆成"常数+真分式"（如 \(3+\frac{x}{1+x}<3+1\)），上界立现

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第2讲解题路线图——数列极限题的分诊台¶

求具体数列极限：先看结构——n 项和（放缩夹逼/裂项/定积分定义）、n 次根（max 结论/夹逼 \(\sqrt[n]{n}\to 1\)）、通项含函数（归结原则借洛必达泰勒）、\(1^{\infty}\)（\(\mathrm{e}^{\lim(u-1)v}\)）
证递推数列收敛：画蛛网判型 → \(f\) 增且轨道留在同一区间时走“单调+有界+取极限”三步；\(f\) 减时不能直接判单调，只有能证明统一压缩率 \(0<k<1\)，才走 \(\lvert x_n-a\rvert\leqslant k^{n-1}\lvert x_1-a\rvert\) → 都写完整证明
判收敛/发散（选择题）：子列（奇偶推论/找发散证人）、四则速记表、保号性翻译、收敛速度陷阱（\(\varepsilon\) 不许依赖 \(n\)）
⚠️ 三个高频雷：某子列收敛≠原列收敛；\(\lim(a_n+b_n)\) 存在≠各自存在；先设 \(\lim x_n=a\) 再证存在=逻辑颠倒
必背数字：\(\sum\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\)；\(\sqrt[n]{n}\to 1\)；\(\sqrt[n]{a_1^n+\cdots+a_m^n}\to\max\)；\(\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n\uparrow\mathrm{e}\)；\(\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n-\mathrm{e}\sim-\frac{\mathrm{e}}{2n}\)

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第2讲 数列极限