第3讲一元函数微分学的概念

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第3讲一元函数微分学的概念¶

簇3A：导数定义——一切概念题的地基¶

导数的增量式和函数式分别长什么样？"狗"是什么？¶

★P106–107｜增量式：\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)；令 \(x_0+\Delta x=x\) 得函数式：\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)——两式等价，各种场合都会见到
广义化：增量 \(\Delta x\) 会被命题人换成"狗"（\(-\Delta x\)、\((\Delta x)^2\)、\(\sin\Delta x\) 等）：\(f'(x_0)=\lim\limits_{\text{狗}\to 0}\dfrac{f(x_0+\text{狗})-f(x_0)}{\text{狗}}\)——上下的"狗"必须同一只且趋于 0
⚠️ 上式作为 \(f'(x_0)\) 的推论没有问题；反过来识别导数时还要看“狗”能否从两侧趋于 0。若狗\(=(\Delta x)^2\geqslant0\)，单凭该极限存在通常只得到右导数，不能推出双侧可导
三种等价提法：在 \(x_0\) 可导 ⟺ 导数存在 ⟺ \(f'(x_0)=A\)（\(A\) 有限）
⚠️ 隐含前提：\(f'(x_0)\) 存在 ⟹ \(f\) 在 \(x_0\) 附近有定义且在 \(x_0\) 连续
🧠 拿到"极限=导数"的识别题，先检查三件事：分母是不是趋 0 的那只狗、分子是不是 \(f(x_0+\text{狗})-f(x_0)\) 结构、\(f(x_0)\) 那一项是定值还是跟着变——三者缺一都不是导数

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可导的充要条件是什么？必要条件是什么？¶

★P107｜充要（考研必考）：\(f'(x_0)\) 存在 ⟺ 左导数 \(f_-'(x_0)\) 与右导数 \(f_+'(x_0)\) 均存在且相等（对应"极限存在⟺左右极限存在且相等"）
必要：可导 ⟹ 连续（证：\(\Delta y=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\to a\cdot 0=0\)）；反之未必：\(\lvert x\rvert\) 在 0 连续不可导
反直觉例：\(f(x)=x^2D(x)\)（狄利克雷）在 0 可导：\(f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2D(x)}{x}=\lim xD(x)=0\)（无穷小×有界）——只在一点可导、处处不连续（除 0 外）的函数
💡 直观三层次：函数存在=无牵无挂；连续=\(Y\) 们与 \(y\) 相依相偎；可导=不仅靠近，而且 \(Y\to y\) 的速度不慢于 \(X\to x\)（同阶或更快）
🧠 连续曲线"每一个位置都是断开的"（超实数视角）——连续不是"不断"，是"点点相依相偎"；可导只是靠得更近，依然是断开的。这个图景能救你于各种概念选择题

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分段点与绝对值处的可导性怎么快速判断？¶

★P113–114（例3.5）★当结论记：\(f\) 在 \(a\) 连续，则 \(F(x)=f(x)\lvert x-a\rvert\) 在 \(a\) 可导 ⟺ \(f(a)=0\)（\(F_-'(a)=-f(a)\)，\(F_+'(a)=f(a)\)，相等即 \(f(a)=0\)）
★P114（例3.6）｜应用：\(\lvert\)多项式\(\rvert\) 型先因式分解，\(\lvert x-x_0\rvert\varphi(x)\) 在 \(x_0\) 可导 ⟺ \(\varphi(x_0)=0\)；不可导点=绝对值里的单根且约不掉的那些点（\(f_1\) 有 \(\pm\sqrt{2}\) 两个，\(f_2\) 只有 \(x=2\) 一个，\(f_3\) 有 \(\pm\sqrt{2},-3\) 三个，选(A)）
★P115（例3.7）｜\(g(x)=\lvert f(x-1)\rvert\)，\(f\) 处处可导，\(f(0)=-1\)：\(x=1\) 处 \(f(1-1)=-1\neq 0\) ⟹ 必可导（选C）；\(x=0\) 处 \(f(-1)\) 未知 ⟹ 可导性不确定
★P113｜\(\lvert f\rvert\) 三结论：\(f\) 连续 ⟹ \(\lvert f\rvert\) 连续（反之不真）；\(f\) 在 \(x_0\) 可导且 \(f(x_0)\neq 0\) ⟹ \(\lvert f\rvert\) 可导；\(f(x_0)=0\) 时：\(f'(x_0)=0\) ⟹ \(\lvert f\rvert\) 可导（导数为 0），\(f'(x_0)\neq 0\) ⟹ 不可导
🧠 记忆图景：\(\lvert\cdot\rvert\) 把 \(x\) 轴下方翻上来；翻折点若曲线斜着穿过 \(x\) 轴（\(f'\neq 0\)）就折出尖角，相切着碰到 \(x\) 轴（\(f'=0\)）就平滑无恙
🧠 因式分解后数不可导点：一重零点（等价于 \(f(a)=0,f'(a)\neq0\)）会直接折出尖点；高重根仍应回上一条判据检查，不能笼统说“奇数重都不可导”——例如 \(\lvert x-a\rvert^3\) 在 \(a\) 处可导

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抽象函数与具体函数的关系式怎么榨出点信息？¶

★P110–111（例3.3）｜\(\lvert f(x)\rvert\leqslant 1-\cos x\) ⟹ 三层次：①夹逼 \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\) ②代 \(x=0\) 得 \(f(0)=0\) ⟹ 连续 ③\(0\leqslant\bigl\lvert\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\bigr\rvert\leqslant\frac{1-\cos x}{\lvert x\rvert}\to 0\) ⟹ \(f'(0)=0\)，选(C)
💡 方法总结：抽象函数被具体函数"压住"时，通过具体函数的信息去求抽象函数的点信息（极限→函数值→导数值，一层层挖）

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习题3.9怎样从极限条件直接认出 \(f'(0)\)？¶

★P121–122（习题3.9 同款）｜题设已给 \(f(0)=1\)，且 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0\)：泰勒 \(\ln(1-2x)=-2x-2x^2+o(x^2)\) 代入整理出 \(\lim\frac{f(x)-1}{x}=1\)；因为 \(f(0)=1\)，这正是 \(\lim\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)=1\)。同时 \(\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0)\)，故 \(f\) 在 0 连续
🧠 反向识别：题目让你"证在某点可导"，十有八九是要你把条件整理成 \(\lim\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 的形状——导数定义是终点站不是起点站

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多项相乘的函数在一点的导数怎么秒出？¶

★P111–113（例3.4）｜\(f(x)=(\mathrm{e}^x-1)(\mathrm{e}^{2x}-2)\cdots(\mathrm{e}^{nx}-n)\) 求 \(f'(0)\)：方法一定义：\(f(0)=0\) ⟹ \(f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}\cdot\lim[(\mathrm{e}^{2x}-2)\cdots(\mathrm{e}^{nx}-n)]=1\cdot(1-2)(1-3)\cdots(1-n)=(-1)^{n-1}(n-1)!\)，选(A)
方法三拆项：\(f(x)=(\mathrm{e}^x-1)g(x)\)（\(g\) 是在 0 不为 0 的部分）⟹ \(f'=\mathrm{e}^xg+(\mathrm{e}^x-1)g'\) ⟹ \(f'(0)=g(0)\)
💡 注：多项相乘不建议乘积公式硬导（公式繁琐）；关键是找出"在该点为 0 的因子"单独拎出来
必背：\((uv)'=u'v+uv'\)；\((u_1u_2u_3)'=u_1'u_2u_3+u_1u_2'u_3+u_1u_2u_3'\)
★P121（习题3.5）⚠️ 错误警示：\(f(x)=(x-a)\varphi(x)\)（\(\varphi\) 仅连续）求 \(f'(a)\)，用乘积公式写 \(f'(a)=[\varphi(x)+(x-a)\varphi'(x)]_{x=a}\) 是错的——\(\varphi'\) 不一定存在！正解用定义：\(f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}=\varphi(a)\)
💡 注（原话）：当函数不具备"导数存在"的条件时，往往只能用导数定义求

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簇3B：奇偶性·周期性·有界性在导数下的传递¶

例3.1 的四个选项哪三真一假？反例是什么？¶

★P108–109｜①可导偶函数 ⟹ \(f'\) 奇（定义验证 \(f'(-x)=-f'(x)\)）②可导奇函数 ⟹ \(f'\) 偶 ③可导周期 \(T\) ⟹ \(f'\) 周期 \(T\) ④可导有界 ⟹ \(f'\) 有界——④错，选(D)
④反例：\(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \((0,1]\) 有界，\(f'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 在 \((0,1]\) 无界
💡 蓝批注：导数的性质，选项当结论记住，会应用即可
★★★必背（★P109 注2）：\(f\) 无穷阶可导时，每求导一次，奇偶性互换一次——\(f\) 奇 ⟹ \(f'\) 偶 ⟹ \(f''\) 奇 ⟹ \(f'''\) 偶…
推论（高频填空）：奇函数的偶数阶导数在 0 处为 0；偶函数的奇数阶导数在 0 处为 0
🧠 有界性是四条里唯一"不遗传"的：因为求导是"局部放大镜"，函数本身温顺不代表变化率温顺（竖直切线附近 \(f'\to\infty\)）

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高阶导数在一点的值怎么用奇偶性偷懒？¶

★P109（注例1）｜\(f(x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)=\ln\frac{1-x}{1+x}\) 是奇函数 ⟹ \(f''\) 奇 ⟹ \(f''(0)=0\)——一步不用算
★P109（注例2）｜\(f(x)=\frac{1}{2^x+1}\)：不奇不偶，平移造奇——\(g(x)=f(x)-\frac{1}{2}\) 验证 \(g(-x)+g(x)=0\) 奇 ⟹ \(g^{(4)}\) 奇 ⟹ \(f^{(4)}(0)=g^{(4)}(0)=0\)
★P109（注2）｜\(f(x)=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)\)：内偶则偶+内奇同外 ⟹ 偶函数 ⟹ \(f^{(5)}\) 奇 ⟹ \(f^{(5)}(0)=0\)；又 \(T=2\pi\) ⟹ \(f^{(5)}(2\pi)=f^{(5)}(0)=0\)
★P109–110（例3.2）｜\(f\) 二阶可导、周期 2、奇，\(f(\frac{1}{2})>0\)，\(f'(\frac{1}{2})>0\)：\(M=f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})<0\)；\(K=f''(0)=0\)（奇⟹\(f''\) 奇）；\(N=f'(\frac{3}{2})=f'(\frac{3}{2}-2)=f'(-\frac{1}{2})=f'(\frac{1}{2})>0\)（\(f'\) 周期 2 且偶）⟹ \(M<K<N\)，选(C)
🧠 套路总结：见"求高阶导数在 0（或周期整点）的值"，第一反应不是算，是验奇偶+找周期；造奇的手段=减去中心值（水平渐近线的中点、\(f(0)\) 等）

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簇3C：导数的几何意义——切线、法线、角点、竖直切线¶

切线方程和法线方程怎么写？¶

★P115｜\(k=f'(x_0)\)；切线：\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)；若 \(f'(x_0)\neq0\)，法线为 \(y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)；若 \(f'(x_0)=0\)，法线为 \(x=x_0\)
💡 书上比喻：切线是锋利的刀"嗖"地切过点 \((x_0,y_0)\)；掷链球时松手瞬间，铁饼沿该点切线方向飞出——切线方向=该点运动方向
★P116（例3.8）｜\(y=x^n\) 在 \((1,1)\) 切线 \(y-1=n(x-1)\)，与 \(x\) 轴交点 \(\xi_n=1-\frac{1}{n}\) ⟹ \(\lim\limits_{n\to\infty}f(\xi_n)=\lim\bigl(1-\frac{1}{n}\bigr)^n=\frac{1}{\mathrm{e}}\)
🧠 切线截距问题的流程：写切线 → 令 \(y=0\)（或 \(x=0\)）解截距 → 后续极限/面积随它去——几何只负责第一步翻译

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切线存在和可导是什么关系？角点与竖直切线差在哪？¶

★P115–116｜导数存在 ⟹ 切线一定存在；切线存在 ⟹ 导数未必存在
情形①角点（尖点）：\(f_+'(x_0)\neq f_-'(x_0)\)，两条单侧切线成角 ⟹ 不可导，没有切线（\(\lvert x\rvert\) 在 0：\(k_+=1\)，\(k_-=-1\)）
情形②无穷导数：\(f'(x_0)=+\infty\) 或 \(-\infty\) ⟹ 有竖直切线 \(x=x_0\)，但导数不存在（\(x^{\frac{1}{3}}\) 在 0：\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{(\Delta x)^{2/3}}\to+\infty\)）
⚠️ 高等数学的"规矩"：无穷导数视为导数不存在（虽然某些数学场合视为广义存在）
曲线在 \(P(x_0,y_0)\) 有垂直于 \(x\) 轴的切线 ⟺ \(f'(x_0)=+\infty\) 或 \(-\infty\)
🧠 三张脸谱：可导=光滑斜切线；角点=两条半切线打架；竖直切线=切线站直了（第 5 讲画图判尖点、第 10 讲弧长公式都会回访）

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簇3D：高阶导数的定义——"存在"能推出什么¶

二阶导数的定义式是什么？n 阶导存在意味着什么？¶

★P117｜\(f''(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f'(x_0+\Delta x)-f'(x_0)}{\Delta x}\) 或（记住）\(f''(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\)；\(n\) 阶同构：\(f^{(n)}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}\)
写法规矩：\(f'\)、\(f''\)、\(f'''\)，\(n\geqslant 4\) 写 \(f^{(n)}\)
★注(1)：\(f''(x_0)\) 存在 ⟹ \(f\) 在 \(x_0\) 某邻域内有一阶导数，且 \(f'\) 在 \(x_0\) 连续（证：\(\lim[f'(x)-f'(x_0)]=\lim\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)=a\cdot 0=0\)）
★注(2)：\(f^{(n)}(x_0)\) 存在 ⟹ 某邻域内 \(1\sim n-1\) 阶导数全存在，且 \(f^{(n-1)}\) 在 \(x_0\) 连续
⚠️ 只保证 \(f^{(n-1)}\) 在这一点连续、邻域内有定义——不保证 \(f^{(n)}\) 在邻域内存在
🧠 层级图：\(n\) 阶导是塔尖，它存在时塔身（\(1\) 到 \(n-1\) 阶）必须在附近整层存在——概念选择题爱考"\(f''(x_0)\) 存在 ⟹ \(f'\) 在邻域内连续吗？"（只能保证在 \(x_0\) 一点连续）

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极值第二充分条件为什么成立？（例3.9 必背证明）¶

★P117–118｜设 \(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0)\neq 0\)：\(f''(x_0)<0\) ⟹ 极大；\(f''(x_0)>0\) ⟹ 极小
证明骨架（\(f''(x_0)<0\) 情形）：\(f''(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0\) ⟹ 保号性 ⟹ 去心邻域内 \(\frac{f'(x)}{x-x_0}<0\)（用了 \(f'(x_0)=0\)）⟹ \(f'\) 与 \(x-x_0\) 异号 ⟹ 左侧 \(f'>0\) 右侧 \(f'<0\) ⟹ 第一充分条件 ⟹ 极大
必背公式来源：函数极限的局部保号性（\(\lim>0\) ⟹ 去心邻域 \(>0\)）
💡 分析栏原话：概念题——这条链把"二阶导定义+保号性+极值第一充分条件"焊在一起，考研大题写证明直接照此复现
🧠 直觉版：\(f''(x_0)<0\) 说明斜率函数 \(f'\) 在 \(x_0\) 附近"下坡"，而 \(f'(x_0)=0\)，下坡穿过 0 ⟹ 先正后负 ⟹ 山顶。第 5 讲判极值全靠这套逻辑

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簇3E：微分——线性主部的语言¶

可微怎么定义？和可导什么关系？¶

★P118–119｜\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)，若存在与 \(\Delta x\) 无关的常数 \(A\) 使 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\) ⟹ 可微，记 \(\mathrm{d}y\big|_{x=x_0}=A\Delta x=f'(x_0)\mathrm{d}x\)
引例：边长 1 的正方形边长增 \(\Delta x\)，\(\Delta S=(1+\Delta x)^2-1=2\Delta x+(\Delta x)^2\)——\(2\Delta x\) 是线性主部（两个小长方形），\((\Delta x)^2\) 是误差（角上小正方形）
一元函数：可微 ⟺ 可导（证明：可微则 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\to A\)；可导则脱帽反推）；\(\mathrm{d}x=\Delta x\)（对 \(y=x\) 用定义）
可微判别三步：①写 \(\Delta y\) ②写 \(A\Delta x=f'(x_0)\Delta x\) ③验 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}=0\)——等于 0 即可微
几何意义：可微 ⟹ 在 \((x_0,y_0)\) 附近可用切线段近似代替曲线段（图3-15：\(\Delta y\) 是曲线增量，\(\mathrm{d}y\) 是切线增量，差 \(o(\Delta x)\)）
🧠 一句话：微分=增量的"一次近似"。\(\Delta y\approx\mathrm{d}y\) 是全部近似计算、误差估计的源头；到多元（第 13 讲）可微与可导不再等价，这里的三步判别法会升级重出

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Δy 与 dy 差多少？考题怎么设问？¶

★P119–120（例3.10）｜\(\Delta y=\frac{y\Delta x}{x+\sqrt{x^2+y^2}}+o(\Delta x)\) ⟹ 直接读出 \(y'=\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\)；代 \(f(0)=1\) 得 \(y'(0)=1\) ⟹ \(\mathrm{d}y\big|_{x=0}=\mathrm{d}x\)，选(B)——定义形状即答案
★P120（例3.11）｜\(y=f(x^2)\)：\(\mathrm{d}y=f'(x^2)\mathrm{d}(x^2)=2xf'(x^2)\Delta x\)；\(x=-1\)，\(\Delta x=-0.1\)，线性主部 \(0.1=-2f'(1)\cdot(-0.1)\) ⟹ \(f'(1)=0.5\)，选(C)
★P120（一题一练）｜\(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(1)-\mathrm{d}f(1)}{\Delta x}\)：分别算 \(\lim\frac{\Delta f(1)}{\Delta x}=f'(1)\)、\(\lim\frac{\mathrm{d}f(1)}{\Delta x}=f'(1)\) ⟹ 原式=0，选(D)（\(\Delta f-\mathrm{d}f=o(\Delta x)\)）
★P121–122（习题3.3/3.4）｜切线垂直 \(y=2-x\) ⟹ \(f'(x_0)=1\) ⟹ \(\mathrm{d}y=\Delta x\) 等价无穷小；\(f'(x_0)\neq 0\) 时 \(\Delta y-\mathrm{d}y\) 是 \(\mathrm{d}y\) 的高阶无穷小（\(\frac{\Delta y-\mathrm{d}y}{\mathrm{d}y}=\frac{o(\Delta x)}{f'\Delta x}\to 0\)）
🧠 比阶三件套背下：\(\mathrm{d}y=f'\Delta x\) 与 \(\Delta x\) 同阶（\(f'\neq 0\) 时）；\(\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)\)；\(\Delta y\sim\mathrm{d}y\)（\(f'\neq 0\)）——所有"\(\Delta y\)、\(\mathrm{d}y\)、\(\Delta x\) 谁比谁"的选择题都从这三条出

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第3讲习题精华与解题路线¶

★P121–124｜习题3.1：分段函数在 0 的可导性——左右导数分别用定义算：\(f_+'(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x^{3/2}}=0\)（注意除的是 \(x\) 后再除 \(\sqrt{x}\)），\(f_-'(0)=\lim xg(x)=0\)（有界×无穷小）⟹ 可导，选(D)
习题3.2：\(f=\lvert x^3-1\rvert\varphi(x)\)，\(\varphi\) 在 1 连续 ⟹ \(\varphi(1)=0\) 是在 1 可导的充要条件（两个方向都要证），选(A)——例3.5 结论的标准应用
习题3.6：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(1-\sqrt{\cos x})}{\ln(1-x\sin x)}\)（\(f(0)=0\)，\(f'(0)\) 存在）：凑定义 \(\frac{f(\text{狗})-f(0)}{\text{狗}}\cdot\frac{\text{狗}}{\ln(1-x\sin x)}\)，狗\(=1-\sqrt{\cos x}\sim\frac{x^2}{4}\)，分母 \(\sim-x^2\) ⟹ \(-\frac{1}{4}f'(0)\)
习题3.7 ★导数极限定理（单侧版）：\(F\) 在 \([x_0,x_0+\delta)\) 连续、\((x_0,x_0+\delta)\) 可导、\(\lim\limits_{x\to x_0^+}F'(x)=A\) 存在 ⟹ \(F_+'(x_0)=A\)（洛必达一步）；⚠️ 注：\(\lim F'\) 不存在时 \(F_\pm'(x_0)\) 仍可能存在——\(F=x^2\sin\frac{1}{x}\)：\(F'(0)=0\) 存在，但 \(\lim\limits_{x\to 0}F'(x)\) 振荡不存在
习题3.8：分段定参——先连续（\(A=b=0\)），再左右导数（都为 0）⟹ \(a\) 可为任意常数，\(f'(0)=0\)——⚠️ 别惯性地以为每个参数都能定出来
解题路线：概念题四板斧=①导数定义识别与凑形 ②奇偶周期传递 ③\(\lvert\cdot\rvert\)/分段点左右导数 ④\(\Delta y\)、\(\mathrm{d}y\) 比阶；只要"函数不具备导数存在的条件"，一律回定义

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第3讲 一元函数微分学的概念