跳转至

第15讲 微分方程

数学二范围 · 基础卡片 · 专题阅读 · 保留代码与校订注 · 与版本锁一致

第15讲 微分方程

簇15A：概念——不解方程也能做题

通解、特解、初始条件怎么定义？"独立常数"是什么意思？

  • ★P377–379｜微分方程=含未知函数导数（或微分）的方程；阶=最高阶导数的阶数；解代入成恒等式，解的图形叫积分曲线；通解=解中所含独立常数个数等于阶数
  • 独立：经任何恒等变形都不能使常数个数减少——\(y=\mathrm{e}^x(C_1+C_2x)\) 独立；\(y=C_1\sin x+C_2\cdot 2\sin x=C\sin x\) 不独立（蓝批注例）
  • 初始条件 \(y(x_0)=a_0,y'(x_0)=a_1,\cdots\) 定常数后得特解；⚠️ 通解中的常数可能限定范围（例15.4 的 \(C>1\)），未必是任意实数
  • 💡 分离变量前若除以了 \(g(y)\)，必须另查 \(g(y)=0\) 给出的常值解；这些被除掉的解不一定都是“奇解”。非线性方程还可能存在不能由通解取常数得到的奇解；线性方程在系数连续的固定无奇点区间上，由通解覆盖全部解
  • ★P379（例15.1 ★）｜\(y''-2y'+4y=0\) 的解，\(f(x_0)>0\)，\(f'(x_0)=0\)：不解方程——代点得 \(f''(x_0)=-4f(x_0)<0\) ⟹ 极值第二充分条件 ⟹ 极大值，选(A)；注：本书这类常系数且右端光滑的方程可由方程反复表出更高阶导数，因而其解任意阶可导；不要将此扩张为任意系数/任意右端的微分方程结论
  • ★P380（例15.2）｜\(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{3x}\)，\(y(0)=y'(0)=0\) ⟹ 代点得 \(y''(0)=1\) ⟹ \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{y(x)}=\lim\frac{x^2}{y}=\lim\frac{2x}{y'}=\lim\frac{2}{y''}=2\)（洛必达到二阶）
  • 🧠 "利用方程所反映的函数与各阶导数的关系"是选择填空最快路线——方程本身就是一条恒等式，代点、求导、再代点
回源 · PDF 第 385 页 · b_385_9；PDF 第 385 页 · b_385_13

簇15B：一阶方程四把钥匙

可分离、换元可分离、齐次型各怎么解？

  • ★P380–382｜可分离 \(y'=f(x)g(y)\)：\(\int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x\)（"物以类聚，人以群分"）；注：积分后常加 \(\ln C\) 而非 \(C\)（方便合并对数）
  • 换元后可分离 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(ax+by+c)\)：令 \(u=ax+by+c\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a+bf(u)\) 分离（例15.5：\(\mathrm{d}y=\sin(x+y+100)\mathrm{d}x\) ⟹ \(\tan u-\sec u=x+C\)）
  • 齐次型 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(\frac{y}{x})\)：令 \(u=\frac{y}{x}\)，\(y=ux\) ⟹ \(x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=\varphi(u)\) ⟹ \(\frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}\)
  • ★P381（例15.3 建模钥匙）｜切线斜率=\(x\ln(1+x^2)\) 过 \((0,-\frac{1}{2})\) ⟹ \(y=\frac{1}{2}(1+x^2)[\ln(1+x^2)-1]\)——学会把几何表述翻译成数学表达式
  • ★P382（例15.6 必背翻译）｜"切线在 \(y\) 轴上的截距"=\(y-xy'\)；到原点距离=截距 ⟹ \(\sqrt{x^2+y^2}=y-xy'\) 齐次型 ⟹ \(y+\sqrt{x^2+y^2}=C\)，过 \((\frac{1}{2},0)\) ⟹ \(y=\frac{1}{4}-x^2\)
  • 🧠 一阶方程识别顺序：能直接分离？→ 有 \(ax+by+c\) 整体？→ 只含 \(\frac{y}{x}\)？→ 都不是就整理成线性 \(y'+p(x)y=q(x)\)
回源 · PDF 第 386 页 · b_386_11；PDF 第 388 页 · b_388_4

一阶线性方程的通解公式和三个注意点是什么？

  • ★P382–383｜\(y'+p(x)y=q(x)\)：★\(y=\mathrm{e}^{-\int p\mathrm{d}x}\bigl[\int\mathrm{e}^{\int p\mathrm{d}x}q(x)\mathrm{d}x+C\bigr]\)——推导必须掌握：两边乘积分因子 \(\mathrm{e}^{\int p\mathrm{d}x}\) 凑成 \([\mathrm{e}^{\int p\mathrm{d}x}y]'=\mathrm{e}^{\int p\mathrm{d}x}q\) 再积分
  • 注(2) 绝对值规则：在 \(\varphi\) 不变号且不为零的固定区间上，若 \(\int p\mathrm{d}x=\ln\lvert\varphi\rvert\)，则积分因子可取 \(\lvert\varphi\rvert\)，也可把固定符号吸收后写成 \(\varphi\)；跨越零点时必须分区间讨论。其他场合出现 \(\ln u\) 且 \(u\) 不知正负，一律加绝对值
  • ★注(3) 定积分形式通解（近年考频高）：\(y=\mathrm{e}^{-\int_{x_0}^{x}p(t)\mathrm{d}t}\bigl[\int_{x_0}^{x}q(t)\mathrm{e}^{\int_{x_0}^{t}p(s)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t+C\bigr]\)——研究解的周期性、有界性、极限时用它
  • ★P384–385（例15.9 ★★★重点题型）｜\(y'+\mathrm{e}y=(1-\frac{1}{x})^x\) 的解求 \(\lim\limits_{x\to+\infty}\varphi(x)\)：定积分形式写出通解，洛必达 \(\lim\frac{(1-\frac{1}{x})^x\mathrm{e}^{\mathrm{e}x}}{\mathrm{e}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{e}x}}=\frac{\mathrm{e}^{-1}}{\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}^2}\)，选(D)
  • ★P385（例15.10）｜若 \(f\) 在 \([0,+\infty)\) 上有界，则 \(y'+ay=f\)（\(a>0\)）的任一解在 \([0,+\infty)\) 上有界：写成 \(y=\mathrm{e}^{-ax}[\int_0^xf(t)\mathrm{e}^{at}\mathrm{d}t+C]\) 再放缩（同例8.14）
  • ★P384（例15.8 ★角色互换）｜\(y\mathrm{d}x+(x-3y^2)\mathrm{d}y=0\)：对 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 不是线性 ⟹ 取倒数交换 \(x,y\) 角色：\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+\frac{x}{y}=3y\) 是 \(x(y)\) 的一阶线性 ⟹ \(x=y^2+\frac{C}{y}\)；初始条件 \(y(1)=1\) 不仅定 \(C=0\) 还定符号 \(y=\sqrt{x}\)
  • 🧠 遇到"不像任何标准型"的一阶方程，两板斧：\(x\leftrightarrow y\) 互换（谁当自变量是可以选的）、把 \(\mathrm{e}^y\)、\(y^2\) 等整体换元成新未知量（习题15.5：\((\mathrm{e}^y)'+\mathrm{e}^y=\sin x\) 关于 \(\mathrm{e}^y\) 线性）
回源 · PDF 第 388 页 · b_388_11；PDF 第 389 页 · b_389_16

簇15C：二阶可降阶方程（数一数二专属）

缺 y 和缺 x 两型分别怎么降阶？

  • ★P386｜(1) \(y''=f(x,y')\) 缺 \(y\)：令 \(y'=p(x)\)，\(y''=p'\) ⟹ 一阶方程 \(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=f(x,p)\)；解得 \(p=\varphi(x,C_1)\) 再积分 \(y=\int\varphi\mathrm{d}x+C_2\)（批注："赶尽杀绝 \(y\)"）
  • (2) \(y''=f(y,y')\) 缺 \(x\)：令 \(y'=p\)，⚠️ \(y''\) 必须写成 \(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\)（写成 \(p'\) 会把 \(x\) 搅进来适得其反）⟹ \(p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)\)；解得 \(p=\varphi(y,C_1)\) 再分离 \(\int\frac{\mathrm{d}y}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2\)
  • (3) \(y''=f(y')\) 型：两个都缺，按 (1) 处理最简
  • ★P386–387（例15.12）｜\(y''=y'[1+(y')^2]\)，\(y(0)=0\)，\(y'(0)=1\)：分离 \(\frac{\mathrm{d}p}{p(1+p^2)}=\mathrm{d}x\)（拆分式）⟹ 先定 \(C_1=\frac{1}{2}\) ⟹ \(y'=\frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{2-\mathrm{e}^{2x}}}\) ⟹ \(y=\arcsin\frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4}\)
  • ★P387–388（例15.13）｜\(yy''-\frac{2}{3}(y')^2=0\)：\(p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}y=\frac{2}{3}p^2\) ⟹ \(\lvert p\rvert=C_0\lvert y\rvert^{\frac{2}{3}}\) ⟹ \(3y^{\frac{1}{3}}=C_1x+C_2\) ⟹ 结合 \(y(0)=0\) 得 \(y=Cx^3\)（\(C_1=0\) 给 \(y\equiv 0\) 也满足，并入任意常数 ⟹ \(C\) 为任意常数）
  • 💡 初始条件充足时边解边定常数（例15.12 先定 \(C_1\) 再积分），比最后联立省很多
  • 🧠 降阶方程是"几何条件题"的常客：\(\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}=\frac{y''}{1+(y')^2}\)（倾角变化率，习题15.12）、面积比条件（习题15.13）求导后都落到这两型
回源 · PDF 第 392 页 · b_392_7；PDF 第 392 页 · b_392_10

簇15D：二阶常系数齐次——特征方程三分岔

特征方程的三种情形对应什么通解？

  • ★P388–389｜\(y''+py'+qy=0\) ⟹ 特征方程 \(r^2+pr+q=0\)（令 \(y=\mathrm{e}^{rx}\) 代入即得）
  • ①\(p^2-4q>0\) 两不等实根：\(y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x}\)；②\(=0\) 二重根 \(r\)：\(y=(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{rx}\)；③\(<0\) 共轭复根 \(\alpha\pm\beta\mathrm{i}\)：\(y=\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)，其中 \(\alpha=-\frac{p}{2}\)、\(\beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\)
  • 解的结构：\(y_1,y_2\) 是解且 \(\frac{y_1}{y_2}\neq\) 常数（线性无关）⟹ \(C_1y_1+C_2y_2\) 是通解
  • ★性质注：解含 \(\mathrm{e}^{rx}\) ⟹ \(r>0\) 时 \(x\to+\infty\) 无界、\(r<0\) 时 \(x\to-\infty\) 无界；复根型的非零解具有周期性，当且仅当 \(\alpha=0\)（纯虚根，只剩 \(\cos\beta x\)、\(\sin\beta x\)）。零解恒为周期函数，须单独说明
  • ★P389（例15.15）｜\(y''+y'-2y=0\) 在 \(x=0\) 取极值 3：\(r=-2,1\) ⟹ \(y=C_1\mathrm{e}^{-2x}+C_2\mathrm{e}^x\)；\(y(0)=3\)、\(y'(0)=0\)（极值+可导 ⟹ 费马）⟹ \(y=\mathrm{e}^{-2x}+2\mathrm{e}^x\)
  • ★P389（例15.16）｜\(y''+2y'+5y=0\)，\(f(0)=1\)，\(f'(0)=-1\)：\(r=-1\pm 2\mathrm{i}\) ⟹ \(y=\mathrm{e}^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)\) ⟹ \(f=\mathrm{e}^{-x}\cos 2x\)
  • 🧠 复根情形 \(\alpha\) 进指数、\(\beta\) 进三角——"实部安家指数、虚部安家角度"；初始条件里的"取极值"要自己翻译成 \(y'(x_0)=0\)
回源 · PDF 第 394 页 · b_394_20；PDF 第 395 页 · b_395_0

簇15E：二阶常系数非齐次——特解怎么设

两类自由项的特解形式怎么定？（"一看二算三比较"）

  • ★P390–391｜通解=齐次通解+非齐次特解；叠加原理：\(f=f_1+f_2\) 时特解相加；★两特解之差是齐次方程的解
  • ①\(f(x)=P_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\)：设 \(y^*=Q_n(x)\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot x^k\)——\(\mathrm{e}^{\alpha x}\) 照抄（没有 \(\mathrm{e}^{\alpha x}\) 表明 \(\alpha=0\)）、\(Q_n\) 是 \(x\) 的 \(n\) 次一般多项式、\(k=0\)（\(\alpha\) 非特征根）/ \(1\)（单特征根）/ \(2\)（二重特征根）
  • ②\(f(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}[P_m\cos\beta x+P_n\sin\beta x]\)：设 \(y^*=\mathrm{e}^{\alpha x}[Q_l^{(1)}\cos\beta x+Q_l^{(2)}\sin\beta x]x^k\)——\(l=\max\{m,n\}\)，两个不同的 \(l\) 次多项式都要设（哪怕自由项只有 \(\cos\)），\(k=0\)（\(\alpha\pm\beta\mathrm{i}\) 非特征根）/ \(1\)（是特征根）
  • 口诀（蓝批注）：一看（自由项中的 \(\alpha,\beta\)）二算（特征根 \(r_{1,2}\)）三比较（定 \(k\)）
  • ★P394–395（例15.17）｜\(y''-3y'+2y=2\mathrm{e}^{-x}\cos x\)：齐次 \(C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{2x}\)；\(\alpha\pm\beta\mathrm{i}=-1\pm\mathrm{i}\) 非特征根 ⟹ 设 \(y^*=\mathrm{e}^{-x}(A\cos x+B\sin x)\) 代入解得 \(A=\frac{1}{5}\)、\(B=-\frac{1}{5}\)
  • ★P403（习题15.1）｜\(y''-4y'+4y=x^2+8\mathrm{e}^{2x}\)：\(\lambda=0\) 非根给 \(ax^2+bx+c\)；\(\lambda=2\) 二重根给 \(dx^2\mathrm{e}^{2x}\) ⟹ 特解形式 \(ax^2+bx+c+dx^2\mathrm{e}^{2x}\)，选(B)
  • 🧠 \(Q_n\) 必须写满一般式（缺项也要设全）；代入后比较系数是纯体力活，考场上宁可稳不可省
回源 · PDF 第 396 页 · b_396_12；PDF 第 396 页 · b_396_19；PDF 第 400 页 · b_400_16；PDF 第 401 页 · b_401_5；PDF 第 401 页 · b_401_6；PDF 第 401 页 · b_401_7

微分算子法怎么当"快速验算器"用？

  • ★P391–394（注2 🧠超纲但极实用）｜记 \(\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\)，方程写成 \(F(\mathrm{D})y=f\)，特解 \(y^*=\frac{1}{F(\mathrm{D})}f\)；\(\frac{1}{\mathrm{D}}\)=积分
  • ①\(\mathrm{e}^{\alpha x}\) 型：\(F(\alpha)\neq 0\) ⟹ \(y^*=\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{F(\alpha)}\)；\(F(\alpha)=0\) ⟹ \(y^*=x\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{F'(\alpha)}\)；再退 \(x^2\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}}{F''(\alpha)}\)（注例1–3：\(y''+y'-2y=2\) 给 \(-1\)；\(=\mathrm{e}^x\) 给 \(\frac{1}{3}x\mathrm{e}^x\)；\(y''-2y'+y=\mathrm{e}^x\) 给 \(\frac{1}{2}x^2\mathrm{e}^x\)）
  • ②\(\cos\beta x\)/\(\sin\beta x\) 型：\(\mathrm{D}^2\) 代 \(-\beta^2\)；分母剩 \(p\mathrm{D}+c\) 就有理化后再代（注例4–6）；失效（代成 0）补 \(x\cdot\frac{1}{F'(\mathrm{D})}\)（注例5：\(y''+4y=\sin 2x\) ⟹ \(-\frac{1}{4}x\cos 2x\)）
  • ③多项式型：\(\frac{1}{F(\mathrm{D})}\) 按 \(\frac{1}{1-u}=1+u+u^2+\cdots\) 展开到多项式次数（注例7）；④\(\mathrm{e}^{\alpha x}v(x)\) 型：移位定理 \(\frac{1}{F(\mathrm{D})}\mathrm{e}^{\alpha x}v=\mathrm{e}^{\alpha x}\frac{1}{F(\mathrm{D}+\alpha)}v\)（注例8–9）
  • 💡 书注：待定系数法易设出形式、难在计算量大；算子法计算量小、难在记形式——卷面写待定系数，草稿用算子验算，两头兜底
  • 🧠 移位定理是算子法的灵魂：例15.17 用它 30 秒出 \(\frac{1}{5}\mathrm{e}^{-x}(\cos x-\sin x)\)，与待定系数结果互查
回源 · PDF 第 397 页 · b_397_6；PDF 第 400 页 · b_400_4

由特解反求方程的四条依据是什么？（例15.18/15.19）

  • ★P396｜以下“项→特征根”词典只可用于齐次方程的解或已确认的齐次组成部分：(1) 含 \(\mathrm{e}^{rx}\) ⟹ \(r\) 至少为单实根；(2) 含 \(x^{k-1}\mathrm{e}^{rx}\) ⟹ \(r\) 至少为 \(k\) 重实根；(3) 含 \(\mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\) 或 \(\mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x\) ⟹ \(\alpha\pm\beta\mathrm{i}\) 至少为单复根；(4) 含 \(x\mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x\) 型 ⟹ 至少二重复根。对任意非齐次特解不能直接套此反推
  • ★P395–396（例15.18）｜\(y''+\alpha y'+\beta y=\gamma\mathrm{e}^x\) 有特解 \(y^*=\mathrm{e}^{2x}+(1+x)\mathrm{e}^x\)：\(\mathrm{e}^{2x}\) 不可能是非齐次特解（自由项是 \(\mathrm{e}^x\) 系）⟹ 是齐次解 \(r_1=2\)；\(x\mathrm{e}^x\) 在解中 ⟹ \(\mathrm{e}^x\) 也是齐次解 \(r_2=1\) ⟹ \((r-1)(r-2)=0\) ⟹ \(\alpha=-3\)，\(\beta=2\)；代 \(y^*=x\mathrm{e}^x\) 定 \(\gamma=-1\)
  • ★P396–397（例15.19 四阶）｜特解 \(\mathrm{e}^x\cos 2x\) 和 \(x\)：前者给复根 \(1\pm 2\mathrm{i}\)；\(x=(0+1\cdot x)\mathrm{e}^{0x}\) 给 \(r=0\) 二重根 ⟹ 特征方程 \(r^4-2r^3+5r^2=0\) ⟹ \(y^{(4)}-2y'''+5y''=0\)
  • ★P406–407（习题15.2/15.9 配套）｜三个非齐次解 \(y_1,y_2,y_3\)：两两相减得齐次解（\(y_1-y_3=\mathrm{e}^{3x}\)、\(y_2-y_3=\mathrm{e}^x\) 线性无关）⟹ 通解 \(y=C_1\mathrm{e}^{3x}+C_2\mathrm{e}^x-x\mathrm{e}^{2x}\) 再定初值
  • 🧠 反求方程="从解读出特征根清单"：多项式 \(x\) 要看成 \(x\mathrm{e}^{0x}\)（0 是二重根的信号）；常数 \(C\) 看成 \(\mathrm{e}^{0x}\)（0 至少单根）
回源 · PDF 第 402 页 · b_402_21；PDF 第 401 页 · b_401_14

n 阶齐次方程的通解怎么写？欧拉方程要掌握到什么程度？

  • ★P396｜\(n\) 阶常系数齐次：单实根 \(r\) 写 \(C\mathrm{e}^{rx}\)；\(k\) 重实根写 \((C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\mathrm{e}^{rx}\)；单复根 \(\alpha\pm\beta\mathrm{i}\) 写 \(\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)；二重复根写 \(\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x+C_3x\cos\beta x+C_4x\sin\beta x)\)
  • ★P407（习题15.11）｜\(y^{(4)}-y'''+y''-y'=0\)：\(r^3(r-1)+r(r-1)=r(r-1)(r^2+1)=0\) ⟹ \(y=C_1+C_2\mathrm{e}^x+C_3\cos x+C_4\sin x\)；(2) 要求解是 \(x\) 的三阶无穷小 ⟹ 对通解泰勒展开逐项定系数（\(C_1+C_2+C_3=0\) 等）⟹ \(y=2C-C\mathrm{e}^x-C\cos x+C\sin x\)（\(C\neq 0\)）
  • 欧拉方程 \(x^2y''+pxy'+qy=f(x)\) 不在数学二、数学三考纲中，不作为独立题型要求；但按书中注释，上述推导仍应掌握：当 \(x>0\) 时令 \(x=\mathrm{e}^t\)（即 \(t=\ln x\)），按链式法则把对 \(x\) 的导数改写为对 \(t\) 的导数，从而化为常系数方程，求解后再用 \(t=\ln x\) 回代
  • 🧠 特征根与解的"词典"双向都要熟：正向（根→解）解方程用，反向（解→根）反求方程用
回源 · PDF 第 402 页 · b_402_10；PDF 第 403 页 · b_403_16

簇15F：几何应用与物理应用（数二应用主场）

追踪问题和倾角问题怎么建模？

  • ★P398–399（例15.21 追踪/曳物线）｜自行车前轮 \(P\) 沿 \(y\) 轴走、\(\lvert PQ\rvert=1\)，求后轮 \(Q\) 轨迹：追及点到被追及点的连线始终为切线方向 ⟹ \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-Y}{x}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\) ⟹ 积分（\(x=\sin t\) 或凑 \(\csc\)）得 \(y=\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}-\sqrt{1-x^2}\)
  • 配套故事：由轨迹判断自行车行驶方向（前轮轨迹=切线可不与另一曲线相交；后轮切线必指向前轮位置且弦长恒定）——对切线概念的深刻理解
  • ★P407–408（习题15.12 倾角）｜题设给出 \(\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)，其中 \(\alpha\) 为切线倾角；这不是一般恒等式。由 \(\alpha=\arctan y'\) 得 \(\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}=\frac{y''}{1+(y')^2}\)，联立题设才有 \(y''=y'[1+(y')^2]\)；曲线与 \(y=x\) 相切于原点还给出 \(y(0)=0\)、\(y'(0)=1\)
  • ★P408（习题15.13 面积比）｜曲边面积:三角形面积=3:2 ⟹ \(\frac{1}{2}\frac{y^2}{y'}=\frac{2}{3}\int_0^xy\mathrm{d}t\) 两端对 \(x\) 求导化成 \(yy''-\frac{2}{3}(y')^2=0\) 即例15.13 ⟹ \(y=Cx^3\)（\(C>0\)）
  • 🧠 几何建模三件套：切线截距（\(y-xy'\)、\(x-\frac{y}{y'}\)）、倾角（\(\arctan y'\)）、面积（变限积分，求导消积分号）；含 \(\int_0^xy\mathrm{d}t\) 的关系式两边求导是固定动作
回源 · PDF 第 404 页 · b_404_8；PDF 第 404 页 · b_404_9；PDF 第 405 页 · b_405_2；PDF 第 405 页 · b_405_13

物理应用的三类标准模型是什么？

  • ★P399–400（例15.22 减速模型 ★）｜飞机降落 \(m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv\)，求位移—速度关系：用 \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\) 换掉 \(t\)；在尚未停止、\(v>0\) 时约去 \(v\)，得 \(m\mathrm{d}v=-k\mathrm{d}x\)，故 \(x=\frac{m}{k}[v(0)-v]\)，停车位移再令 \(v\to0^+\)——第 7 讲 \(a=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\) 的变现
  • ★P400–401（例15.23 冷却定律）｜"温度变化率与温差成正比"⟹ \(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-20)\)（负号代表降温，\(k>0\)）⟹ \(T=C\mathrm{e}^{-kt}+20\)；\(T(0)=120\) 定 \(C=100\)；\(T(30)=30\) 定 \(k=\frac{\ln 10}{30}\) ⟹ \(T=100\mathrm{e}^{-\frac{\ln 10}{30}t}+20\)
  • 💡 注：\(k\) 不是已知量，最后应代入初值表示出 \(k\)；"成正比"的符号方向要跟物理直觉核对（\(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}<0\)）
  • ★P404（习题15.10 综合）｜\(f(t)=\mathrm{e}^{4\pi t^2}+\iint_{x^2+y^2\leqslant 4t^2}f(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)：极坐标化成变限积分后求导得 \(f'=8\pi t\mathrm{e}^{4\pi t^2}+8\pi tf\)（一阶线性）⟹ \(f(t)=(4\pi t^2+1)\mathrm{e}^{4\pi t^2}\)——"积分方程 → 求导 → 微分方程"是大题标准链路
  • 🧠 数二物理应用清单就三类：牛二定律（\(m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\) 合力，注意 \(v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\) 换元）、正比模型（冷却/衰变，\(\frac{\mathrm{d}\square}{\mathrm{d}t}=\pm k\square\)）、混合应用（积分方程求导）——都以一阶线性或可分离收尾
回源 · PDF 第 406 页 · b_406_1；PDF 第 410 页 · b_410_2；PDF 第 413 页 · b_413_3；PDF 第 413 页 · b_413_7；PDF 第 413 页 · b_413_9