第9讲积分学的计算

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第9讲积分学的计算¶

簇9A：基本积分公式与凑微分¶

十组基本积分公式里哪些最容易写错？¶

★P237–238｜\(\int x^k\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C\)（\(k\neq-1\)）；\(\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C\)；\(\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)）；\(\int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{x}+C\)；\(\int\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\sqrt{x}+C\)
三角组：\(\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln\lvert\cos x\rvert+C\)；\(\int\cot x\mathrm{d}x=\ln\lvert\sin x\rvert+C\)；★\(\int\sec x\mathrm{d}x=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C\)；\(\int\csc x\mathrm{d}x=\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C\)；\(\int\sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C\)；\(\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\)
反三角组（下列统一取 \(a>0\)）：\(\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\)；\(\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C\)
对数组：\(\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\)；\(\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\lvert x+\sqrt{x^2-a^2}\rvert+C\)；★\(\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\bigl\lvert\frac{x-a}{x+a}\bigr\rvert+C\)（\(\frac{1}{a^2-x^2}\) 版本分子分母对调）
降幂组：\(\int\sin^2x\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C\)；\(\int\cos^2x\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C\)（用 \(\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\)，记 2 次方即可）；\(\int\tan^2x\mathrm{d}x=\tan x-x+C\)
💡 这套公式=第 4 讲求导公式倒背；正背导数、倒背积分，一张表两用

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十三个凑微分怎么形成条件反射？¶

★P238–239｜核心：\(\int f[g(x)]g'(x)\mathrm{d}x=\int f[g(x)]\mathrm{d}[g(x)]\)——拿一部分放到 \(\mathrm{d}\) 后面去
幂类：\(x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}(x^2)\)；\(\sqrt{x}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\mathrm{d}(x^{\frac{3}{2}})\)；\(\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\mathrm{d}(\sqrt{x})\)；\(\frac{\mathrm{d}x}{x^2}=\mathrm{d}(-\frac{1}{x})\)；\(\frac{\mathrm{d}x}{x}=\mathrm{d}(\ln\lvert x\rvert)\)（\(x\neq0\)）
指对三角类：\(\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\mathrm{e}^x)\)；\(\sin x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(-\cos x)\)；\(\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)\)；\(\sec^2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\tan x)\)；\(\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\mathrm{d}(\arctan x)\)；\(\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\mathrm{d}(\arcsin x)\)
示范：\(\int\frac{\ln^5x}{x}\mathrm{d}x=\int\ln^5x\,\mathrm{d}(\ln x)=\frac{\ln^6x}{6}+C\)；\(\int\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\arcsin^3x+C\)
★P240（例9.2 妙招）｜不是常用凑微分公式时，对被积函数的复杂部分求导试试：\(\bigl(\frac{\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\bigr)'=\frac{1}{(\cos\theta+\sin\theta)^2}\) 恰是另一因子 ⟹ \(\int\mathrm{e}^{u}\mathrm{d}u\) 型收工（真题大题最后一步）
🧠 凑微分是"猜某部分是谁的导数"；扫一眼被积函数：谁的导数在旁边站着，谁就进 \(\mathrm{d}\)

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簇9B：换元法——五种代换的选择¶

三角代换、根式代换、倒代换各在什么信号下用？¶

★P241｜三角代换（含平方项的根式）：\(\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin t\)（\(\lvert t\rvert<\frac{\pi}{2}\)）；\(\sqrt{a^2+x^2}\to x=a\tan t\)；\(\sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec t\)；含 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) 先配方化成 \(\sqrt{\varphi^2\pm k^2}\)、\(\sqrt{k^2-\varphi^2}\) 再代换
★★★根式代换（无平方项）：\(\sqrt[n]{ax+b}\)、\(\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}\)、\(\sqrt{a\mathrm{e}^{bx}+c}\) ⟹ 令整个根式 \(=t\)（"令复杂=t"）；既有 \(\sqrt[2]{ax+b}\) 又有 \(\sqrt[3]{ax+b}\) ⟹ 取最小公倍数 \(t=\sqrt[6]{ax+b}\)
倒代换：分母幂次比分子高 2 次及以上 ⟹ \(x=\frac{1}{t}\)（如 \(\int\frac{\mathrm{d}x}{x(x^3+1)}\)，也可凑 \(\mathrm{d}(x^3)\)）
直接代换：\(a^x\)、\(\mathrm{e}^x\)、\(\ln x\)、\(\arcsin x\)、\(\arctan x\) 作为明显复合整体出现 ⟹ 可令该整体 \(=t\)；若是 \(P_n(x)\mathrm e^{ax}\)、\(P_n(x)\sin bx\) 或 \(P_n(x)\ln x\)、\(P_n(x)\arctan x\) 这类两种类型相乘，则按下一簇的固定搭配优先分部积分；不要把“两个指数函数相乘”也机械地归入分部
★P241–242（例9.3）｜\(\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)——\(x=a\sin t\) 全程示范，回代用直角三角形
★P243（例9.4）｜\(\int\frac{x\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x-1}}\mathrm{d}x\)：令 \(u=\sqrt{\mathrm{e}^x-1}\) 整体代换（\(x=\ln(1+u^2)\)）⟹ \(2\int\ln(1+u^2)\mathrm{d}u\) 再分部 ⟹ \(2x\sqrt{\mathrm{e}^x-1}-4\sqrt{\mathrm{e}^x-1}+4\arctan\sqrt{\mathrm{e}^x-1}+C\)
🧠 决策树：根号？——有平方项走三角、无平方项令根式=t；没根号但分母高幂？倒代换；复合层复杂？直接换复杂部分；换元后别忘 \(\mathrm{d}x=\varphi'(t)\mathrm{d}t\) 三件套一起换

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簇9C：分部积分——顺序、表格法、循环方程¶

反对幂指三的顺序怎么用？表格法怎么摆？¶

★P243–244｜\(\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u\)：难算的 \(\int u\mathrm{d}v\) 换成易算的 \(\int v\mathrm{d}u\)；\(u,v\) 选取＝"反对幂指三"（反三角、对数、幂、指数、三角）——排左边的当 \(u\)（用来求导），排右边的进 \(\mathrm{d}\)（用来积分）
三类固定搭配：\(P_n(x)\mathrm{e}^{kx}\)、\(P_n\sin ax\) ⟹ \(u=P_n\)；\(\mathrm{e}^{ax}\sin bx\) ⟹ \(u\) 任选（循环）；\(P_n\ln x\)、\(P_n\arctan x\) ⟹ \(u=\ln x\)、\(\arctan x\)
★★表格法（\(\int uv^{(n+1)}\) 推广式）：上排 \(u\) 逐阶求导到 0，下排 \(v\) 逐阶积分，错位相乘、符号 \(+-\) 相间：\(\int(x^3+2x+6)\mathrm{e}^{2x}\mathrm{d}x=(\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{7}{4}x+\frac{17}{8})\mathrm{e}^{2x}+C\) 一行搞定
★P244（例9.5 循环方程）｜\(\int\mathrm{e}^t\sin t\mathrm{d}t\) 分部两次回到自身 ⟹ 移项解方程 \(=\frac{1}{2}\mathrm{e}^t(\sin t-\cos t)+C\)；★直接套公式 \(\int\mathrm{e}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+C\)（分子=行列式记忆）
★P245（例9.7 相消型）｜\(\int\mathrm{e}^{2x}(\tan x+1)^2\mathrm{d}x\)：展开成 \(\sec^2x+2\tan x\)，分部后 \(\pm 2\int\mathrm{e}^{2x}\tan x\mathrm{d}x\) 正负相消 ⟹ \(\mathrm{e}^{2x}\tan x+C\)——\(\int\mathrm{e}^{ax}[af(x)+f'(x)]\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{ax}f(x)+C\) 的原型
🧠 分部的三大结局：一项清零（幂函数导没了）、回到自身（解方程）、相消（\(af+f'\) 型）——动笔前先预判结局，选对 \(u\)

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簇9D：有理函数与三角有理式¶

真分式怎么拆？待定系数怎么最快定出？¶

★P245–246｜\(\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\)（\(n<m\) 真分式；假分式先除成多项式+真分式）；拆分四规则：单因式 \(ax+b\) 给 \(\frac{A}{ax+b}\)；\(k\) 重因式 \((ax+b)^k\) 给 \(\frac{A_1}{ax+b}+\cdots+\frac{A_k}{(ax+b)^k}\) 共 \(k\) 项；二次单因式 \(px^2+qx+r\)（\(q^2-4pr<0\)）给 \(\frac{Ax+B}{px^2+qx+r}\)；\(k\) 重二次给 \(k\) 项
★P247（例9.8）｜定系数两法：①展开比较同次幂系数（死板）②赋值法：恒等式代好算的 \(x\)——代 \(x=-1\) 得 \(A=1\)、代 \(x=\frac{1}{2}\) 得 \(C=-2\)、代 \(x=0\) 得 \(B=0\)——优先代根
★P248（例9.9）｜\(\frac{x}{(x-1)(x^2+1)}\)：赋值+比较混用 ⟹ \(\frac{1}{4}\ln\frac{(x-1)^2}{x^2+1}+\frac{1}{2}\arctan x+C\)
★P248–249（例9.10 最简式的积分）｜\(\int\frac{2x+3}{x^2-x+1}\mathrm{d}x\)：分子凑成 \(k\)(分母)\('\)+常数：\(2x+3=(2x-1)+4\) ⟹ \(\ln(x^2-x+1)+4\int\frac{\mathrm{d}x}{(x-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\ln(x^2-x+1)+\frac{8\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C\)
三角有理式 \(R(\sin x,\cos x)\)：万能代换 \(t=\tan\frac{x}{2}\)（\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\)，\(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)）必能化有理式；讨巧：\(R(-\sin,\cos)=-R\) ⟹ 凑 \(\mathrm{d}(\cos x)\)；\(R(\sin,-\cos)=-R\) ⟹ 凑 \(\mathrm{d}(\sin x)\)；\(R(-\sin,-\cos)=R\) ⟹ 令 \(\tan x=t\)
🧠 万能代换是"保底不优雅"的核弹；先试讨巧三问，再试半角，最后才硬拆

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簇9E：定积分计算——牛顿-莱布尼茨的边界¶

牛-莱公式什么时候会用错？（习题9.10 血泪陷阱）¶

★P249｜\(\int_a^bf\mathrm{d}x=F(b)-F(a)\) 要求 \(F\) 是 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续的原函数
★推广（分段原函数）：\([a,c]\) 上原函数 \(F_1\)、\((c,b]\) 上 \(F_2\) ⟹ \(\int_a^bf=F_1(c-0)-F_1(a)+F_2(b)-F_2(c+0)\)（单侧极限存在则收敛，有一个不存在则发散）
★P265–266（习题9.10 ★★）｜\(\int_0^{\frac{3\pi}{4}}\frac{\mathrm{d}x}{1+\cos^2x}\)：凑出 \(F=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\) 直接代端点得负数——错！\(F\) 在 \(x=\frac{\pi}{2}\) 无定义，不是 \([0,\frac{3\pi}{4}]\) 上的原函数 ⟹ 必须在 \(\frac{\pi}{2}\) 处分区间取单侧极限：\(=\frac{\pi}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}\)
💡 报警器：被积函数恒正积出负值 ⟹ 保号性告诉你牛-莱用错了；含 \(\tan\frac{x}{2}\)、\(\arctan\frac{\tan x}{k}\) 的原函数在 \(\tan\) 断点处都要警惕
定积分换元"三换"：被积函数、\(\mathrm{d}x\)、上下限一起换；常考 \(x=\frac{\pi}{2}\pm t\)、\(x=\pi\pm t\)；换元函数值域超出 \([a,b]\) 时只要 \(f\) 在其上连续仍成立（例9.13 注：\(\sqrt{1-\sin^2t}=\lvert\cos t\rvert\) 的处理有简有繁，选 \(t\) 范围别自找麻烦）
★P250（例9.11）｜\(f(x+\frac{1}{x})=\frac{x+x^3}{1+x^4}\) ⟹ 先反求 \(f(x)=\frac{x}{x^2-2}\)（例1.1 结论）再 \(\int_2^{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\ln 3\)

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定积分七组结论怎么背？（偶倍奇零·周期·区间再现·点火）¶

★P251–252｜(1) 偶函数 \(\int_{-a}^{a}f=2\int_0^af\)；(2) 奇函数 \(\int_{-a}^{a}f=0\)——先看奇偶再动笔；(3) 周期 \(T\)：\(\int_a^{a+T}f=\int_0^Tf\)（起点无关，例9.16 证明）
★(4) 区间再现：\(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\mathrm{d}x\)（令 \(x=a+b-t\)，例9.17）；用法：\(f\) 复杂而 \(f(x)+f(a+b-x)\) 简单 ⟹ \(\int_a^bf=\int_a^b\frac{f(x)+f(a+b-x)}{2}\mathrm{d}x\)——经典 \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{8}\ln 2\)
★(5)(6)(7) 华里士（点火）公式：\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x=\) 奇数 \(\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}\cdot 1\)；偶数 \(\frac{n-1}{n}\cdots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\)（偶数才点火乘 \(\frac{\pi}{2}\)）；\(\int_0^{\pi}\sin^n=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)；\(\int_0^{\pi}\cos^n=0\)（奇）/\(2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)（偶）；\(\int_0^{2\pi}\) 均 \(=0\)（奇）/\(4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\)（偶）
例：\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^8x\mathrm{d}x=\frac{7}{8}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{35\pi}{256}\)
★P254（例9.18 必背搭配）｜\(\int_0^{\pi}xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x\)（区间再现 \(x=\pi-t\) 推出）⟹ \(\int_0^{\pi}x\sin^9x\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\cdot 2\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{128\pi}{315}\)
★P251–253（例9.12/9.13）｜\(n\) 项和先化 \(\int_0^1\ln\frac{3-2x}{1+2x}\mathrm{d}x\) 再平移 \(x-\frac{1}{2}=t\) 变奇函数=0；\(\int_{-1}^1x^2\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\)：偶倍+三角代换+点火 \(=\frac{\pi}{8}\)
🧠 定积分求值顺序：奇偶/周期砍半 → 区间再现试对称 → 点火套公式 → 实在不行才回牛-莱硬算

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簇9F：变限积分的计算与结论¶

变限积分求导公式和它的两个陷阱是什么？¶

★P255｜\(\Bigl[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)\mathrm{d}t\Bigr]'=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)\)（\(f\) 连续、\(\varphi_i\) 可导）
⚠️ 陷阱一：被积函数含求导变量 \(x\) ⟹ 必须先移出（提到积分号外）或变量代换（\(f(xt)\) 型令 \(xt=u\)）才能用公式——习题9.16 的 \(\int_0^1f(tx)\mathrm{d}t\) 不是定积分是函数，先化 \(\frac{1}{x}\int_0^xf(u)\mathrm{d}u\)
⚠️ 陷阱二：不可求积先求导（例9.19 ★）：\(f(x)=\int_1^{x^2}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\) 积不出来 ⟹ \(\int_0^1xf(x)\mathrm{d}x\) 用分部 \(=\frac{x^2}{2}f(x)\big|_0^1-\int_0^1\frac{x^2}{2}f'(x)\mathrm{d}x\)，其中 \(f(1)=0\)、\(f'=2x\mathrm{e}^{-x^4}\) ⟹ \(\frac{1}{4}(\mathrm{e}^{-1}-1)\)，选(B)
★P256–257（例9.21 ★★★）｜\(F(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\lvert\sin x-\sin t\rvert\mathrm{d}t\)：以 \(t=x\) 为界拆区间去绝对值 ⟹ \(F=(2x-\frac{\pi}{2})\sin x+2\cos x-1\)，再泰勒/求导得二次泰勒多项式 \(1-\frac{\pi}{2}x+x^2\)，\(abc=-\frac{\pi}{2}\)
★P257（例9.22）｜\(F=\int_0^xtf(x^2-t^2)\mathrm{d}t\)：令 \(x^2-t^2=u\) ⟹ \(F=\frac{1}{2}\int_0^{x^2}f(u)\mathrm{d}u\) ⟹ \(F'=xf(x^2)\)——先换元再求导，含 \(x\) 的复合结构瞬间干净
🧠 处理次序口诀："先移 \(x\)、再换元、后求导"；凡是 \(\lvert\cdot\rvert\)、\(\max\)、\(f(x\pm t)\)、\(f(xt)\) 都属于"被积函数藏着 \(x\)"的变体

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变限积分的奇偶性和周期性结论有哪些？¶

★P258（重要结论）｜(1) \(f\) 可积奇函数 ⟹ \(\int_0^xf\)、\(\int_a^xf\) 都是偶函数（全体原函数均偶）
(2) \(f\) 可积偶函数 ⟹ \(\int_0^xf\) 是奇函数（且是全体原函数中唯一的奇函数；\(\int_a^xf\) 未必奇）
(3) \(f\) 可积周期 \(T\) ⟹ \(\int_0^xf\) 以 \(T\) 为周期 ⟺ \(\int_0^Tf\mathrm{d}x=0\)（第 1 讲周期结论④的出处）
★去趋势结论（例9.25）：\(F(x)-\dfrac{\int_0^Tf\mathrm{d}x}{T}x\) 恒以 \(T\) 为周期——\(\int_0^Tf\neq 0\) 时把"线性趋势"扣掉就周期了
★P259–260（例9.24 ★★★）｜奇 \(f\) 有连续导数：\(\cos f(t)\) 偶、\(f'(t)\) 偶 ⟹ \(\int_0^x[\cos f(t)+f'(t)]\mathrm{d}t\) 是奇函数，选(A)——先判被积函数奇偶（内偶则偶+奇导偶），再套结论(1)(2)
例9.23 证明模板：\(F(-x)=\int_a^{-x}f\mathrm{d}t\) 令 \(t=-u\) 换元拆 \(\int_{-a}^{a}+\int_a^x\) 逐段处理
🧠 记忆锚：积分升一档奇偶互换（奇积成偶、偶积成奇），与求导降档方向相反；周期能不能保住看"一个周期的净面积"

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簇9G：反常积分计算与 Γ 函数¶

反常积分计算的关键动作是什么？¶

★P259｜第一步永远是识别奇点：端点（\(\pm\infty\)、瑕点）+内部瑕点（小心！）；例9.26：\(\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\lvert x-x^2\rvert}}\)——\(x=1\) 是内部瑕点 ⟹ 拆两段去绝对值，分别配方积出 \(\frac{\pi}{2}+\ln(2+\sqrt{3})\)
收敛条件下换元照常用：例9.27 \(\int_3^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(x-1)^4\sqrt{x^2-2x}}\) 令 \(x-1=\sec\theta\) 化反常为定积分 \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2\theta)\cos\theta\mathrm{d}\theta=\frac{2}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{8}\)——反常↔定积分可互相转化
★P260（例9.28 ★★★）｜对非负整数 \(n\)，\(I_n=\int_0^{+\infty}x^n\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\)：分部建递推 \(I_n=nI_{n-1}\) ⟹ \(I_n=n!\)（\(\lim\limits_{x\to+\infty}x^n\mathrm{e}^{-x}=0\) 是免费边界项）
★Γ 函数速查（\(\alpha>0\)）：\(\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x=2\int_0^{+\infty}t^{2\alpha-1}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\)（\(x=t^2\)）；递推 \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\)；\(\Gamma(1)=1\)、\(\Gamma(n+1)=n!\)（\(n\in\mathbb N_0\)）、★\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)、\(\Gamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\)；由此 \(\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
★P261（例9.29）｜正态密度型 \(\int_0^{+\infty}x^2\cdot\frac{4x^2}{a^3\sqrt{\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}\mathrm{d}x\)：凑 \(\frac{x}{a}\) 为新变量套 \(\Gamma(\frac{5}{2})\) ⟹ \(\frac{3}{2}a^2\)——见 \(x^k\mathrm{e}^{-x^2}\)、\(x^k\mathrm{e}^{-x}\) 一律想 Γ
🧠 Γ 是"阶乘的连续化"，考研用法就三步：换元凑标准形 → 递推降阶 → 落到 \(\Gamma(1)=1\) 或 \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)

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第9讲习题精华——五个高频套路¶

★P263–268｜习题9.2：\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}+x^3\int_0^1f\mathrm{d}x\)——\(\int_0^1f\mathrm{d}x\) 是常数，两边 \([0,1]\) 积分把它当未知数解出 \(=\frac{\pi}{3}\)
习题9.4：\(f\) 的一个原函数为 \(\ln^2x\) ⟹ \(\int xf'\mathrm{d}x=xf-\int f\mathrm{d}x=2\ln x-\ln^2x+C\)——"见 \(f'\) 就分部"，别真去求 \(f''\)
习题9.9 ★分段函数的不定积分：\(\max\{1,\lvert x\rvert\}\) 分三段各积各的，再调常数使 \(F\) 在分段点连续（\(C_1=C\)、\(C_2=\frac{1}{2}+C\)、\(C_3=1+C\)）——原函数必须处处连续
习题9.14：分段函数定积分=按分段点拆区间，各段换元（\(\mathrm{e}^x=t\)；\(\frac{1-\sin x}{\cos^2x}\) 拆两项）⟹ \(-\ln 2+\ln(1+\mathrm{e})+2-\sqrt{2}\)
习题9.13 审题红利：\(\int_{-1}^1\frac{x+1}{1+\sqrt[3]{x^2}}\mathrm{d}x\) 先拆奇偶（奇项归零、偶项加倍）再换元 \(\sqrt[3]{x^2}=t\) ⟹ \(6-\frac{3}{2}\pi\)；习题9.17：\(\int_0^1t\lvert t-x\rvert\mathrm{d}t\) 按 \(x<0\)、\(0\leqslant x\leqslant 1\)、\(x>1\) 三段讨论后再求导
解题路线：不定积分四法（凑微分→换元→分部→有理拆）按信号选；定积分先性质（奇偶/周期/再现/点火）后计算；变限积分"移 \(x\)、换元、求导"；反常积分"找奇点、拆区间、Γ 收尾"

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第9讲 积分学的计算