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增加考研用到的各种算法的时空复杂度表格

第一讲时空复杂度¶

本文参考自

github 《hello algo》 2.2 时间复杂度 2.3 空间复杂度

知乎专栏千葉原 408高频考点：时间复杂度

bilibili 零壹考研教你秒杀时间复杂度「计算机考研408 数据结构」

邓俊辉《数据结构 C++语言版》

看不懂下面的定义法的话可以参考这个视频里的方法：bilibili 荣仔_最靓的仔数据结构——时间复杂度计算

「时间复杂度分析」统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念较为抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 n ，给定三个算法 A , B , C 。

算法 A 只有 1 个打印操作，算法运行时间不随着 n 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。
算法 B 中的打印操作需要循环 n 次，算法运行时间随着 n 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。
算法 C 中的打印操作需要循环 1000000 次，但运行时间仍与输入数据大小 n 无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为「常数阶」。

// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}

在统计时间复杂度的时候，有以下计数简化技巧：
忽略与n无关的操作；（顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略）
省略所有系数；
循环嵌套时使用乘法；(若有多层嵌套循环，只需要关注最深次循环循环了多少次)

【2011-01】设 n 是描述问题规模的非负整数，下面程序片段的时间复杂度是（）

x = 2;
while (x < n / 2) 
    x = 2 * x;

A.\( O(log⁡n) \)\( B. \)\( O(n) \)\( C. \)\( O(nlog⁡n) \)\( D. \)\( O(n^2 \)

【2012-01】求整数 n(n≥0) 阶乘的算法如下，其时间复杂度是（）。

int fact(int n) {
    if (n <= 1) return 1;
    return n * fact(n - 1);
}

A.\( O(log⁡n) \)\( B. \)\( O(n) \)\( C. \)\( O(nlog⁡n) \)\( D. \)\( O(n^2 \)

【2013-01】已知两个长度分别为 m 和 n 的升序链表，若将它们合并为长度为 m+n 的降序链表，则最坏情况下的时间复杂度是（）。

A. O(n)

B. O(mn)

C. O(min(m,n))

D. O(max(m,n))

【2014-01】下列程序段的时间复杂度是（）

count =0;
for(k = 1; k <= n; k *= 2)
    for(j = 1; j <= n; j++)
        count++;

A.\( O(log⁡n) \)\( B. \)\( O(n) \)\( C. \)\( O(nlog⁡n) \)\( D. \)\( O(n^2 \)

【2017-01】下列函数的时间复杂度是（）

int func(int n) { 
   int i = 0, sum = 0;
   while(sum < n) sum += ++i;
   return i;
}

A.\( O(log⁡n) \)\( B. \)\( O(n^{1/2}) \)\( C. \)\( O(n) \)\( D. \)\( O(nlogn) \)

【2019-01】设 n 是描述问题规模的非负整数，下列程序段的时间复杂度是（）

x = 0; 
while (n >= (x + 1) * (x + 1)) 
    x = x + 1;

A.\( O(log⁡_{10}n) \)\( B. \)\( O(n^{1/2}) \)\( C. \)\( O(n) \)\( D. \)\( O(n^2) \)

【2022-01】下列程序段的时间复杂度是（）

int sum = 0;for (int i = 1; i < n; i *= 2) 
    for (int j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

A.\( O(log⁡n) \)\( B. \)\( O(n) \)\( C. \)\( O(nlogn) \)\( D. \)\( O(n^2) \)

【2023-01】下列对顺序存储的有序表（长度为 n ）实现给定操作的算法中，平均时间复杂度为 O(1) 的是（）。

A. 查找包含指定值的元素的位置

B. 插入包含指定值元素的算法

C. 删除第 i (1≤i≤n) 个元素的算法

D. 获取第 i (1≤i≤n) 个元素的算法

void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }
}

时间复杂度的常见类型

设输入数据大小为 n ，常见的时间复杂度类型包括（按照从低到高的顺序排列）：（常对幂指阶）

1.1 时间复杂度分析¶

1.1.1 常数阶 \(O(1)\)¶

常数阶的操作数量与输入数据大小 \(n\) 无关，即不随着 \(n\) 的变化而变化。

对于以下算法，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与数据大小 \(n\) 无关，因此时间复杂度仍为\(O(1)\)

int func(int n) {
    int count = 0; 
    int size = 1000000;
    for(int i = 0; i < size; ++i)
        count ++;
    return count;
}

不难看出，除了输入数组等参数以外，该算法仅需常数规模的辅助空间。此类仅需\(O(1)\)辅助空间的算法，亦称作就地算法(in-place algorithm)

一般来说，仅含有一次或常数次基本操作的算法均属于此类。此类算法通常不含有循环、分支、子程序调用等，但是也不能仅凭语法结构一概而论。如下例，是一个包含循环、分支、子函数调用，甚至递归结构的算法，但是具有常数的总体时间复杂度.

void O1(unsigned int n) {
    for(unsigned int i = 0; i < n; i += 1 + n/2023;) {
  //虽然该函数有一个循环，但无论其输入参数n有多大，循环控制变量i总是以1+n/2023为步长，从0依次增至n，其迭代次数至多为2023，与n无关；
UNREACHABLE; //无法抵达的转向标志；
        if( 1 + 1 != 2) goto UNREACHABLE;    //分支：但是转向条件永远无法满足，转向无效；
        if(n * n < 0) doSomething(n);            //分支：条件永非，子函数调用无效；
        if((n + i) * (n + i) < 4 * n * i) doSomething(n);    //非负整数的算术平均不可能小与其几何平均，因此分支：条件永非，调用无效；
        if( 2 == (n * n) % 5)  O1(n  + 1);    //由基本数论知识不难验证，任何整数的平方关于5整除之后的余数不可能是2或3，所以条件永非，递归无效
        int f = fib(n); if(12 < n && (sqrt(f) * sqrt(f) == f)) O1(n - 1);   //条件永非
    }
}

1.1.2 线性阶\(O(n)\)¶

线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。

int linear(int n) {
    int count = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++){
        count ++;
    }
    return count;
}

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为\(O(n)\),其中n为数组或链表的长度。

输入数据大小n需根据输入数据的类型来具体确定，例如，在上述示例中，我们直接将n视为输入数据大小；在下面遍历数组的示例中，数据大小\(n\)为数据的长度；

int arrayTraversal(vector<int> &a) {   //遍历数组
    int count = 0;
    for(int i : a){    //循环次数与数组长度成正比
        count ++;
    }
    return count;
}

上面的是for循环，while循环也类似

int count = 0;
int i = 0;
while(i < n){
    ++ count;
    ++ i;
}

1.1.3 对数阶\(O(logn)\)¶

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。

对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。

设输入数据大小为\(n\)，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \(O(log_2n)\)，即 \(2^n\)的反函数。

for循环：

int count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i *= 2) {
    ++ count;
}

定义法求时间复杂度：设自增\(r\)次退出循环，则\(2^r=n\),\(r=log_2n\)

count执行次数为

\( \sum_{r = 1}^{log_2n}1=\overbrace{(1+1+\cdots+1)}^{log_2n个} =log_2n=O(logn) \)

while循环：

int count = 0, i = 1;
while(i < n) {
    i *= 2;
    count ++;
}

例3：

int logarithmic(float n ) {
    int count = 0;
    while(n > 1){
        n = n / 2;
        count ++;
    }
    return count;
}

对数阶常出现递归函数，以下代码形成了一个高度为\(O(log_2n)\)的递归树

/*对数阶（递归实现）*/
int logRecur(float n) {
    if(n <= 1)
        return  0;
    return logRecur(n / 2 ) + 1;
}

例5：对于任意非负整数，统计其二进制展开中数位1的个数

int countOnes (int n){
    int count = 0;
    while( n > 0){
        count += (n & 1);     //每次循环检查n的二进制展开的最低位，若该位为1则累计至count上，位与运算全1出1否则为0；
        n >>= 1;   //根据右移运算，每右移一位n都至少缩减一半，也就是说，至多经过1 + logn次循环，n必然缩减至0；
    }
    return count;
}

上述算法的时间复杂度为\(O(log_2n)\),事实上该算法还有改进空间

这就是n & (n-1)实现的效果，将n的二进制最低位的1给去掉，那么总共去掉多少次，就代表了二进制中有多少个1.

int countOnes(int n) {
    int count = 0;
    while(n) {
        n & (n - 1);   //去掉n二进制表示的最低位的1；
        ++ count;  //计数；
    }
    return count;
}

时间复杂度分析，该算法在将\(n\)二进制表示中的1全部去掉以后就跳出了循环，因此其时间复杂度为\(O(countOnes(n))\),线性正比于\(n\)中数位为1的实际数目。

1.1.4 平方阶\(O(n^2)\)¶

平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为\(O(n)\),因此总体为\(O(n^2)\)

int  func(int n) {
    int count = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            count ++;
        }
    }
    return count;
}

以冒泡排序为例，外层循环执行\(n - 1\)次，内层循环执行 \(n - 1, n - 2, n - 3……2,1\)次，平均为\(\frac{n}{2}\)次，因此时间复杂度为\(O((n-1)\*\frac{n}{2}) = O(n^2)\)

int bubbleSort(vector<int> & nums) {
    int count = 0;  //计数器，统计该程序执行次数
    for(int i = nums.size() - 1; i > 0;  i--) {   //外循环：未排序区间为【0，i】；
        for(int j = 0 ; j < i; j++) {   //内循环，将未排序区间的最大元素交换至该区间的最右端
            if(nums[ j ] > nums[j + 1]) {
                int tmp = nums[j];   //如果改位置元素比他右边的大，交换二者的值，以便将最大元素冒到右边界；
                nums[j] = nums[j + 1];  
                nums[j+1] = tmp;
                count += 3;  //在内循环中吗，一次元素交换包含3个单元操作；
            }
        }
    }
    return count;
}

1.1.5 指数阶\(O(2^n)\)¶

指数阶增长非常迅速，在实际应用中通常是不可接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度为\(O(2^n)\)，那么通常需要使用「动态规划」或「贪心算法」等方法来解决。

/*指数阶（循环实现）*/
int func(int n) {
    int count = 0, base = 1;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < base; j++) {
            count ++;
        }
        base *= 2;
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count;
}

在实际算法中，指数阶常出现在递归函数。例如以下代码，不断地一分为2，经过n次分裂后停止。

/*指数阶（递归实现）*/
int func (int n) {
    if(n == 1) 
        return 1;
    return func(n - 1) + func(n-1) + 1;   //与图中的递归树对应，代表着一分为2，例如细胞分裂。

这是一个递归函数，它在每个递归步骤中调用自身两次。因此，它的时间复杂度是指数级的。

更具体地说，我们可以通过递归树的方法来分析这个函数的时间复杂度。在每个递归级别，函数的调用次数都会翻倍。例如，对于输入n，第一级有1个函数调用，第二级有2个函数调用，第三级有4个函数调用，以此类推，直到第\(n\)级有\(2^{n-1}\)个函数调用。

因此，总的函数调用次数（即总的时间复杂度）是这个等比数列的和，即\(1 + 2 + 4 + ... + 2^{n-1}\)。这个等比数列的和可以用公式\(S = \frac{a \* (r^n - 1)} {(r - 1)}\)来计算，其中a是第一项（在这里是1），r是公比（在这里是2），\(n\)是项数（在这里是\(n\)）。将这些值代入公式，我们得到\(S = \frac{1 \* (2^n - 1)} { 2 - 1} = 2^n - 1\)。

因此，这个函数的时间复杂度是\(O(2^n)\)。这意味着，随着输入n的增大，函数的运行时间将以指数速度增长。

1.1.6 线性对数阶\(O(nlogn)\)¶

线性对数阶常出现在嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为\(O(nlogn)\)和\(O(n)\).

主流排序算法的时间复杂度通常是\(O(nlogn)\)，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

/*线性对数阶*/
int linearLogRecur(float n) {
    if(n <= 1){
        return 1;
    }
    int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);   //递归，时间复杂度为O(logn);
    for(int i = 0; i < n; i++) {   //内层循环条件与外层无关，内层循环为O(n);
        count ++;
    }
    return count;
}

真题

count = 0;
for(k = 1; k <= n; k *= 2){   //外层循环执行logn次
    for(j = 1; j < n; j++){  //内层循环条件与外存循环的变量无关，各自独立；外循环每执行一次，内层循环都会执行n次
        count ++;
    }
}

1.1.7 阶乘阶\(O(n!)\)¶

阶乘阶对应数学上的全排列问题，给定n个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

\(n! = n \* (n-1) \* (n - 2) \* … \* 2 \* 1\)

阶乘通常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出\(n\)个，第二层分裂出\(n - 1\)个，以此类推，直至第\(n\)层时终止分裂。

/*阶乘阶*/
int func(int n ) {
    if(n == 0)
        return 1;
    int count = 0;
    从1个分裂出n个；
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        count += func(n - 1);
    }
    return count;
}
//当n大于等于1时，递归调用func函数，每次将n减1，直到n等于0。在每次递归调用中，func函数会计算从1到n-1的所有整数乘积，然后将结果累加到count变量中。因此，对于给定的n，func函数会计算从1到n-1的所有整数乘积，并将结果累加到count变量中。根据递归调用的特点，每次递归调用都会将n减1，因此递归调用层数与n-1成正比。因此，func函数的时间复杂度为O(2^n).

1.2 关于408中时间复杂度考察的补充¶

1.2.1 方根时间复杂度¶

for循环

int count = 0;
for(int i = 0 ; i * i  < n;  ++i){
    ++ count;
}

while循环

int count = 0;
int i = 0;
while(i * i < n) {
    ++ i；
    ++count;
}

时间复杂度为\(O(\sqrt{n})\)

1.2.2 多层嵌套循环的分析¶

1.2.2.1 嵌套循环指针无关¶

即i指针与j指针无关

【例1】：

int count = 0;
for(int i = 1; i <= n ; ++i) {
    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
        count ++;
    }
}

时间复杂度为\(O(n \* n ) = O(n^2)\)

定义法：

\( \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j=1}^{n}1 = \sum_{i=1}^{n}\overbrace{(1+1+\cdots+1)}^{n个} = \sum_{i=1}^{n}n=\overbrace{n+n+n+\cdots+n}^{n个}=n\*n = n^2=O(n^2) \)

【例2】：

int count = 0;
for(int i = 1; i < n; i*= 2){
    for(int j = 1; j < n;j *= 2){
    count ++;
    }
}

时间复杂度\(O(logn) \* O(logn) = O(log^2n)\)

【例3】：

int count = 0;
for(int i = 0; i * i < n; ++i){
    for(int j = 0; j * j < n; ++j){
        count ++;
    }
}

时间复杂度\(O(\sqrt{n}) \* O(\sqrt{n}) = O(n)\)

1.2.2.2 嵌套循环指针相关¶

即 j指针与i 指针相关：

【例1】：

int count = 0;
for(int i = 0; i < n; ++i){
    for(int j = 0; j < i; ++j){
        count ++;
    }
}

时间复杂度为\(O(n) \* O(n) = O(n^2)\)

严格计算为：

\( \sum_{i = 0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1}1 =\sum_{i=0}^{n-1}\overbrace{(1+1+\cdots+1)}^{i个} =\sum_{i=0}^{n-1}i = 0+1+2+\cdots+(n-1)= \frac{n(n-1)}{2} = O(n^2) \)

【例2】：

int count = 0 ;
for(int i = 1; i * i <= n; ++i){
    for(int j = 1; j <= i; ++j) {
        ++count;
    }
}

时间复杂度\(O(\sqrt{n}) \* O(\sqrt{n}) = O(n)\)

公式法严格计算如下：

\( \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{i}1 = \sum_{i=1}^{\sqrt{n}}i = 1 + 2 + \cdots+\sqrt{n}= \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+1)}{2} = O(n) \)

【例3】：

int count = 0;
for(int i = 1; pow(2,i) < n; ++i){   // 2的i次方 < n;
    for(int j = 1; pow(2,j) < i; ++j){
        count ++;
    }
}

时间复杂度为\(O(log_2n \* log_2log_2n) = O(log_2nlog_2log_2n)\).

公式法严格计算为

【例4】：

int count = 0;
for(int i = 0; i * i < n; ++i) {
    for(int j = 0; j * j < i; ++j) {
        ++count;
    }
}

时间复杂度为\(O(\sqrt{n}\sqrt{\sqrt{n}}) = O(n^{\frac{3}{4}})\)

【例5】：

int count = 0;
for(int i =1 ; i <= n; ++i) {
    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
        for(int k = 1; k <= n; ++k) {
            ++count;
        }
    }
}

三个指针都是线性变化，时间复杂度为\(O(n)\*O(n)\*O(n)=O(n^3)\)

定义法分析步骤：

\( \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\sum_{k = 1}^{j}1 =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j=\sum_{i=1}^{n}(1+2+\cdots+i)=\sum_{i=1}^{n}(\frac{i(i+1)}{2})=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)\\=\frac{1}{2}[(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+(1+2+3+\cdots+n)]=\frac{1}{2}[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}] \=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=O(n^3) \)

这里用到了公式

\( \sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

上面几个例子中指针的变化都是线性增加的，时间复杂度可以直接相乘，但是下面几题中的部分指针是指数变化的，必须要用定义法来求时间复杂度。

【例6】：非线性变化嵌套非线性变化

int count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i *= 2) {
    for(int j = 1; j <= i; j *= 2) {
        ++count;
    }
}

用定义法求解，用\(r\)表示执行的轮次，严格计算如下：

\( \sum_{r = 1}^{log_2n}\sum_{j=1}^{log_22^{r-1}}1 = \sum_{r = 1}^{log_2n}\sum_{j=1}^{r-1}1=\sum_{r=1}^{log_2n}(r-1) = 0 + 1 + 2 + \cdots+ (log_2n-1)= \frac{log_2n(log_2n-1)}{2} = O(log^2n) \)

因此该程序段的时间复杂度为\(O(log^2n)\)

【例7】：线性变化嵌套非线性变化

int count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = 1; j <= i; j *=2){
        count ++;
    }
}

执行过程：

定义法求解：设\(j\)自增\(r\)次退出循环，则有\(2^r=i\),\(r=log_2i\),从上面的表格可以看出，\(j\)的执行次数始终比自增次数多1，所以

\( \sum_{i = 1}^{n}\sum_{r=1}^{log_2i+1}1 =\sum_{i=1}^{n}\overbrace{(1+1+\cdots+1)}^{(log_2i+1)个} =\sum_{i=1}^{n}(log_2i+1) = log1+log2+log3+\cdots+logn+n= log_2(n!)+n=O(nlogn) \)

时间复杂度\(O(log(n!))=O(nlogn)\)

【2022年真题】：非线性变化嵌套线性变化，前面几种情况都可以用乘法估算，但是本例就不可以了！

下列程序段的时间复杂度是()

count = 0;
for (i = 1; i < n; i *= 2) 
    for (j = 0; j < i; j++) 
        count++;

\(A. O(log_2 n)\)

\(B.O(n)\)

\(C.O(nlog_2n)\)

\(D.O(n^2)\)

这个代码段包含两个嵌套的循环。外层循环的变量i从1开始，每次乘以2，直到达到n。内层循环的变量j从0开始，每次增加1，直到达到i。

我们可以将这个代码段的运行时间看作是一个等比数列的和。在第一次外层循环的迭代中，内层循环会运行1次；在第二次外层循环的迭代中，内层循环会运行2次；在第三次外层循环的迭代中，内层循环会运行4次，以此类推，也就是说当外层循环的变量\(i\)取不同的值时，内层循环也就执行多少次。假设外层循环共执行\(k\)次，则总的运行次数为\(1 + 2 + 4 + 8 +\cdots+2^{k-1}(2^{k-1}\<n≤2^k，当i增加到了2^{k-1},再执行一次\*2操作就跳出循环)\)。该式子结果为\(2^k-1\),所以总运行次数跟\(n\)是同一数量级的，因此时间复杂度为\(O(n)\).这意味着，随着输入n的增大，代码段的运行时间将以线性的速度增长。

这个分析的关键在于理解，虽然外层循环的迭代次数近似为\(log_2n\)，但是每次迭代的工作量（即内层循环的迭代次数）都在增加。因此，总的工作量是线性的，而不是对数的。

公式法：设\(i\)自增\(r\)次退出循环，此时\(2^r=n,r=log_2n\)

\( \sum_{i;in;(1,2,\cdots,2^r)}\sum_{j=0}^{i}1 =\sum_{i;in;(1,2,\cdots,2^r)}i=1+2+\cdots+2^r=2^{r+1}-1=2n-1=O(n) \)

枚举法：

1.2.2.3 嵌套循环指针总结¶

i指针与j指针无关时，时间复杂度直接相乘

形如

int count = 0;
for (int i = 0; f(i) < n; ++i) {
    for (int j = 0; g(j) < n; ++j) {
        ++count;
    }
}

时间复杂度为\(T(n) = O(f^{-1}(n))\*O(g^{-1}(n)) = O(f^{-1}(n)g^{-1}(n))\)

i指针与j指针相关时，如果两个指针均为每次自增，j为i的复合函数，再相乘。

形如

int count = 0;
for (int i = 0; f(i) < n; ++i) {
    for (int j = 0; g(j) < i; ++j) {
        ++x;
    }
}

时间复杂度为\(T(n) = O(f^{-1}(n))\*O(g^{-1}(n)) = O(f^{-1}(n)g^{-1}(n))\)

i指针与j指针相关时,如果两个指针变化非线性，用定义法计算

1.2 空间复杂度¶

「空间复杂度 Space Complexity」用于衡量算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似。

1.2.1算法相关空间¶

算法运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种：

「输入空间」用于存储算法的输入数据；
「暂存空间」用于存储算法运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据；
「输出空间」用于存储算法的输出数据；

通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。

暂存空间可以进一步划分为三个部分：

「暂存数据」用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
「指令空间」用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。

因此，在分析一段程序的空间复杂度时，我们一般统计 暂存数据、输出数据、栈帧空间 三部分。

/* 结构体 */
struct Node {
    int val;
    Node *next;
    Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};

/* 函数 */
int func() {
    // do something...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 输入数据
    const int a = 0;          // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
    int c = func();           // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}

1.2.2.推算方法¶

空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只是将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，我们通常只关注「最差空间复杂度」，这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。

最差空间复杂度中的“最差”有两层含义，分别是输入数据的最差分布和算法运行过程中的最差时间点。

以最差输入数据为准。当 \(n\)<10 时，空间复杂度为 \(O(1)\)；但当 \(n\)>10 时，初始化的数组 nums 占用 \(O(n)\) 空间；因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) ；
以算法运行过程中的峰值内存为准。例如，程序在执行最后一行之前，占用\(O(1)\)空间；当初始化数组 nums 时，程序占用 \(O(n)\)空间；因此最差空间复杂度为\(O(n)\)；

void algorithm(int n) {
    int a = 0;               // O(1)
    vector<int> b(10000);    // O(1)
    if (n > 10)
        vector<int> nums(n); // O(n)
}

在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。例如，函数 loop() 在循环中调用了 \(n\) 次 function() ，每轮中的 function() 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 \(O(1)\)。而递归函数 recur() 在运行过程中会同时存在 \(n\)个未返回的 recur() ，从而占用 \(O(n)\) 的栈帧空间。

int func() {
    // do something
    return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}
/* 递归 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}

1.2.3 常见类型¶

设输入数据大小为 \(n\) ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）

\( O(1)\<O(logn)\<O(n)\<O(n^2)\<O(2^n)\常数阶<对数阶<线性阶<平方阶<指数阶 \)

常数阶\(O(1)\)

常数阶常见于数量与输入数据大小\(n\)无关的常量、变量、对象。

需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为\(O(1)\) 。

/* 常数阶 */
void constant(int n) {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const int a = 0;
    int b = 0;
    vector<int> nums(10000);
    ListNode node(0);
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c = 0;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}

线性阶\(O(n)\)

线性阶常见于元素数量与 \(n\) 成正比的数组、链表、栈、队列等。

/* 线性阶 */
void linear(int n) {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    vector<int> nums(n);
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    vector<ListNode> nodes;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes.push_back(ListNode(i));
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    unordered_map<int, string> map;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        map[i] = to_string(i);
    }
}

以下递归函数会同时存在 \(n\) 个未返回的 algorithm() 函数，使用 \(O(n)\) 大小的栈帧空间。

/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {
    cout << "递归 n = " << n << endl;
    if (n == 1)
        return;
    linearRecur(n - 1);
}

平方阶\(O(n^2)\)

平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 \(n\) 成平方关系。

/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    vector<vector<int>> numMatrix;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        vector<int> tmp;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            tmp.push_back(0);
        }
        numMatrix.push_back(tmp);
    }
}

在以下递归函数中，同时存在 \(n\) 个未返回的 algorithm() ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为\(n,n-1,n-2,\cdots,2,1\)，平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此总体占用\(O(n^2)\)空间。

/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {
    if (n <= 0)
        return 0;
    vector<int> nums(n);
    cout << "递归 n = " << n << " 中的 nums 长度 = " << nums.size() << endl;
    return quadraticRecur(n - 1);
}

指数阶\(O(2^n)\)

指数阶常见于二叉树。高度为 \(n\) 的「满二叉树」的节点数量为 \(2^n-1\) ，占用 \(O(2^n)\) 空间。

/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode *buildTree(int n) {
    if (n == 0)
        return nullptr;
    TreeNode *root = new TreeNode(0);
    root->left = buildTree(n - 1);
    root->right = buildTree(n - 1);
    return root;
}

对数阶\(O(logn)\)

对数阶常见于分治算法和数据类型转换等。

例如“归并排序”算法，输入长度为 \(n\) 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 \(log⁡n\)的递归树，使用 \(O(logn)\) 栈帧空间。

再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 \(n\) ，它的位数为 \(log_{10}⁡n\) ，即对应字符串长度为 \(log_{10}⁡n\) ，因此空间复杂度为 \(O(log_{10}⁡n)= O(logn)\)。

1.2.4 权衡时间与空间¶

理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。

降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。

选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。

index¶

第一讲 时空复杂度¶

1.1 时间复杂度分析¶

1.1.1 常数阶 \(O(1)\)¶

1.1.2 线性阶\(O(n)\)¶

1.1.3 对数阶\(O(logn)\)¶

1.1.4 平方阶\(O(n^2)\)¶

1.1.5 指数阶\(O(2^n)\)¶

1.1.6 线性对数阶\(O(nlogn)\)¶

1.1.7 阶乘阶\(O(n!)\)¶

1.2 关于408中时间复杂度考察的补充¶

1.2.1 方根时间复杂度¶

1.2.2 多层嵌套循环的分析¶

1.2.2.1 嵌套循环指针无关¶

1.2.2.2 嵌套循环指针相关¶

1.2.2.3 嵌套循环指针总结¶

1.2 空间复杂度¶

1.2.1算法相关空间¶

1.2.2.推算方法¶

1.2.3 常见类型¶

1.2.4 权衡时间与空间¶

第一讲时空复杂度¶